最后更新: 2025-10-19 10:19 查看: 51 次纠错评论(0) 课件开VIP

R内的仿射变换与正交变换

## $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换与正交变换
**定义** 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是实数域上的 $n$ 阶可逆方阵，$B^{\prime}=\left(b_1, b_2, \cdots\right.$ ， $\left.b_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 。在 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 维仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 内定义变换如下：对任意 $X^{\prime}= \left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ ，令

$$
X \mapsto Y=A X+B,
$$

这里 $Y^{\prime}=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ ．具体写出来就是

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1=a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n+b_1, \\
y_2=a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n+b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
y_n=a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n+b_n,
\end{array}\right.
$$

则称此变换为 $\mathbb{R}^n$ 内一个**仿射变换**。如令

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

为 $n+1$ 阶分块方阵，而

$$
\bar{X}=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n \\
1
\end{array}\right], \quad \bar{Y}=\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n \\
1
\end{array}\right]
$$

则上面的仿射变换公式可以写成

$$
\bar{Y}=\bar{A} \bar{X}
$$

则上面的仿射变换公式可以写成

$$
\bar{Y}=\bar{A} \bar{X} .
$$

$\bar{A}$ 是 $n+1$ 阶可逆方阵，且

$$
\bar{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & -A^{-1} B \\
0 & 1
\end{array}\right],
$$

所以上面变换公式也可以写成

$$
\bar{X}=\bar{A}^{-1} \bar{Y} .
$$

在上面定义的 $\mathbb{R}^n$ 中的仿射变换中，如果 $A$ 是一个正交矩阵，则它称为 $\mathbb{R}^n$ 中的**正交变换**．
$\mathbb{R}^n$ 中的一个几何图形 $\Gamma$ 在任意仿射变换下保持不变的性质称为该图形的**仿射性质**．研究 $\mathbb{R}^n$ 中图形的仿射性质的数学理论称为**仿射几何**。 $\mathbb{R}^n$ 中图形在任意正交变换下都保持不变的性质称为该图形的**度量性质**．研究图形的度量性质的数学理论称为**度量几何**或**欧几里得几何**．读者在中学中所学的平面几何学就是 $\mathbb{R}^2$ 内的欧几里得几何，中学所学的立体几何就是 $\mathbb{R}^3$ 内的欧几里得几何。

**命题1．1**  $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换具有如下性质：
（i） $\mathbb{R}^n$ 内的恒等变换为仿射变换；
（ii）两个仿射变换的乘积仍为仿射变换；
（iii）每个仿射变换都可逆，且其逆变换仍为 $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换。
证 如上所述， $\mathbb{R}^n$ 内一仿射变换由一个 $n$ 阶实可逆矩阵 $A$ 及 $B \in \mathbb{R}^n$ 按如下办法决定：

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
& i \\
0 & \\
1
\end{array}\right],
$$

变换公式为 $\bar{Y}=\bar{A} \bar{X}$ ．如取 $A=E_n, B=0$ ，则 $\bar{A}=E_{n+1}$ 即为 $\mathbb{R}^n$ 内恒等变换。又给定 $n$ 阶实可逆方阵 $A_1$ 及 $B_1 \in \mathbb{R}^n$ ，此时

$$
\bar{A}_1 \bar{A}=\left[\begin{array}{cc}
A_1 & B_1 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
A_1 A & A_1 B+B_1 \\
0 & 1
\end{array}\right] .
$$

而 $\left(\overline{A_1} \bar{A}\right) \bar{X}=\bar{A}_1(\bar{A} \bar{X})$ 即为由 $A_1, B_1$ 及 $A, B$ 定义的仿射变换的乘积，按上面的计算知它恰为由 $A_1 A$（仍为 $n$ 阶实可逆方阵）以及 $A_1 B+B_1 \in \mathbb{R}^n$ 所决定的仿射变换．

最后，因 $A$ 可逆，易知

$$
\bar{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & -A^{-1} B \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

它代表 $\mathbb{R}^n$ 的一仿射变换，而

$$
\bar{A}^{-1} \bar{A}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & -A^{-1} B \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
E & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

即 $\left(\bar{A}^{-1} \bar{A}\right) \bar{X}=\bar{A}^{-1}(\bar{A} \bar{X})=\bar{E} \bar{X}=\bar{X}$ ，也就是说， $\bar{A}^{-1}$ 为 $\bar{A}$ 的**逆变换**。
从这命题可知： $\mathbb{R}^n$ 内全体仿射变换所成集合关于变换乘法组成群，称为 $\mathbb{R}^n$ 的**仿射变换群**．

