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n维射影空间

##   n维射影空间

根据解析几何的知识，数轴上的点与实数一一对应，所以数轴是一维仿射空间 $\mathbb{R}$ ．在平面上取定直角坐标系后，平面上的点与 $\mathbb{R}^2$ 的点一一对应，所以平面是二维仿射空间 $\mathbb{R}^2$ ．在空间中取定直角坐标系后，空间的点与 $\mathbb{R}^3$ 中的点一一对应，所以现实的几何空间为三维仿射空间 $\mathbb{R}^3$ ．但是，直线，平面，空间都向外无限延伸，这样，一些图形的几何性质就不能被完全弄清楚。例如平面上的椭圆，双曲线，抛物线，就其图形看，椭圆是封闭曲线，而双曲线，拋物线却都是开口伸向无穷远。但从代数观点看，这三种曲线的方程都是二次的，从几何观点看，这三种曲线都是用平面切割圆锥时的截线，仅是切割的角度有不同．由此看来，它们应当有某些共同的几何属性．为了搞清它们的共同点，自然就想到能否从数学理论的角度设法把＂无穷远点＂添
加到直线，平面和空间中去，这样，一些在仿射空间中向无穷远处伸展的几何图形就可以得到完整的刻画．引进射影空间的概念就是为了解决这个问题。

考虑域 $K$ 上的 $n+1$ 维仿射空间 $K^{n+1}$ 。令

$$
A=\left\{\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) \in K^{n+1} \mid\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) \neq(0, \cdots, 0)\right\} .
$$

在集合 $A$ 内定义一个关系＂～＂如下：

$$
\begin{gathered}
\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) \sim\left(a_1^{\prime}, \cdots, a_{n+1}^{\prime}\right) \Longleftrightarrow \text { 存在 } \lambda \in K, \lambda \neq 0, \text { 使 } \\
a_i^{\prime}=\lambda a_i \quad(i=1, \cdots, n+1) .
\end{gathered}
$$

显然，这是集合 $A$ 内的一个等价关系，$A$ 关于这个等价关系划分为等价类。 $\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right)$ 所在的等价类就是集合

$$
\left\{\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right) \mid \lambda \in K, \lambda \neq 0\right\} .
$$

全体等价类所组成的集合称为域 $K$ 上的 **$n$ 维射影空间**，记做 $P(K)^n . P(K)^n$ 的每个元素 $\left\{\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right)\right\}$ 称为一个**点**，而 $\lambda a_i(i= 1,2, \cdots, n+1, \lambda \neq 0)$ 称为该点的**齐次坐标**．

例如，考虑实数域上的一维射影空间 $P(\mathbb{R})^1$ ，其元素（点）为 $\left(\lambda a_1, \lambda a_2\right)$ ，其中 $\lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0, a_1, a_2 \in \mathbb{R}, a_1, a_2$ 不全为零。如果 $a_2 \neq 0$ ，定义映射 $\left(\lambda a_1, \lambda a_2\right) \mapsto a_1 / a_2 \in \mathbb{R}$ ．这是 $P(\mathbb{R})^1$ 中第 2 个坐标不为零的点到实数轴 $\mathbb{R}$ 上的一个满、单映射，即一一对应。我们把数轴上坐标为 $a_1 / a_2$ 的点等同于 $P(\mathbb{R})^1$ 中的点 $\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2\right)\right\}$ ，坐标原点等同于点 $\left\{\left(0, \lambda a_2\right)\right\}=\{(0, \lambda)\}$ 。如令 $a_2 \rightarrow 0$ ，那么 $a_1 / a_2 \rightarrow \infty\left(\right.$ 设 $\left.a_1 \neq 0\right)$ ，在极限情况下，即 $a_2=0$ 时，它是数轴上的＂无穷远点＂，此时它为 $P(\mathbb{R})^1$上的点 $\left\{\left(\lambda a_1, 0\right)\right\}=\{(\lambda, 0)\}$ 。于是 $P(\mathbb{R})^1$ 可以形象地看做把无穷远点添加到数轴 $\mathbb{R}$ 上去（也就是把数轴的两端在无穷远处相＂粘合＂成为 $\mathbb{R}$ 上的一个＂无穷远点＂）所得的封闭＂直线＂．
由于这个原因， $P(\mathbb{R})^1$ 通常也称为**射影直线**．

现在考查实数域上的二维射影空间 $P(\mathbb{R})^2$ ，定义其子集

$$
M=\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right) \mid \lambda a_3 \neq 0\right\} .
$$

