最后更新: 2025-10-19 11:22 查看: 60 次纠错评论(0) 课件开VIP

外代数

## 外 代 数
本节的内容是阐述在分析、几何、代数三个方面都很重要的概念：外代数．在前面几章中，我们研究了线性空间的理论．在当时曾一再指出：线性空间涉及两种运算，即加法和数乘，但是在其中向量与向量之间没有乘法运算。而实际上，在许多理论与实际问题中都需要把线性空间中的这一不足之处给于适当的弥补，即根据需要，在线性空间的向量之间定义某种乘法运算，使之成为一类新的代数系统．在我们已经学习过的知识中，已经有这样的例子。比如域 $K$ 上全体 $n$阶方阵所成的集合 $M_n(K)$ ，关于矩阵加法与数乘它是域 $K$ 上的线性空间，同时其中的向量，即 $K$ 上 $n$ 阶方阵，却又有乘法运算．又比如三维几何空间是实数域上的三维线性空间，其中向量也有乘法运算，即向量之间的叉乘运算．本节所要介绍的外代数，就是在某些线性空间中定义向量之间的乘法运算（称为外积）使之成为一个新的代数系统一一外代数．
在第四章 § 2，我们引进了线性空间中子空间的直和的概念，这是在一个线性空间内部讨论其子空间的合并问题。现在我们需要介绍代数学中另一种重要方法，这就是把若干个（有限个或无限个）线性空间拼装成一个更大的新线性空间。

设 $V_0, V_1, V_2, \cdots$ 为域 $K$ 上的线性空间，利用它们定义一个新集合
$V=\left\{\left(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \cdots\right) \mid \alpha_i \in V_i\right.$ ，且仅有有限个 $\alpha_i$ 不为 0$\}$.
在 $V$ 的元素之间定义加法及 $K$ 中元素与 $V$ 中元素的数乘如下：
1）加法．

$$
\left(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \cdots\right)+\left(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \cdots\right)=\left(\alpha_0+\beta_0, \alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots\right) .
$$

显然，右边的表达式中仍然仅有有限个 $\alpha_i+\beta_i$ 不为 0 ，故它也是 $V$ 中一个元素；

2 ）数乘．
对任意 $k \in K$ ，令

$$
k\left(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \cdots\right)=\left(k \alpha_0, k \alpha_1, k \alpha_2, \cdots\right) .
$$

现在也仅有有限个 $k \alpha_i$ 不为 0 ，故右边亦为 $V$ 中元素．
容易验证，$V$ 关于上述运算成为 $K$ 上线性空间．$V$ 称为线性空间 $V_0, V_1, V_2, \cdots$ 的**外直和**．

现在定义 $V_i$ 到 $V$ 的映射如下：
 ![图片](/uploads/2025-10/63e679.jpg)
 
 显然 $\sigma$ 是 $V_i$ 到 $V$ 的线性映射，且为单射．我们今后约定：对任意 $\alpha \in V_i$ ，令 $\alpha \xlongequal{\text { def }}(0, \cdots, 0, \alpha, 0, \cdots)$ 。于是 $V_i$ 成为 $V$ 的子空间，那么，如果按第四章§2空间直和的概念（在那里仅对有限个子空间给出直和的概念，但它显然对无限个子空间也成立，只要要求 $V$ 中每个向量可唯一表为子空间 $M_i$ 中向量之和，且其中仅有有限个不为 0 即可），我们即知 $V$ 为子空间 $V_0, V_1, V_2, \cdots$ 的直和．因而，我们记

$$
V=V_0 \oplus V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots=\bigoplus_{i=0}^{+\infty} V_i,
$$

并简称 $V$ 为 $V_0, V_1, V_2, \cdots$ 的**直和**．

在进入正题之前，我们先介绍一个一般的概念：
**定义** 设 $V$ 是域 $K$ 上的线性空间，如果在 $V$ 内定义了向量乘法运算，即定义一个映射

$$
\begin{aligned}
& V \times V \rightarrow V, \\
& (\alpha, \beta) \mapsto \alpha \beta,
\end{aligned}
$$

且满足如下运算法则：

1）对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ ，有 $\alpha(\beta \gamma)=(\alpha \beta) \gamma$ ；
2）对任意 $\alpha, \beta \in V$ 及 $\lambda \in K$ ，有 $(\lambda \alpha) \beta=\alpha(\lambda \beta)=\lambda(\alpha \beta)$ ；
3）对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ ，有

$$
\begin{aligned}
& \alpha(\beta+\gamma)=\alpha \beta+\alpha \gamma \\
& (\alpha+\beta) \gamma=\alpha \gamma+\beta \gamma
\end{aligned}
$$

则 $V$ 称为域 $K$ 上的一个**线性结合代数**。

例如，域 $K$ 上全体 $n$ 阶方阵所成集合 $M_n(K)$ 关于矩阵加法、数乘和乘法组成域 $K$ 上一个线性结合代数。另一方面，三维空间全体向量所成集合关于向量加法、数乘和叉乘则不构成线性结合代数，因为叉乘不满足结合律。

