最后更新: 2025-10-19 10:12 查看: 45 次纠错评论(0) 课件开VIP

n维仿射空间

## 第十一章 $n$ 维仿射空间与 $n$ 维射影空间

> 在解析几何中，我们在三维空间中取定一个直角坐标系，使空间的每一个点对应于实数的三元有序组 $\left(a_1, a_2, a_3\right)$（该点在取定的直角坐标系下的坐标）。在这基础上，我们可以利用代数的工具来研究几何图形。本章的目的，是要将这个思想抽象化和一般化。本章的内容可以看做是前面所讲的一些代数学知识在几何学和数学分析中的应用．通过本章的内容，读者可以更清楚地认识前面所论述的某些代数学知识的直观背景．

###  $n$ 维仿射空间
在三维几何空间中取定一个直角坐标系之后，每个实数三元有序组（ $a_1, a_2, a_3$ ）可以有两方面的含意：1）代表一个以（ $a_1, a_2, a_3$ ）为坐标的点；2）代表一个以坐标原点为起点，以点（ $a_1, a_2, a_3$ ）为终点的向量。当把实数的三元有序组当点看时，我们不考虑其加法和数乘；而把它们当向量看时，就要同时考虑其加法和数乘运算了。在线性代数中，我们从上面所述的第二个方面推广实数的三元有序组的概念，获得了域 $K$ 上的 $n$ 维向量空间的新概念。现在，我们要从上面所述的第一方面推广实数的三元有序组，以获得一般的 $n$ 维仿射空间的概念。这个概念可以看做是三维几何空间概念的一种抽象化。

**定义** 设 $K$ 是一个域，令

$$
K^n=\left\{\left(a_1, \cdots, a_n\right) \mid a_i \in K\right\},
$$

称其为域 $K$ 上的 **$n$维仿射空间**．$K^n$ 的每个元素（ $a_1, \cdots, a_n$ ）称为空间中的一个**点**，$a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 称为该点的**坐标**．

现在记号 $K^n$ 可有两种意义：1）代表 $K$ 上 $n$ 维向量空间，其元素为向量，有加法、数乘运算；2）代表 $K$ 上 $n$ 维仿射空间，其元素为点，无加法、数乘运算．具体含意可由上、下文看出，或给予特别说明．

与此相应地，我们把三维几何空间中的几何图形的概念也进行抽象化。设 $\Gamma$ 为仿射空间 $K^n$ 的任一子集（即 $K^n$ 中某些点所组成的集合）。我们称 $\Gamma$ 为 $K^n$ 中的一个**图形**。

在域 $K$ 上的 $n$ 元多项式环 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内取定多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，定义

$$
V(f)=\left\{\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in K^n \mid f\left(a_1, \cdots, a_n\right)=0\right\}
$$

$V(f)$ 是 $f$ 在 $K^n$ 中的全体零点所组成的图形，称为 $K^n$ 中的一个**仿射代数曲面**．若 $n=2$ ，则 $V(f)$ 称为**仿射代数曲线**．

`例` 设 $f(x, y)=x^2+y^2-1 \in K[x, y]$ ，则 $V(f)$ 是 $K^2$（域 $K$上的仿射平面，即二维仿射空间）内的一个＂单位圆＂。

解（i）取 $K=\mathbb{R}$ ，则 $V(f)$ 是普通几何平面内的单位圆．
（ii）取 $K=\mathbb{Q}$ ．我们来找出 $V(f)$ 中的所有点．设 $\left(x_0, y_0\right) \in V(f)$ ，显然，只要讨论 $x_0>0, y_0>0$ 的情况。令

$$
x_0=\frac{n}{m}, \quad y_0=\frac{k}{m} \quad(m, n, k \text { 为正整数 }) .
$$

由 $x_0^2+y_0^2=1$ 推知 $n^2+k^2=m^2$ ．如果 $(n, k)=d$ ，则必有 $d \mid m$ ．设 $m= d m^{\prime}, n=d n^{\prime}, k=d k^{\prime}$ ，则有
$$
\begin{aligned}
& x_0=\frac{n}{m}=\frac{n^{\prime}}{m^{\prime}}, \\
& y_0=\frac{k}{m}=\frac{k^{\prime}}{m^{\prime}} .
\end{aligned}
$$

