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n维射影空间

##   n维射影空间

根据解析几何的知识，数轴上的点与实数一一对应，所以数轴是一维仿射空间 $\mathbb{R}$ ．在平面上取定直角坐标系后，平面上的点与 $\mathbb{R}^2$ 的点一一对应，所以平面是二维仿射空间 $\mathbb{R}^2$ ．在空间中取定直角坐标系后，空间的点与 $\mathbb{R}^3$ 中的点一一对应，所以现实的几何空间为三维仿射空间 $\mathbb{R}^3$ ．但是，直线，平面，空间都向外无限延伸，这样，一些图形的几何性质就不能被完全弄清楚。例如平面上的椭圆，双曲线，抛物线，就其图形看，椭圆是封闭曲线，而双曲线，拋物线却都是开口伸向无穷远。但从代数观点看，这三种曲线的方程都是二次的，从几何观点看，这三种曲线都是用平面切割圆锥时的截线，仅是切割的角度有不同．由此看来，它们应当有某些共同的几何属性．为了搞清它们的共同点，自然就想到能否从数学理论的角度设法把＂无穷远点＂添
加到直线，平面和空间中去，这样，一些在仿射空间中向无穷远处伸展的几何图形就可以得到完整的刻画．引进射影空间的概念就是为了解决这个问题。

考虑域 $K$ 上的 $n+1$ 维仿射空间 $K^{n+1}$ 。令

$$
A=\left\{\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) \in K^{n+1} \mid\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) \neq(0, \cdots, 0)\right\} .
$$

在集合 $A$ 内定义一个关系＂～＂如下：

$$
\begin{gathered}
\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right) \sim\left(a_1^{\prime}, \cdots, a_{n+1}^{\prime}\right) \Longleftrightarrow \text { 存在 } \lambda \in K, \lambda \neq 0, \text { 使 } \\
a_i^{\prime}=\lambda a_i \quad(i=1, \cdots, n+1) .
\end{gathered}
$$

显然，这是集合 $A$ 内的一个等价关系，$A$ 关于这个等价关系划分为等价类。 $\left(a_1, \cdots, a_{n+1}\right)$ 所在的等价类就是集合

$$
\left\{\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right) \mid \lambda \in K, \lambda \neq 0\right\} .
$$

全体等价类所组成的集合称为域 $K$ 上的 **$n$ 维射影空间**，记做 $P(K)^n . P(K)^n$ 的每个元素 $\left\{\left(\lambda a_1, \cdots, \lambda a_{n+1}\right)\right\}$ 称为一个**点**，而 $\lambda a_i(i= 1,2, \cdots, n+1, \lambda \neq 0)$ 称为该点的**齐次坐标**．

例如，考虑实数域上的一维射影空间 $P(\mathbb{R})^1$ ，其元素（点）为 $\left(\lambda a_1, \lambda a_2\right)$ ，其中 $\lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0, a_1, a_2 \in \mathbb{R}, a_1, a_2$ 不全为零。如果 $a_2 \neq 0$ ，定义映射 $\left(\lambda a_1, \lambda a_2\right) \mapsto a_1 / a_2 \in \mathbb{R}$ ．这是 $P(\mathbb{R})^1$ 中第 2 个坐标不为零的点到实数轴 $\mathbb{R}$ 上的一个满、单映射，即一一对应。我们把数轴上坐标为 $a_1 / a_2$ 的点等同于 $P(\mathbb{R})^1$ 中的点 $\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2\right)\right\}$ ，坐标原点等同于点 $\left\{\left(0, \lambda a_2\right)\right\}=\{(0, \lambda)\}$ 。如令 $a_2 \rightarrow 0$ ，那么 $a_1 / a_2 \rightarrow \infty\left(\right.$ 设 $\left.a_1 \neq 0\right)$ ，在极限情况下，即 $a_2=0$ 时，它是数轴上的＂无穷远点＂，此时它为 $P(\mathbb{R})^1$上的点 $\left\{\left(\lambda a_1, 0\right)\right\}=\{(\lambda, 0)\}$ 。于是 $P(\mathbb{R})^1$ 可以形象地看做把无穷远点添加到数轴 $\mathbb{R}$ 上去（也就是把数轴的两端在无穷远处相＂粘合＂成为 $\mathbb{R}$ 上的一个＂无穷远点＂）所得的封闭＂直线＂．
由于这个原因， $P(\mathbb{R})^1$ 通常也称为**射影直线**．

现在考查实数域上的二维射影空间 $P(\mathbb{R})^2$ ，定义其子集

$$
M=\left\{\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right) \mid \lambda a_3 \neq 0\right\} .
$$

又定义 $M$ 到几何平面 $\mathbb{R}^2$ 的映射

$$
\varphi:\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right) \mapsto\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right) .
$$

$\varphi$ 显然是满射．若又有 $\left(\lambda a_1^{\prime}, \lambda a_2^{\prime}, \lambda a_3^{\prime}\right)$ 在 $\varphi$ 下映到同一点 $\left(a_1 / a_3, a_2 / a_3\right)$ ，
则 $a_1^{\prime} / a_3^{\prime},=a_1 / a_3, a_2^{\prime} / a_3^{\prime}=a_2 / a_3$ ．于是当 $a_1 a_2 \neq 0$ 时，有

$$
a_1^{\prime} / a_1=a_2^{\prime} / a_2=a_3^{\prime} / a_3=\lambda \neq 0,
$$

即 $a_1^{\prime}=\lambda a_1, a_2^{\prime}=\lambda a_2, a_3^{\prime}=\lambda a_3$ ，如果 $a_1, a_2$ 中有等于零的，则相应的 $a_1^{\prime}$ ， $a_2^{\prime}$ 也为零，这关系仍然成立。这表明 $\left(a_1^{\prime}, a_2^{\prime}, a_3^{\prime}\right)=\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right)$ ，故 $\varphi$是一个单射．由此知 $P(\mathbb{R})^2$ 的子集 $M$ 上的点和平面 $\mathbb{R}^2$ 内的点一一对应。我

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