下面开始讨论外代数的基础理论。请读者注意，本节中将仅讨论数域 $K$ 上的线性空间而不讨论一般域上的线性空间。

**定义** 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，又设 $W$ 也是 $K$ 上的一个线性空间．从

$$
\overbrace{V \times \cdots \times V}^{r \text { 项 }}
$$

到 $W$ 的一个多线性映射 $f$ 如果满足如下条件

$$
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \alpha_i, \cdots, \alpha_r\right)=0 \quad(i=1,2, \cdots, r-1)
$$

（即第 $i, i+1$ 两个变元取 $V$ 内同一个向量 $\alpha_i$ ），则称为一个 $r$ 重交错映射。

如果 $f$ 是一个 $r$ 重交错映射，那么我们有下列性质：
性质 $1 \quad f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \cdots, \alpha_j, \cdots, \alpha_r\right)=-f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_j, \cdots, \alpha_i, \cdots\right.$ ， $\left.\alpha_r\right)$ ，即交换 $f$ 中两个变元的位置时应改变符号。

证 首先证明交换相邻两个变元 $\alpha_i, \alpha_{i+1}$ 时函数值反号。按交错映射的定义，有

$$
\begin{aligned}
0= & f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i+\alpha_{i+1}, \alpha_i+\alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_r\right) \\
= & f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \alpha_i, \cdots, \alpha_r\right)+f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_r\right) \\
& +f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i+1}, \alpha_i, \cdots, \alpha_r\right)+f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i+1}, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_r\right) \\
= & f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_r\right)+f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i+1}, \alpha_i, \cdots, \alpha_r\right) .
\end{aligned}
$$

移项后即得

$$
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_r\right)=-f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i+1}, \alpha_i, \cdots, \alpha_r\right) .
$$

对于交换 $\alpha_i, \alpha_j$（设 $i<j$ ）两个变元的情况，可由逐次交换相邻两变元位置 $(j-i)+(j-i-1)=2(j-i)-1$ 次来实现。每次交换函数值都变号，共改变奇数次号，故最后两个函数值反号。

性质 2 如果 $f$ 中两个变元取 $V$ 中同一向量，则其函数值为零。
证 设 $f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)$ 中 $\alpha_i=\alpha_j=\alpha$ ，则交换 $\alpha_i, \alpha_j$ 位置时函数值应反号，但此时函数值实际上未变化，故必为零。

性质3 当 $r>n$ 时，$r$ 重交错映射 $f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right) \equiv 0$ ．
证 在 $V$ 中取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ．设

$$
\alpha_i=\sum_{j=1}^n a_{i j} \varepsilon_j
$$

因 $f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)$ 为多线性映射，我们有

$$
\begin{aligned}
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right) & =f\left(\sum_{j_1=1}^n a_{1 j_1} \varepsilon_{j_1}, \cdots, \sum_{j_r=1}^n a_{r j_r} \varepsilon_{j_r}\right) \\
& =\sum_{j_1=1}^n \cdots \sum_{j_r=1}^n a_{1 j_1} \cdots a_{r j_r} f\left(\varepsilon_{j_1}, \cdots, \varepsilon_{j_r}\right) .
\end{aligned}
$$

现在已知 $r>n$ ，故 $j_1, j_2, \cdots, j_r$ 中必有两个相同，按上述性质 2 ，所有 $f\left(\varepsilon_{j_1}, \varepsilon_{j_2}, \cdots, \varepsilon_{j_r}\right)=0$ ．从而 $f\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\right)=0$ ．
命 $\Omega=\{1,2, \cdots, n\}$ ．以 $\Omega_r$ 表示 $\Omega$ 的一个包含 $r$ 个元素的子集．显然，一共有 $\binom{n}{r}$ 个这样的子集．对每个子集 $\Omega_r=\left(i_1, i_2, \cdots, i_r\right)$ ，我们约定按自然数的大小排列其次序：$i_1<i_2<\cdots<i_r$ ．对于 $K$ 上一个 $r \times n$ 矩阵 $A$ ，取 $A$ 的第 $i_1, i_2, \cdots, i_r$ 列所组成的 $r \times r$ 矩阵记做 $A\left(\Omega_r\right)$ ．又用 $\left|A\left(\Omega_r\right)\right|$ 表示它的行列式．

对每个子集 $\Omega_r$ ，考查集合 $\{1, \cdots, r\}$ 到 $\Omega_r$ 的单射 $\sigma: k \mapsto \sigma(k) \in \Omega_r$ ．此时 $\sigma(1), \cdots, \sigma(r)$ 为 $\Omega_r$ 内两两不同的元素，恰为 $\Omega_r$ 的元素的一个排列，它可写成如下形式：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & r \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(r)
\end{array}\right] .
$$