对 $\mathbb{R}^n$ 内两个图形 $\Gamma_1$ 及 $\Gamma_2$ ，如果存在 $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换把 $\Gamma_1$ 变为 $\Gamma_2$ ，则称 $\Gamma_2$ 与 $\Gamma_1$ **仿射等价**，记做 $\Gamma_2 \sim \Gamma_1$ 。根据命题1．1，仿射等价是 $\mathbb{R}^n$ 内图形之间的一个等价关系：

1）反身性：对 $\mathbb{R}^n$ 中任意图形 $\Gamma, \Gamma \sim \Gamma$ ；
$2)$ 对称性：若 $\Gamma_2 \sim \Gamma_1$ ，则 $\Gamma_1 \sim \Gamma_2$ ；
$3)$ 传递性：若 $\Gamma_1 \sim \Gamma_2, \Gamma_2 \sim \Gamma_3$ ，则 $\Gamma_1 \sim \Gamma_3$ ．
这三条性质只要分别把命题1．1的三条结论用上去，即可证明．具体论证留给读者作为练习．
现在， $\mathbb{R}^n$ 中的全体图形按仿射等价关系划分为等价类，属于同一等价类的图形具有相同的仿射性质，从仿射几何的观点看，它们之间没有区别．

对 $\mathbb{R}^n$ 内的正交变换，也有相同的结论。
**命题1．2** $\mathbb{R}^n$ 内的正交变换具有如下性质：
（i） $\mathbb{R}^n$ 内的恒等变换是正交变换；
（ii）两个正交变换的乘积仍是正交变换；
（iii）每个正交变换都可逆，其逆变换仍为 $\mathbb{R}^n$ 内的**正交变换**。
这个命题的证明方法与命题1．1一样（利用第六章命题2．2），留给读者做为练习。由此命题也推知： $\mathbb{R}^n$ 内全体正交变换所成集合关于变换乘法组成群，称为 $\mathbb{R}^n$ 的**正交变换群**。

现在，在 $\mathbb{R}^n$ 中的图形之间定义一个关系：若有正交变换把图形 $\Gamma_1$ 变为图形 $\Gamma_2$ ，则称 $\Gamma_2$ 与 $\Gamma_1$ 为**度量等价**。度量等价同样是 $\mathbb{R}^n$ 中图形之间的等价关系， $\mathbb{R}^n$ 内全体图形所成的集合关于这个等价关系划分为等价类。同一个等价类的图形具有相同的度量性质，从欧氏几何的观点看，它们之间没有区别．

## 本节解读 仿射变换与正交变换

理解它们关系的一个好方法是：**正交变换 ⊂ 仿射变换**。仿射变换是一个更广泛的类别，而正交变换是其中具有特殊性质（保持距离和角度）的一个子类。

为了让对比更清晰，我们用一个表格来总结，然后再进行详细解释。

### 核心概念对比一览表

| 特性 | 仿射变换 | 正交变换 |
| :--- | :--- | :--- |
| **本质** | **线性变换 + 平移** | **旋转、反射**（或它们的组合） |
| **数学形式** | $ \mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b} $ | $ \mathbf{y} = \mathbf{Q}\mathbf{x} $ （或 $ +\mathbf{b} $，若在仿射语境下） |
| **矩阵要求** | **A** 可逆（满秩） | **Q** 是正交阵，即 $ \mathbf{Q}^T\mathbf{Q} = \mathbf{I} $ |
| **保持性质** | | |
| ⇒ **直线性** | ✔️ (直线仍变为直线) | ✔️ |
| ⇒ **平行性** | ✔️ (平行线仍平行) | ✔️ |
| ⇒ **距离** | ❌ (一般会改变) | ✔️ (**保距变换/等距同构**) |
| ⇒ **角度** | ❌ (一般会改变) | ✔️ |
| ⇒ **形状** | ❌ (会拉伸、剪切、扭曲) | ✔️ (**保形变换**) |
| ⇒ **原点** | ❌ (平移改变了绝对原点) | ✔️ (若在向量空间定义中) |
| **常见例子** | 缩放、剪切、平移、旋转、反射及它们的任意组合 | 旋转、反射 |

