最后更新: 2025-10-19 10:29 查看: 27 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多元函数的极值

## 多元函数的极值
现在介绍实二次型理论在数学分析中的一个应用．设 $D$ 是实数域上 $n$ 维仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个区域，$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 是定义在 $D$ 内一个 $n$ 元实函数．对 $\mathbb{R}^n$ 中一个点 $P=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ ，设 $R$ 为一个正实数，定义

$$
O(R)=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \mid \sum_{i=1}^n\left(x_i-a_i\right)^2<R^2\right\},
$$

称之为 $P$ 点的一个**球形邻域**。
根据数学分析的理论，我们有如下结论。

**引理2** 设 $n$ 元实函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 定义在 $\mathbb{R}^n$ 的一个区域 $D$内，$P=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) \in D$ ．如果 $P$ 点有一个球形邻域 $O(R) \subseteq D$ ，且 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 在 $O(R)$ 内存在三阶连续偏微商，则

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)= & f\left(a_1, \cdots, a_n\right)+\sum_{i=1}^n f_{x_i}^{\prime}\left(a_1, \cdots, a_n\right) \Delta x_i \\
& +\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f_{x_i x_j}^{\prime \prime}\left(a_1, \cdots, a_n\right) \Delta x_i \Delta x_j+o\left(\rho^2\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-a_i, \rho^2=\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+\cdots+\Delta x_n^2$ ．
我们知道，如果 $P$ 点是函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极值点，则有

$$
f_{x_i}^{\prime}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)=0 \quad(i=1,2, \cdots, n) .
$$

但这并非极值的充分条件．下面利用实二次型的理论来阐明在何种情况下满足上述条件的点 $P$ 是 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极值点．

**引理3** 设 $g=X^{\prime} A X\left(A^{\prime}=A\right)$ 是一个 $n$ 元非零实二次型，则下面结论成立：
（i）若 $g$ 是正定二次型，则存在正实数 $c$ ，使对一切 $X \in \mathbb{R}^n$ ，有

$$
X^{\prime} A X \geqslant c\left(X^{\prime} X\right) ;
$$

（ii）若 $g$ 是负定二次型，则存在正实数 $c$ ，使对一切 $X \in \mathbb{R}^n$ ，有

$$
X^{\prime} A X \leqslant-c\left(X^{\prime} X\right) ;
$$

（iii）若 $g$ 是不定二次型，则存在正实数 $c_1$ 及 $X_1 \in \mathbb{R}^n, X_1 \neq 0$ ，使 $X_1^{\prime} A X_1=c_1\left(X_1^{\prime} X_1\right)$ ，又存在正实数 $c_2$ 及 $X_2 \in \mathbb{R}^n, X_2 \neq 0$ ，使

$$
X_2^{\prime} A X_2=-c_2\left(X_2^{\prime} X_2\right) .
$$

证 根据第六章定理2．3，存在 $n$ 阶正交矩阵 $T$ ，使

$$
g=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Y} \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 .
$$

（i）若 $g$ 正定，则 $\lambda_i>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．令 $c=\min \left\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right\}$ ，则

$$
X^{\prime} A X \geqslant c\left(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\right)=c\left(Y^{\prime} Y\right) .
$$
而 $X^{\prime} X=(T Y)^{\prime}(T Y)=Y^{\prime}\left(T^{\prime} T\right) Y=Y^{\prime} Y$ ．得证．
（ii）若 $g$ 负定，则 $\lambda_i<0(i=1,2, \cdots, n)$ ．若令 $c=\min \left\{\left|\lambda_1\right|\right.$ ， $\left.\left|\lambda_2\right|, \cdots,\left|\lam

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇： R中二次超曲面的仿射分类

下一篇： n维射影空间

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)