最后更新: 2025-10-19 10:29 查看: 50 次纠错评论(0) 课件开VIP

多元函数的极值

## 多元函数的极值
现在介绍实二次型理论在数学分析中的一个应用．设 $D$ 是实数域上 $n$ 维仿射空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个区域，$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 是定义在 $D$ 内一个 $n$ 元实函数．对 $\mathbb{R}^n$ 中一个点 $P=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ ，设 $R$ 为一个正实数，定义

$$
O(R)=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \mid \sum_{i=1}^n\left(x_i-a_i\right)^2<R^2\right\},
$$

称之为 $P$ 点的一个**球形邻域**。
根据数学分析的理论，我们有如下结论。

**引理2** 设 $n$ 元实函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 定义在 $\mathbb{R}^n$ 的一个区域 $D$内，$P=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) \in D$ ．如果 $P$ 点有一个球形邻域 $O(R) \subseteq D$ ，且 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 在 $O(R)$ 内存在三阶连续偏微商，则

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)= & f\left(a_1, \cdots, a_n\right)+\sum_{i=1}^n f_{x_i}^{\prime}\left(a_1, \cdots, a_n\right) \Delta x_i \\
& +\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f_{x_i x_j}^{\prime \prime}\left(a_1, \cdots, a_n\right) \Delta x_i \Delta x_j+o\left(\rho^2\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\Delta x_i=x_i-a_i, \rho^2=\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+\cdots+\Delta x_n^2$ ．
我们知道，如果 $P$ 点是函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极值点，则有

$$
f_{x_i}^{\prime}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)=0 \quad(i=1,2, \cdots, n) .
$$

但这并非极值的充分条件．下面利用实二次型的理论来阐明在何种情况下满足上述条件的点 $P$ 是 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极值点．

**引理3** 设 $g=X^{\prime} A X\left(A^{\prime}=A\right)$ 是一个 $n$ 元非零实二次型，则下面结论成立：
（i）若 $g$ 是正定二次型，则存在正实数 $c$ ，使对一切 $X \in \mathbb{R}^n$ ，有

$$
X^{\prime} A X \geqslant c\left(X^{\prime} X\right) ;
$$

（ii）若 $g$ 是负定二次型，则存在正实数 $c$ ，使对一切 $X \in \mathbb{R}^n$ ，有

$$
X^{\prime} A X \leqslant-c\left(X^{\prime} X\right) ;
$$

（iii）若 $g$ 是不定二次型，则存在正实数 $c_1$ 及 $X_1 \in \mathbb{R}^n, X_1 \neq 0$ ，使 $X_1^{\prime} A X_1=c_1\left(X_1^{\prime} X_1\right)$ ，又存在正实数 $c_2$ 及 $X_2 \in \mathbb{R}^n, X_2 \neq 0$ ，使

$$
X_2^{\prime} A X_2=-c_2\left(X_2^{\prime} X_2\right) .
$$

证 根据第六章定理2．3，存在 $n$ 阶正交矩阵 $T$ ，使

$$
g=X^{\prime} A X \xlongequal{X=T Y} \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 .
$$

（i）若 $g$ 正定，则 $\lambda_i>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．令 $c=\min \left\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right\}$ ，则

$$
X^{\prime} A X \geqslant c\left(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\right)=c\left(Y^{\prime} Y\right) .
$$
而 $X^{\prime} X=(T Y)^{\prime}(T Y)=Y^{\prime}\left(T^{\prime} T\right) Y=Y^{\prime} Y$ ．得证．
（ii）若 $g$ 负定，则 $\lambda_i<0(i=1,2, \cdots, n)$ ．若令 $c=\min \left\{\left|\lambda_1\right|\right.$ ， $\left.\left|\lambda_2\right|, \cdots,\left|\lambda_n\right|\right\}$ ，则

$$
\begin{aligned}
X^{\prime} A X & \leqslant-c\left(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\right) \\
& =-c\left(Y^{\prime} Y\right)=-c\left(X^{\prime} X\right)
\end{aligned}
$$

（iii）若 $g$ 为不定型，可设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_p>0$ ，而 $\lambda_{p+1}, \cdots, \lambda_r<0, \lambda_{r+1} =\cdots=\lambda_n=0$ ，其中 $1 \leqslant p<r$ ．分别取 $c_1=\lambda_1, c_2=-\lambda_{p+1}$ ，及

$$
Y_1=\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right], \quad Y_2=\left[\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right] \leftarrow p+1 \text { 行, }
$$

又令 $X_1=T Y_1, X_2=T Y_2$ ，则

$$
\begin{aligned}
& X_1^{\prime} A X_1 \xlongequal{X_1=T Y_1} \lambda_1=\lambda_1\left(Y_1^{\prime} Y_1\right)=c_1\left(X_1^{\prime} X_1\right), \\
& X_2^{\prime} A X_2 \xlongequal{X_2=T Y_2} \lambda_{p+1}=\lambda_{p+1}\left(Y_2^{\prime} Y_2\right)=-c_2\left(X_2^{\prime} X_2\right) .
\end{aligned}
$$

当 $n$ 元实函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 在点 $P=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 的一个球形邻域 $O(R)$ 内存在三阶连续偏微商时，

$$
f_{x_i x_j}^{\prime \prime}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)=f_{x_j x_i}^{\prime \prime}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) .
$$

若令

$$
a_{i j}=f_{x_i x_j}^{\prime \prime}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right),
$$