又定义 $M$ 到几何平面 $\mathbb{R}^2$ 的映射

$$
\varphi:\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right) \mapsto\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right) .
$$

$\varphi$ 显然是满射．若又有 $\left(\lambda a_1^{\prime}, \lambda a_2^{\prime}, \lambda a_3^{\prime}\right)$ 在 $\varphi$ 下映到同一点 $\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right)$ ，
则 $a_1^{\prime} / a_3^{\prime},=a_1 / a_3, a_2^{\prime} / a_3^{\prime}=a_2 / a_3$ ．于是当 $a_1 a_2 \neq 0$ 时，有

$$
a_1^{\prime} / a_1=a_2^{\prime} / a_2=a_3^{\prime} / a_3=\lambda \neq 0,
$$

即 $a_1^{\prime}=\lambda a_1, a_2^{\prime}=\lambda a_2, a_3^{\prime}=\lambda a_3$ ，如果 $a_1, a_2$ 中有等于零的，则相应的 $a_1^{\prime}$ ， $a_2^{\prime}$ 也为零，这关系仍然成立。这表明 $\left(a_1^{\prime}, a_2^{\prime}, a_3^{\prime}\right)=\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right)$ ，故 $\varphi$是一个单射．由此知 $P(\mathbb{R})^2$ 的子集 $M$ 上的点和平面 $\mathbb{R}^2$ 内的点一一对应。我们把平面 $\mathbb{R}^2$ 内坐标为 $\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right)$ 的点等同于 $P(\mathbb{R})^2$ 内的点 $\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right)\right\}=\left\{\left(\lambda a_1 / a_3, \lambda a_2 / a_3, \lambda\right)\right\}$ 。当 $a_1=a_2=0$ 时它是 $\mathbb{R}^2$内的坐标原点．

现设 $a_1, a_2$ 是两个不全为零的固定实数，$a_3$ 是一个实变量，则 $\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right)$ 代表平面上过原点 $(0,0)$ 和点 $\left(a_1, a_2\right)$ 的一条直线（除去原点不计）．当 $a_3 \rightarrow 0$ 时，动点 $\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right)$ 沿此直线趋向无穷远，在极限的情况下，即 $a_3=0$ 时，它就是 $P(\mathbb{R})^2$ 内的点 $\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2, 0\right)\right\}$ ，它相应于这条直线上的无穷远点。于是 $P(\mathbb{R})^2$ 可以看做是把 $\mathbb{R}^2$ 内过原点的所有直线上的无穷远点（它们组成一条无穷远直线）添加到 $\mathbb{R}^2$ 内所得出的扩充平面．由于这个原因，$P(\mathbb{R})^2$ 通常也称为**射影平面**．

对于域 $K$ 上的 $n+1$ 元多项式环 $K\left[x_1, \cdots, x_{n+1}\right]$ 内一个齐次多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_{n+1}\right)$ ，定义

$$
\mathrm{PV}(f)=\left\{\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right) \in P(K)^n \mid f\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right)=0\right\},
$$

称其为 $P(K)^n$ 内的一个**射影代数曲面**．
由于 $f$ 为齐次多项式（设为 $d$ 次），我们有

$$
f\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right)=\lambda^d f\left(a_1, \cdots, a_n\right)=0 .
$$

故上面的定义在逻辑上无矛盾．
给定 $K$ 上一次齐次多项式 $f=a_1 x_1+\cdots+a_{n+1} x_{n+1}$ ，则 PV（ $f$ ）称为 $P(K)^n$ 内的一张**射影平面**．又给定 $K$ 上二次齐次多项式

$$
f=\sum_{i=1}^{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} a_{i j} x_i x_j \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right),
$$

则 $\operatorname{PV}(f)$ 称为 $P(K)^n$ 内的一个二次射影代数曲面．如取 $K=\mathbb{R}$ ，则当 $n=2$ 时， $\mathrm{PV}(f)$ 称为射影平面 $P(\mathbb{R})^2$ 内的一条**射影二次曲线**；而 $n=3$ 时， $\mathrm{PV}(f)$ 称为射影空间 $P(\mathbb{R})^3$ 中的一个**射影二次曲面**．和
$P(\mathbb{R})^2$ 一样，$P(\mathbb{R})^3$ 可以看做是普通几何空间 $\mathbb{R}^3$ 添加了过原点 $(0,0,0)$ 的所有直线上的无穷远点（ 它们的全体组成一张无穷远平面）后所得的扩充空间．