---

### 详细解释

#### 1. 仿射变换

**核心思想**：仿射变换是两种基本操作的组合：
1.  **一个线性变换**（由矩阵 **A** 表示，如旋转、缩放、剪切、反射）。
2.  **一个平移**（由向量 **b** 表示）。

**数学定义**：
对于一个点 $ \mathbf{x} $（或用向量表示），仿射变换 $ f $ 定义为：
$$ f(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b} $$
其中 $ \mathbf{A} $ 是一个 **可逆的** $ n \times n $ 矩阵（即 $ \det(\mathbf{A}) \neq 0 $)，$ \mathbf{b} $ 是一个平移向量。

**几何性质**：
- **保持“平直”与“平行”**：这是仿射变换最核心的几何性质。
    - 一条直线经过仿射变换后仍然是直线。
    - 平行的两条直线在变换后仍然平行。
- **不保持距离和角度**：由于缩放和剪切操作的存在，线段的长度和线之间的夹角通常会改变。
- **改变原点**：由于平移分量 **b** 的存在，即使 **A** 是单位矩阵，变换后的坐标原点（0,0）也会被移动到新的位置。

**常见例子**：
- **平移**：$ \mathbf{A} $ 是单位矩阵，$ \mathbf{b} $ 非零。
- **缩放**：$ \mathbf{A} $ 是对角矩阵，对角线元素是缩放因子。
- **剪切**：$ \mathbf{A} $ 的非对角线元素非零。
- **旋转**：$ \mathbf{A} $ 是旋转矩阵（此时它也是一个正交矩阵）。
- **反射**：$ \mathbf{A} $ 是行列式为 -1 的正交矩阵。

**应用**：在计算机图形学、图像处理、机器人学中，仿射变换被广泛用于描述物体的刚体运动（旋转+平移）以及形变。

#### 2. 正交变换

**核心思想**：正交变换是一种**保持向量内积（即点积）** 的线性变换。这意味着它**保持向量的长度和向量间的夹角不变**。

**数学定义**：
正交变换是一个线性变换，其变换矩阵 $ \mathbf{Q} $ 是一个**正交矩阵**，满足：
$$ \mathbf{Q}^T\mathbf{Q} = \mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = \mathbf{I} $$
这意味着 $ \mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^T $。

由此可直接推导出其几何性质：
- **保长性**：$ \| \mathbf{Q}\mathbf{x} \| = \| \mathbf{x} \| $
- **保角性**：$ (\mathbf{Q}\mathbf{x}) \cdot (\mathbf{Q}\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $

**几何性质**：
- **保持距离和角度**：因此它也被称为**保距变换**或**等距同构**。
- **保持形状**：一个几何图形经过正交变换后，其形状和大小完全不变，只是在空间中的位置和朝向发生了改变。
- **是线性变换**：正交变换的定义是 $ \mathbf{y} = \mathbf{Q}\mathbf{x} $，**没有平移项**。这意味着在向量空间中，它保持原点不变。

**常见例子**：
- **旋转**：围绕原点的旋转。其矩阵的行列式为 $ +1 $。
- **反射**：关于一条过原点的直线（2D）或一个过原点的平面（3D）的镜像。其矩阵的行列式为 $ -1 $。

---

### 关键区别与联系

1.  **范围不同**：仿射变换包含正交变换。所有正交变换（旋转、反射）都是仿射变换（当平移项 $ \mathbf{b} = \mathbf{0} $ 时）。
2.  **平移是关键**：正交变换是**线性**的，必须保持原点不变。而仿射变换通过引入平移，打破了原点的绝对性，这使得它能在**仿射空间**中自然地定义。
    - 在讨论刚体运动时（旋转+平移），我们是在使用仿射变换的概念，其中旋转部分是正交变换。
3.  **不变性不同**：
    - **仿射变换**保持的是**仿射不变量**（共线性、平行性、比例）。
    - **正交变换**保持的是**度量不变量**（距离、角度、面积）。

### 一个生动的比喻

想象一张印有方格图案的**橡胶板**。
- **仿射变换**：就像你对这块橡胶板进行各种拉扯（缩放、剪切）、移动（平移）和旋转。**方格会变成平行四边形，但线条依然是直的，并且原本平行的线依然平行**。
- **正交变换**：就像你拿起一块**刚性的**玻璃板（上面的方格图案不会变形），只对它进行**旋转**和**翻转（反射）**。**方格的大小、形状、所有角度都完全不变**。

希望这个从总结到细节的解释能帮助你彻底理解这两个重要概念的区别与联系！

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