最后更新: 2025-10-19 10:27 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

R中二次超曲面的仿射分类

##  $\mathbb{R}^n$ 中二次超曲面的仿射分类
因为正交变换都是仿射变换，所以讨论二次超曲面的仿射分类可以从度量分类中所得到的标准方程出发，对它们再作仿射变换．

对于标准方程（4），（5），（6），作仿射变换

$$
\begin{cases}u_i=\sqrt{\mu_i} z_i & (i=1, \cdots, r), \\ u_j=z_j & (j=r+1, \cdots, n) .\end{cases}
$$

我们分别得出如下三个标准方程：

$$
\begin{aligned}
& u_1^2+\cdots+u_p^2-u_{p+1}^2-\cdots-u_r^2=0 \quad(p \geqslant r-p), \\
& u_1^2+\cdots+u_p^2-u_{p+1}^2-\cdots-u_r^2 \pm 1=0 \quad(p>r-p), \\
& u_1^2+\cdots+u_p^2-u_{p+1}^2-\cdots-u_{2 p}^2+1=0 .
\end{aligned}
$$

对于标准方程（7），作仿射变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_i=\sqrt{\mu_i} z_i \quad(i=1, \cdots, r), \\
u_{r+1}=2 z_{r+1}, \\
u_j=z_j \quad(j=r+2, \cdots, n) .
\end{array}\right.
$$
我们得出第四个标准方程

$$
u_1^2+\cdots+u_p^2-u_{p+1}^2-\cdots-u_r^2+u_{r+1}=0 \quad(p \geqslant r-p) .
$$

于是， $\mathbb{R}^n$ 中任意一个二次超曲面必与上面四个方程中的某一个方程所确定的二次超曲面仿射等价。同样地，可以证明上述四类标准方程所确定的二次超曲面彼此之间不仿射等价。这样，我们就把二次超曲面的仿射等价类完全搞清楚了。

令 $n=2,3$ ，我们就分别得到平面上的二次曲线和空间中的二次曲面的仿射分类．此处不再一一列举出来．

## 本章解读
好的，我们来深入探讨**二次超曲面的仿射分类**。

这与我们之前讨论的**正交分类（或度量分类）** 有本质区别。理解这个区别是掌握仿射分类的关键。

### 核心思想：仿射分类 vs. 正交分类

- **正交分类** 依赖于**距离**和**角度**的概念。它使用正交变换（旋转、反射）来化简方程，标准型中的系数（如 $a, b, c$）具有度量意义，代表了轴长、焦距等。它区分椭圆和圆，区分长、短轴不同的椭球。
- **仿射分类** 只依赖于**平行性**和**比例**的概念。它使用更一般的**仿射变换**（线性变换+平移）来化简方程，允许任意方向的拉伸和剪切。因此，在仿射几何的视角下，**一个圆和一个椭圆是没有区别的**（因为总可以通过仿射变换把一个变成另一个）。

**核心结论**：在仿射分类中，分类的依据不再是具体的系数值，而是二次曲面在可逆的线性变换下**不变的、更本质的几何属性**，主要是：
1.  **秩**：化简后二次型矩阵的秩，它决定了有多少个“有效”的二次变量。
2.  **

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