在域 $K$ 上 $n$ 维仿射空间 $K^n$ 内，一个 $n$ 元多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 定义一个仿射超曲面 $V(f)$ 。如果我们按上面所说的办法把无穷远点＂添加＂到 $K^n$ 中使它变成一个射影空间，那么仿射超曲面 $V(f$ ）＂添加＂了无穷远点后应成为这个射影空间内一个射影代数曲面，这时它的定义多项式应当是一个齐次多项式，这个多项式应当是由原来的多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 演变过来的。但是怎样把一个一般为非齐次的多项式演变为一个齐次多项式呢？下面就来阐述这一方法。

对 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内一个单项式 $a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n}$ ，设其次数 $i_1+i_2+\cdots +i_n=d$ ．设整数 $m \geqslant d$ ，则

$$
x_{n+1}^m \cdot a\left(\frac{x_1}{x_{n+1}}\right)^{i_1}\left(\frac{x_2}{x_{n+1}}\right)^{i_2} \cdots\left(\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)^{i_n}=a x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n} x_{n+1}^{m-d}
$$

为 $n+1$ 个不定元 $x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}$ 的 $m$ 次单项式。现设 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$为 $K$ 上一个 $m$ 次多项式，令

$$
\tilde{f}\left(x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}\right)=x_{n+1}^m f\left(\frac{x_1}{x_{n+1}}, \frac{x_2}{x_{n+1}}, \cdots, \frac{x_n}{x_{n+1}}\right),
$$
则多项式 $\tilde{f}$ 为 $n+1$ 个不定元 $x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}$ 的 $m$ 次齐次多项式． $\tilde{f}\left(x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}\right)$ 称为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的**齐次化**．此时，对任意 $\lambda \in K$ ，有

$$
\tilde{f}\left(\lambda x_1, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1}\right)=\lambda^m \tilde{f}\left(x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}\right) .
$$

对于 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 内一个 $n$ 元多项式 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，设其次数为 $m$ ．我们把它齐次化：

$$
\tilde{f}\left(x_1, \cdots, x_{n+1}\right)=x_{n+1}^m f\left(x_1 / x_{n+1}, \cdots, x_n / x_{n+1}\right),
$$

此时 $\operatorname{PV}(\tilde{f})$ 可以看做是 $K^n$ 内的仿射代数曲面 $V(f)$ 的一个扩充．事实上，若 $\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right) \in \mathrm{PV}(\tilde{f})$ ，且 $\lambda a_{n+1} \neq 0$ ，则

$$
f\left(a_1 / a_{n+1}, \cdots, a_n / a_{n+1}\right)=\tilde{f}\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) / a_{n+1}^m=0,
$$

即 $\left(a_1 / a_{n+1}, \cdots, a_n / a_{n+1}\right) \in V(f)$ ．反之，若 $\left(a_1, \cdots, a_m\right) \in V(f)$ ，则对任意 $\lambda \in K, \lambda \neq 0$ ，有
$$
\widetilde{f}\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_n, \lambda\right)=\lambda^m f\left(a_1, \cdots, a_n\right)=0,
$$

即 $\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_n, \lambda\right) \in \mathrm{PV}(\tilde{f})$ ．于是 $\mathrm{PV}(\tilde{f})$ 中第 $n+1$ 个坐标不为零的点与 $V(f)$ 中的点之间存在一一对应，而 $\mathrm{PV}(\widetilde{f})$ 中多出来的，是第 $n+1$ 个坐标为零的那些点。故 $\operatorname{PV}(\tilde{f})$ 可以看做是将＂无穷远点＂添加到 $V(f)$ 上去之后所得出的扩充代数曲面．由于这个原因， $\mathrm{PV}(\widetilde{f})$通常称为 $V(f)$ 的**射影完备化**。

例如，对 $K\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 中的二次多项式

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j+2 \sum_{k=1}^n b_k x_k+c \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right),
$$

其齐次化是

$$
\tilde{f}\left(x_1, \cdots, x_{n+1}\right)=\sum_{i, j=1}^n a_{i j} x_i x_j+2 \sum_{k=1}^n b_k x_k x_{n+1}+c x_{n+1}^2
$$

而 $\mathrm{PV}(\tilde{f})$ 是 $V(f)$ 的射影完备化。
上一节我们在仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 内定义仿射变换，现在对射影空间 $P(\mathbb{R})^n$ ，我们也来定义类似的变换．

设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n+1$ 阶实可逆方阵，又设

$$
A\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n \\
a_{n+1}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
a_1^{\prime} \\
a_2^{\prime} \\
\vdots \\
a_n^{\prime} \\
a_{n+1}^{\prime}
\end{array}\right] \quad\left(a_i \in \mathbb{R}, a_i \text { 不全为 } 0\right),
$$

