最后更新: 2025-10-19 10:19 查看: 15 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

R内的仿射变换与正交变换

## $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换与正交变换
**定义** 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是实数域上的 $n$ 阶可逆方阵，$B^{\prime}=\left(b_1, b_2, \cdots\right.$ ， $\left.b_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 。在 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 维仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 内定义变换如下：对任意 $X^{\prime}= \left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ ，令

$$
X \mapsto Y=A X+B,
$$

这里 $Y^{\prime}=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ ．具体写出来就是

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1=a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n+b_1, \\
y_2=a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n+b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
y_n=a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n+b_n,
\end{array}\right.
$$

则称此变换为 $\mathbb{R}^n$ 内一个**仿射变换**。如令

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

为 $n+1$ 阶分块方阵，而

$$
\bar{X}=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n \\
1
\end{array}\right], \quad \bar{Y}=\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n \\
1
\end{array}\right]
$$

则上面的仿射变换公式可以写成

$$
\bar{Y}=\bar{A} \bar{X}
$$

则上面的仿射变换公式可以写成

$$
\bar{Y}=\bar{A} \bar{X} .
$$

$\bar{A}$ 是 $n+1$ 阶可逆方阵，且

$$
\bar{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & -A^{-1} B \\
0 & 1
\end{array}\right],
$$

所以上面变换公式也可以写成

$$
\bar{X}=\bar{A}^{-1} \bar{Y} .
$$

在上面定义的 $\mathbb{R}^n$ 中的仿射变换中，如果 $A$ 是一个正交矩阵，则它称为 $\mathbb{R}^n$ 中的**正交变换**．
$\mathbb{R}^n$ 中的一个几何图形 $\Gamma$ 在任意仿射变换下保持不变的性质称为该图形的**仿射性质**．研究 $\mathbb{R}^n$ 中图形的仿射性质的数学理论称为**仿射几何**。 $\mathbb{R}^n$ 中图形在任意正交变换下都保持不变的性质称为该图形的**度量性质**．研究图形的度量性质的数学理论称为**度量几何**或**欧几里得几何**．读者在中学中所学的平面几何学就是 $\mathbb{R}^2$ 内的欧几里得几何，中学所学的立体几何就是 $\mathbb{R}^3$ 内的欧几里得几何。

**命题1．1**  $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换具有如下性质：
（i） $\mathbb{R}^n$ 内的恒等变换为仿射变换；
（ii）两个仿射变换的乘积仍为仿射变换；
（iii）每个仿射变换都可逆，且其逆变换仍为 $\mathbb{R}^n$ 内的仿射变换。
证 如上所述， $\mathbb{R}^n$ 内一仿射变换由一个 $n$ 阶实可逆矩阵 $A$ 及 $B \in \mathbb{R}^n$ 按如下办法决定：

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}
A & B \\
& i \\
0 & \\
1
\end{array}\right],
$$

变换公式为 $\bar{Y}=\bar{A} \bar{X}$ ．如取 $A=E_n, B=0$ ，则 $\bar{A}=E_{n+1}$ 即为 $\mathbb{R}^n$ 内恒等变换。又给定 $n$ 阶实可逆方阵 $A_1$ 及 $B_1 \in

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