排列 $\sigma(1) \sigma(2) \cdots \sigma(r)$ 的反序数 $N(\sigma(1) \sigma(2) \cdots \sigma(r))$ 的奇偶性决定了 $\sigma$ 的＂符号＂，即令

$$
\operatorname{sgn} \sigma=(-1)^{N(\sigma(1) \sigma(2) \cdots \sigma(r))}
$$

如果

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_m
\end{array}\right],
$$

那么，根据行列式的理论，我们有

$$
\left|A\left(\Omega_r\right)\right|=\sum_\sigma(\operatorname{sgn} \sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{r \sigma(r)},
$$

其中和号是对所有可能的映射 $\sigma$ 求和．
命题4．1 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 是它的一组基．又设 $f$ 是 $V \times \cdots \times V$ 到 $K$ 上线性空间 $W$ 的一个 $r$ 重交错映射．对于 $V$ 内任意 $r$ 个向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ ，设

$$
\alpha_i=a_{i 1} \varepsilon_1+a_{i 2} \varepsilon_2+\cdots+a_{i n} \varepsilon_n \quad(i=1,2, \cdots, r),
$$

而 $A=\left(a_{i j}\right)_{r \times n}$ ．则

$$
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)=\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| f\left(\varepsilon_{i_1}, \varepsilon_{i_2}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right),
$$

其中和号是对所有可能的 $\binom{n}{r}$ 个子集 $\Omega_r=\left\{i_1, \cdots, i_r\right\}$ 求和．
证 因为 $f$ 是多线性的和交错的映射，利用多线性映射的性质以及交错映射的性质2，我们有

$$
\begin{aligned}
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right) & =\sum_{k_1=1}^n \cdots \sum_{k_r=1}^n a_{1 k_1} \cdots a_{r k_r} f\left(\varepsilon_{k_1}, \cdots, \varepsilon_{k_r}\right) \\
& =\sum_{\Omega_r} \sum_{\left(k_1 \cdots k_r\right) \in \Omega_r} a_{1 k_1} \cdots a_{r k_r} f\left(\varepsilon_{k_1}, \cdots, \varepsilon_{k_r}\right) .
\end{aligned}
$$

上面第一个和号表示对所有可能的子集 $\Omega_r$ 求和，而第二个和号表示对一个固定的子集 $\Omega_r$ ，让 $\left(k_1 \cdots k_r\right)$ 取 $\Omega_r$ 内元素的所有可能排列（共有 $r!$ 项），然后求和．利用交错映射的性质 1 ，我们有（设 $\sigma(1)=k_1$ ， $\cdots, \sigma(r)=k_r$ ）：

$$
f\left(\varepsilon_{k_1}, \cdots, \varepsilon_{k_r}\right)=\operatorname{sgn} \sigma \cdot f\left(\varepsilon_{i_1}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right)
$$

（其中 $i_1<i_2<\cdots<i_r$ ）．以 $\left|A\left(\Omega_r\right)\right|$ 的展开式代入，得

$$
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)=\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| f\left(\varepsilon_{i_1}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right)
$$

现在我们来指出，对每个正整数 $r \leqslant n, r$ 重交错映射都存在．为此，取一个 $K$ 上的 $\binom{n}{r}$ 维线性空间，记为 $E_r(V)$ 。在 $E_r(V)$ 内取定一组基，并且把每个子集 $\Omega_r$ 对应于一个基向量 $\eta\left(\Omega_r\right)$ ．对于 $V$ 内任意 $r$个向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ ，设

$$
\alpha_i=a_{i 1} \varepsilon_1+\cdots+a_{i n} \varepsilon_n \quad(i=1,2, \cdots, r) .
$$

我们定义 $\overbrace{V \times \cdots \times V}^{r \text { 项 }}$ 到 $E_r(V)$ 的映射 $f$ 如下：

$$
f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)=\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| \eta\left(\Omega_r\right) .
$$

![图片](/uploads/2025-10/03ce1d.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
f\left(\alpha_1,\right. & \left.\cdots, \lambda \beta_i+\mu \gamma_i, \cdots, \alpha_r\right)=\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| \eta\left(\Omega_r\right) \\
& =\lambda \sum_{\Omega_r}\left|A_1\left(\Omega_r\right)\right| \eta\left(\Omega_r\right)+\mu \sum_{\Omega_r}\left|A_2\left(\Omega_r\right)\right| \eta\left(\Omega_r\right) \\
& =\lambda f\left(\alpha_1, \cdots, \beta_i, \cdots, \alpha_r\right)+\mu f\left(\alpha_1, \cdots, \gamma_i, \cdots, \alpha_r\right) .
\end{aligned}
$$
所以 $f$ 是 $V^r$ 到 $E_r(V)$ 的多线性映射．
注意到如果 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 中有两个向量相同时，矩阵 $A$ 有相应的两行相同，于是 $\left|A\left(\Omega_r\right)\right|=0$ ，故 $f$ 是交错映射．

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