所以我们不妨设 $(n, k)=1$ 。此时 $m$ 必为奇数（因为，如果 $m$ 是偶数，则 $4 \mid\left(n^2+k^2\right)$ 。容易看出，此时 $n$ 与 $k$ 必同为偶数，这与 $(n, k)=1$ 的假设矛盾）。 $m$ 为奇数时，$n$ 与 $k$ 应当一奇一偶，不妨设 $n$ 为偶数。于是我们的问题变为求下列不定方程的整数解：

$$
u^2+v^2=w^2 \quad(u, v, w>0), \quad(u, v)=1, \quad 2 \mid u .
$$

在初等数论中已经求出这个问题的解答，就是

$$
u=2 a b, \quad v=a^2-b^2, \quad w=a^2+b^2 \quad(a, b \in \mathbb{Z})
$$

其中 $a>b>0,(a, b)=1$ ，且 $a, b$ 中一奇一偶（参看华罗庚＂数论导引＂第十一章 § 6）．此时
$$
\begin{aligned}
& x_0=2 a b /\left(a^2+b^2\right) \\
& y_0=\left(a^2-b^2\right) /\left(a^2+b^2\right)
\end{aligned}
$$

这样，$V(f)$ 上的点就被完全确定出来了．
（iii）取 $K=\mathbb{F}_p$ ．令 $(\bar{i}, \bar{j}) \in V(f)$ ，则

$$
\bar{i}^2=\overline{1}-\bar{j}^2=(\overline{1}+\bar{j})(\overline{1}-\bar{j}),
$$

其中 $\overline{1}=1+p \mathbb{Z}, \bar{i}=i+p \mathbb{Z}, \bar{j}=j+p \mathbb{Z}(0 \leqslant i, j<p)$ ．于是

$$
\begin{aligned}
i^2+p \mathbb{Z} & =[(1+j)+p \mathbb{Z}][(1-j)+p \mathbb{Z}] \\
& =(1+j)(1-j)+p \mathbb{Z} .
\end{aligned}
$$

上面的式子可以用有理整数环 $\mathbb{Z}$ 内的同余式写出来：

$$
i^2 \equiv(1+j)(1-j)(\bmod p) ...（1）
$$

在 $\mathbb{Z}$ 内，给定 $a$ ，若存在 $u \in \mathbb{Z}$ ，使 $u^2 \equiv a(\bmod p)$ ，则称 $a$ 为模 $p$ 的**平方剩余**；否则称 $a$ 为模 $p$ 的**平方非剩余**。从（1）式可知，我们令 $j= 0,1,2, \cdots, p-1$ ，找出 $(1+j)(1-j)$ 中的平方剩余，即可求出 $V(f)$中的所有点．因为 $p$ 是一个固定的素数，所以经过有限个步骤后就能做到这一点。例如，取 $p=5$ 。模 5 的平方剩余显然为集合 $\left\{k^2 \mid 0 \leqslant k\right. \leqslant 4\}$ 中模 5 互不同余的那些数所在的模 5 剩余类，即
$$
0+p \mathbb{Z}, 1+p \mathbb{Z}, 4+p \mathbb{Z}
$$

以 $j=0,1,2,3,4$ 代入 $(1+j)(1-j)$ ，得到序列

$$
1,0,-3,-8,-15 .
$$

它们模 5 的剩余类要等于（2）式中的某一个时，只能是 $j=0,1,4$ ．此时对应的 $V(f)$ 中的点是

$$
( \pm \overline{1}, \overline{0}), \quad(\overline{0}, \overline{1}), \quad(\overline{0}, \overline{4})=(\overline{0},-\overline{1}) .
$$

上面四个点，就是 $\mathbb{F}_5^2$ 内的＂单位圆＂$V(f)$ 上的全部点。

## 本章解读

### 1. 核心思想：一个没有“原点”的向量空间

想象一个我们最熟悉的空间——**平面**。
- 从**向量空间**的角度看，平面是 **R²**。它有一个绝对的、特殊的点，叫做**原点 (0,0)**。所有点都可以用从原点出发的向量来表示。
- 从**仿射空间**的角度看，平面就是一个“舞台”或“背景”，上面有无数个点。这些点之间可以比较位置，但没有哪一个点是天生特殊的。我们可以谈论点与点之间的**位移**（也就是向量），但没有任何一个点被称为“零”。

