最后更新: 2025-10-19 10:41 查看: 37 次纠错评论(0) 课件开VIP

维射变换的性质

## 维射变换的性质
命题2．2 $P(\mathbb{R})^n$ 内的射影变换具有如下性质：
（i）恒等变换为射影变换；
（ii）两个射影变换的乘积还是射影变换；
（iii）任一射影变换可逆，其逆变换仍为射影变换．
证（i）由 $n+1$ 阶单位矩阵确定的射影变换为 $P(\mathbb{R})^n$ 内的恒等变换．
（ii）设 $A, B$ 为两个 $n+1$ 阶实可逆矩阵．按第二章 § 5 所述矩阵乘法的直观意义，由 $A, B$ 确定的 $P(\mathbb{R})^n$ 内两个射影变换的乘积是由 $A B$ 所确定的射影变换．
（iii）设 $A$ 为 $n+1$ 阶实可逆矩阵，则由 $A^{-1}$ 确定的 $P(\mathbb{R})^n$ 内的射影变换为由 $A$ 确定的 $P(\mathbb{R})^n$ 内射影变换的逆变换。

由此命题即知：$P(\mathbb{R})^n$ 内全体射影变换所成集合关于变换乘法组成群，称为 $P(\mathbb{R})^n$ 的**射影变换群**。
$P(\mathbb{R})^n$ 的一个子集称为射影空间 $P(\mathbb{R})^n$ 的一个**图形**．设 $\Gamma_1, \Gamma_2$是 $P(\mathbb{R})^n$ 内两个图形，如果存在 $P(\mathbb{R})^n$ 内一个射影变换把 $\Gamma_1$ 变为 $\Gamma_2$ ，则称 $\Gamma_2$ 与 $\Gamma_1$ 射影等价。根据命题 2.2 ，射影等价是 $P(\mathbb{R})^n$ 内图形之间的一个等价关系，$P(\mathbb{R})^n$ 内的图形关于这个等价关系划分为等价类。 $P(\mathbb{R})^n$ 内的图形在射影变换下保持不变的性质称为该图形的射影性质。显然，同一等价类的图形具有相同的射影性质。研究图形的射影性质的几何学称为射影几何．

我们来讨论 $P(\mathbb{R})^n$ 中射影二次代数曲面的射影分类．令

$$
f=\sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right)
$$

是 $\mathbb{R}\left[x_1, \cdots, x_{n+1}\right]$ 中的一个二次齐次多项式．根据线性代数的知识，我们知道存在一个 $n+1$ 阶实可逆方阵 $T$ ，使

$$
T^{\prime} A T=\left[\begin{array}{lllllllll}
1 & & & & & & & & \\
& \ddots & & & & & & & \\
& & 1 & & & & & & \\
& & & -1 & & & & & \\
& & & & \ddots & & & & \\
& & & & & -1 & & & \\
& & & & & & 0 & & \\
& & & & & & & \ddots & 0
\end{array}\right]_{(n+1) \times(n+1)}
$$

其中 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为 $f$ 的系数所组成的 $n+1$ 阶实对称矩阵．作射影变换 （略去非零因子 $\lambda$ 不写）：

$$
X^{\prime}=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_{n+1}
\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
\vdots \\
y_{n+1}
\end{array}\right]=T Y^{\prime} .
$$

我们有

$$
\begin{aligned}
f & =X A X^{\prime}=Y\left(T^{\prime} A T\right) Y^{\prime} \\
& =y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2 \\
& =g\left(y_1, \cdots, y_{n+1}\right)
\end{aligned}
$$

显然， $\mathrm{PV}(f)$ 与 $\mathrm{PV}(g)$ 射影等价。因为 $\mathrm{PV}(g)=\mathrm{PV}(-g)$ ，在上式中我们不妨设 $p \geqslant r-p$ ．这样，$P(\mathbb{R})^n$ 内任意一个射影二次曲面都与由方程

$$
y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2=0 \quad(p \geqslant p-r)
$$

所定义的某个射影二次代数曲面射影等价．在线性代数中已证明，上式中的 $r, p$ 是射影变换的唯一不变量，故对不同的 $(r, p)$ ，上面的方程定义出互不射影等价的射影二次代数曲面。这就把 $P(\mathbb{R})^n$ 中射影二次代数曲面的射影等价类完全弄清楚了。

如令 $n=2$ ，我们得到如下五个标准方程：
1）$y_1^2+y_2^2+y_3^2=0$ ；
2）$y_1^2+y_2^2-y_3^2=0$ ；
3）$y_1^2+y_2^2=0$ ；
4）$y_1^2-y_2^2=0$ ；
5）$y_1^2=0$ ．
因此从射影几何观点看，射影平面内的射影二次曲线只有上述五类．
在§1中，我们对平面上的二次曲线作了仿射分类，共有九种，其中椭圆，双曲线，抛物线的标准方程是

$$
\begin{aligned}
& y_1^2+y_2^2-1=0(\text { 椭圆 }), \\
& y_1^2-y_2^2-1=0(\text { 双曲线 }), \\
& y_1^2+y_2=0(\text { 抛物线 }) .
\end{aligned}
$$

如果我们将这些方程齐次化，得到的是

$$
y_1^2+y_2^2-y_3^2=0, \quad y_1^2-y_2^2-y_3^2=0, \quad y_1^2+y_2 y_3=0 .
$$

将第二个方程乘 -1 ，再重排变量次序（这相当于作一个射影变换），
就变成第一个方程的形式．对第三个方程作射影变换

$$
y_1=z_1, \quad y_2=z_2+z_3, \quad y_3=z_2-z_3,
$$

该方程化作

$$
z_1^2+z_2^2-z_3^2=0 .
$$

这说明，在射影平面 $P(\mathbb{R})^2$ 内，椭圆、双曲线、抛物线都合并为同一类射影二次曲线了。从直观上说，这是由于在普通几何平面内添加了无穷远直线，使双曲线及抛物线在无穷远处都＂粘合＂成＂椭圆＂．于是，在射影平面内，这三种二次曲线合并为一。

## 本章解读

二次曲面研究参考线性代数里的二次型

![img-text](/uploads/2025-04/219042.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： n维射影空间

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)