则 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵。

**命题1.3** 设 $n$ 元实函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 定义在 $\mathbb{R}^n$ 的区域 $D$ 内，点 $P=\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in D$ ．又设 $P$ 点有一个球形邻域 $O(R) \subseteq D$ ， $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 在 $O(R)$ 内存在三阶连续偏微商，且

$$
f_{x_i}^{\prime}\left(a_1, \cdots, a_n\right)=0 \quad(i=1,2, \cdots, n) .
$$

如令 $a_{i j}=f_{x_i x_j}^{\prime \prime}\left(a_1, \cdots, a_n\right), \Delta x_i=x_i-a_i$ ．又

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right], \quad \Delta X=\left[\begin{array}{c}
x_1-a_1 \\
x_2-a_2 \\
\vdots \\
x_n-a_n
\end{array}\right] .
$$

当 $A \neq 0$ 时，我们有如下结论：

> （i）若 $(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)$ 为正定二次型，则 $P$ 点为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极小值点；
（ii）若 $(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)$ 为负定二次型，则 $P$ 点为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极大值点；
（iii）若 $(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)$ 为不定二次型，则 $P$ 点不是 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$的极值点．

证 根据引理2，我们有

$$
\Delta f=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)-f\left(a_1, \cdots, a_n\right)=(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)+o\left(\rho^2\right),
$$

这里 $\rho^2=\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+\cdots+\Delta x_n^2=(\Delta X)^{\prime}(\Delta X)$ ．
（i）若 $(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)$ 正定，按上述的引理 3 ，存在正实数 $c$ ，使 $(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X) \geqslant c(\Delta X)^{\prime}(\Delta X)=c \rho^2$ ．而
$$
\Delta f=(\Delta x)^{\prime} A(\Delta X)+o\left(\rho^2\right)=\left(\frac{1}{\rho^2}(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)+o(1)\right) \rho^2
$$

当 $\rho \neq 0$ 时，有 $\frac{1}{\rho^2}(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X) \geqslant c>0$ ．当 $\rho \rightarrow 0$ 时 $o(1)$ 为无穷小，故存在 $P$ 点的一个球形邻域，对此邻域内任意点 $X=\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，有

$$
\frac{1}{\rho^2}(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)+o(1)>0
$$

于是在此球形邻域内任意点 $X=\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，必有 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)> f\left(a_1, \cdots, a_n\right)$（设 $X \neq P$ ）．于是 $P$ 点为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的极小值点．
（ii）若 $(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)$ 负定，按引理 3，存在正实数 $c$ ，使

$$
\left(\Delta X^{\prime}\right) A(\Delta X) \leqslant-c(\Delta X)^{\prime}(\Delta X)=-c \rho^2 .
$$

此时（设 $\rho \neq 0$ ）有

$$
\frac{1}{\rho^2}(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X) \leqslant-c
$$

于是存在 $P$ 点一个球形邻域，对此邻域内任意点 $X=\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，有

$$
\Delta f=\left(\frac{1}{\rho^2}(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)+o(1)\right) \rho^2<0
$$

即 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)<f\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ．故 $P$ 为 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的一个极大值点．
（iii）若 $\left(\Delta X^{\prime}\right) A(\Delta X)$ 为不定二次型，按引理 3 ，存在正实数 $c_1, c_2$及 $X_1, X_2 \in \mathbb{R}^n\left(X_1 \neq 0, X_2 \neq 0\right)$ ，使

$$
X_1^{\prime} A X_1=c_1 X_1^{\prime} X_1, \quad X_2^{\prime} A X_2=-c_2 X_2^{\prime} X_2 .
$$

令 $\Delta X=\varepsilon X_1, \rho^2=(\Delta X)^{\prime}(\Delta X)=\varepsilon^2\left(X_1^{\prime} X_1\right)=b_1 \varepsilon^2\left(b_1\right.$ 为正实数）．此时

$$
(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)=\varepsilon^2 X_1^{\prime} A X_1=\varepsilon^2 c_1 X_1^{\prime} X_1=b_1 c_1 \varepsilon^2 .
$$

而

$$
\begin{aligned}
\Delta f & =(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)+o\left(\rho^2\right)=b_1 c_1 \varepsilon^2+o\left(\varepsilon^2\right) \\
& =\left(\dot{b_1} c_1+o(1)\right) \varepsilon^2
\end{aligned}
$$

当 $\rho \rightarrow 0$ ，即 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时，$o(1)$ 为无穷小，而 $b_1 c_1$ 为正实数．故当 $\varepsilon$ 充分小时，$f\left(x_1, \cdots, x_n\right)>f\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，这里 $X=P+\varepsilon X_1$（现在把 $X, P, X_1$看做 $\mathbb{R}^n$ 中向量）。

再令 $\Delta X=\varepsilon X_2$ ，则 $\rho^2=b_2 \varepsilon^2, b_2$ 为正实数．此时

$$
(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)=-b_2 c_2 \varepsilon^2
$$
而

$$
\Delta f=(\Delta X)^{\prime} A(\Delta X)+o\left(\rho^2\right)=\left(-b_2 c_2+o(1)\right) \varepsilon^2
$$

当 $\rho \rightarrow 0$ ，即 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时，$o(1)$ 为无穷小，而 $b_2 c_2$ 为正实数。故当 $\varepsilon$ 充分小时，$f\left(x_1, \cdots, x_n\right)<f\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，这里 $X=P+\varepsilon X_2($ 现在也把 $X, P$ ， $X_2$ 看做 $\mathbb{R}^n$ 中向量）。

综合上面两方面的结果知：当 $X$ 沿向量 $X_1$ 方向趋向 $P$ 点时， $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的值都大于 $f\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，而 $X$ 沿 $X_2$ 方向趋向 $P$ 点时， $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的值却都小于 $f\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，故 $P$ 点不是 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$的极值点．

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