**仿射空间 = 点集 + 伴随的向量空间**

这个伴随的向量空间，负责描述点与点之间的所有可能“方向”和“距离”。

### 2. 正式定义

一个n维仿射空间 **(A, V, +)** 由以下两部分组成：

1.  **一个点集 A**：这些点是我们主要关注的对象。
2.  **一个n维向量空间 V**：这个向量空间作用于点集上。

它们通过一个操作 **+** 联系起来，这个操作满足以下公理：

1.  **向量平移点**：对于任意点 $ P \in A $ 和任意向量 $ \vec{v} \in V $，存在一个唯一的点 $ Q \in A $，记作 $ Q = P + \vec{v} $。
    - 直观：从点P出发，沿着向量 $\vec{v}$ 移动，就能到达点Q。

2.  **点差构成向量**：对于任意两个点 $ P, Q \in A $，存在一个唯一的向量 $ \vec{v} \in V $，记作 $ \vec{v} = Q - P $。
    - 直观：从P到Q的位移就是这个向量 $\vec{v}$。并且有 $ P + (Q - P) = Q $。

3.  **向量加法的结合性**：对于任意点 $ P $ 和任意向量 $ \vec{u}, \vec{v} $，有：
    $$ (P + \vec{u}) + \vec{v} = P + (\vec{u} + \vec{v}) $$
    - 直观：先沿 $\vec{u}$ 走，再沿 $\vec{v}$ 走，等价于直接沿 $\vec{u} + \vec{v}$ 走。

### 3. 关键特性与例子

#### 关键特性：没有绝对原点

在仿射空间中，**所有点都是平权的**。你不能说一个点本身就是“零”。我们只能谈论点之间的相对位置（向量）。

**例子：我们的物理空间**
我们生活的物理空间（忽略相对论和弯曲时空）是一个典型的3维仿射空间。
- 你可以说“从家到学校的位移是向东2公里”，这个“向东2公里”就是一个向量。
- 但你不能说“学校这个点本身就是0”。如果你选择家作为参考点（即“原点”），那么学校的位置向量就是“向东2公里”。如果你选择超市作为参考点，那么学校的位置向量就变了。
- 这个“参考点”就是我们引入的**坐标系原点**。仿射空间本身没有这个原点，但为了方便计算，我们可以任意指定一个。

#### 如何引入坐标系（建立仿射坐标系）

虽然仿射空间没有绝对原点，但为了进行数值计算，我们可以：

1.  任意选择一个点 $ O \in A $ 作为**参考点（原点）**。
2.  在伴随的向量空间 $ V $ 中选择一组基 $ \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, ..., \vec{e_n} \} $。

这样，对于空间中的任何一点 $ P $，向量 $ \vec{v} = P - O $ 都可以唯一地表示为：
$$ \vec{v} = x_1\vec{e_1} + x_2\vec{e_2} + ... + x_n\vec{e_n} $$
那么我们就称 $ (x_1, x_2, ..., x_n) $ 为点 $ P $ 在此坐标系下的**坐标**。

**重要**：选择不同的原点 $ O $，同一个点 $ P $ 的坐标会不同。

### 4. 仿射空间 vs. 向量空间

**关系**：
- 任何一个向量空间 $ V $ 都可以自然地看作一个仿射空间：取点集 $ A = V $，伴随的向量空间也是 $ V $。此时，原点就是向量 **0**。
- 反之，在一个仿射空间中，一旦我们选定一个原点 $ O $，就可以通过 $ P \rightarrow \vec{v} = P - O $ 将其与伴随的向量空间 $ V $ **等同**起来。但这是一种“人为”的等同，因为选择不同的原点，等同的方式也不同。

### 5. 为什么这个概念重要？

仿射空间是线性几何的自然舞台。在许多情况下，我们关心的几何对象和性质与“绝对原点”的选择无关。例如：

- **点的共线、共面性**
- **线的平行性**
- **线段的比值**
- **仿射变换**（平移、缩放、旋转、剪切等）

这些性质在仿射空间中有明确定义，并且不依赖于坐标系的选择。它们是比向量空间中的线性性质更一般的几何概念。

### 总结

**n维仿射空间**是一个几何结构，它由点构成，并配备了一个n维向量空间来描述点之间的相对位移。它的核心思想是**摒弃了绝对原点的概念**，使得所有点在几何上都是平等的。我们熟悉的向量空间 **Rⁿ** 只是仿射空间的一个特例（一个自带“特权”原点的仿射空间）。通过任意指定一个原点和一组基，我们可以在仿射空间中建立坐标系，从而进行具体的计算。

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