则定义 $P(\mathbb{R})^n$ 内变换如下：

$$
\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_{n+1}\right)\right\} \mapsto\left\{\left(\lambda a_1^{\prime}, \lambda a_2^{\prime}, \cdots, \lambda a_{n+1}^{\prime}\right)\right\} .
$$

当 $a_i$ 不全为 0 时，因 $A$ 可逆，故 $a_i^{\prime}$ 也不全为 0 ，上面的定义确为 $P(\mathbb{R})^n$ 内的一个变换。此变换称为由 $n+1$ 阶方阵 $A$ 决定的射影变换。

任取 $\rho \in \mathbb{R}, \rho \neq 0$ ，令 $B=\rho A$ ，则 $B$ 也是 $n+1$ 阶实可逆方阵，它也定义 $P(\mathbb{R})^n$ 内一个**射影变换**：

$$
\left\{\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right)\right\} \mapsto\left\{\left(\lambda \rho a_1^{\prime}, \cdots, \lambda \rho a_{n+1}^{\prime}\right)\right\} .
$$
在 $P(\mathbb{R})^n$ 内 $\left\{\left(\lambda \rho a_1^{\prime}, \cdots, \lambda \rho a_{n+1}^{\prime}\right)\right\}=\left\{\left(\lambda a_1^{\prime}, \cdots, \lambda a_{n+1}^{\prime}\right)\right\}$ ，故 $B=\rho A$ 定义出的射影变换与 $A$ 定义的射影变换相同。

**命题2．1** 设 $A, B$ 是两个 $n+1$ 阶可逆实方阵，则它们定义 $P(\mathbb{R})^n$ 内同一个射影变换的充分必要条件是存在 $\rho \in \mathbb{R}$ ，使 $B= \rho A$ ．

证 充分性已在上面阐明，下面证明必要性．设 $B$ 与 $A$ 定义 $P(\mathbb{R})^n$ 内同一射影变换．令

$$
\varepsilon_i=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0) \quad(i=1,2, \cdots, n+1) .
$$

设

$$
A \varepsilon_i=\left[\begin{array}{c}
a_{i 1} \\
\vdots \\
a_{i n+1}
\end{array}\right], \quad B \varepsilon_i=\left[\begin{array}{c}
b_{i 1} \\
\vdots \\
b_{i n+1}
\end{array}\right],
$$

则

$$
\left\{\left(\lambda a_{i 1}, \cdots, \lambda a_{i n+1}\right)\right\}=\left\{\left(\lambda b_{i 1}, \cdots, \lambda b_{i n+1}\right)\right\} .
$$

这表明存在 $\rho_i \in \mathbb{R}, \rho_i \neq 0$ ，使 $b_{i k}=\rho_i a_{i k}(k=1,2, \cdots, n+1)$ ，于是 $B \varepsilon_i =\rho_i A \varepsilon_i$ ．令 $\varepsilon=(1,1, \cdots, 1)$ ，同样的推理可知存在 $\rho \in \mathbb{R}$ ，使 $B \varepsilon= \rho A \varepsilon$ ．这表明
$$
\begin{aligned}
B \varepsilon & =B\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_{n+1}\right)=B \varepsilon_1+B \varepsilon_2+\cdots+B \varepsilon_{n+1} \\
& =\rho_1 A \varepsilon_1+\rho_2 A \varepsilon_2+\cdots+\rho_{n+1} A \varepsilon_{n+1} \\
& =\rho A \varepsilon=\rho A \varepsilon_1+\rho A \varepsilon_2+\cdots+\rho A \varepsilon_{n+1} .
\end{aligned}
$$

因 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{n+1}$ 为向量空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的一组基，而 $A$ 为 $n+1$ 阶可逆方阵，所以 $A \varepsilon_1, A \varepsilon_2, \cdots, A \varepsilon_{n+1}$ 仍为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的一组基，由上述等式立即推出 $\rho_i=\rho(i=1,2, \cdots, n+1)$ 。即 $B \varepsilon_i=\rho A \varepsilon_i(i=1,2, \cdots, n+1)$ 。现在 $\varepsilon_1$ ， $\varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{n+1}$ 为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的一组基，这表明 $B=\rho A$（因 $B$ 与 $\rho A$ 定义 $\mathbb{R}^{n+1}$ 内同一个线性变换）。

和 $\mathbb{R}^n$ 中的仿射变换一样，$P(\mathbb{R})^n$ 内的射影变换也具有如下性质。

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