最后更新: 2025-10-19 11:09 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

张量的加法和乘法

## 张量的加法和乘法
下面我们介绍张量的两种基本运算．
1）加法．
给定两个 $(p, q)$ 型张量：$a_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots i_p}$ 和 $b_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots i_p}$ ，定义

$$
c_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots j_p}=a_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots j_p}+b_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots i_p},
$$

称为两个张量的和．显然，这相当于在 $V(p) \otimes V^*(q)$ 内两个向量相加．所以，两个 $(p, q)$ 型张量的和仍是一个 $(p, q)$ 型张量．

2）乘法．
给定一个 $(p, q)$ 型张量 $a_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots j_p}$ ，把它看做张量积 $V(p) \otimes V^*(q)$ 内向量 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p} \otimes f^{j_1} \otimes \cdots \otimes f^{j_q}$ 下的坐标；又给定一个 $(r, s)$ 型张量 $b_{l_1 \cdots l_s}^{k_1 \cdots k_r}$ ，把它看做 $V(r) \otimes V^*(s)$ 内一个向量 $\beta$ 在基 $\varepsilon_{k_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{k_r} \otimes f^{l_1} \otimes \cdots \otimes f^{l_s}$ 下的坐标．我们考查张量积（注意两不同线性空间张量积可交换）

$$
\left(V(p) \otimes V^*(q)\right) \otimes\left(V(r) \otimes V^*(s)\right)=\overbrace{V \otimes \cdots \otimes V}^{p+r} \otimes \overbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}^{q+\cdots} \text {. }
$$

它里面有一组基为

$$
\begin{gathered}
\varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{t_p} \otimes \varepsilon_{k_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{k_r} \otimes f^{\jmath_1} \otimes \cdots \otimes f^{\jmath_q} \otimes f^{l_1} \otimes \cdots \otimes f^{l_s} \\
\left(i_1, \cdots, i_p, k_1, \cdots, k_r, j_1, \cdots, j_q, l_1, \cdots, l_s=1,2, \cdots, n\right) .
\end{gathered}
$$

我们有
 ![图片](/uploads/2025-10/a1e3f8.jpg)
 
 我们定义

$$
c_{j_1 \cdots j_j l_1 \cdots l_s}^{i_1 \cdots i_p k_1 \cdots k_r}=a_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots i_p} b_{l_1 \cdots l_s}^{k_1 \cdots k_r},
$$

称它为两个张量 $a_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots i_p}$ 和 $b_{l_1 \cdots l_s}^{k_1 \cdots l_r}$ 的乘积．$c_{j_1 \cdots j_q l_1 \cdots l_s}^{i_1 \cdots i_p k_k \cdots k_r}$ 是**张量积**

$$
(V(p) \otimes V(r)) \otimes\left(V^*(q) \otimes V^*(s)\right)=V(p+r) \otimes V^*(q+s)
$$

内一个向量在所取定的基（4）下的坐标，所以它是一个（ $p+r, q+s$ ）型的张量．

上面我们介绍了张量的概念和两种简单的张量运算．张量是几何学、力学、物理学中常用的工具，对它们的进一步讨论留待今后具体运用时再进行．

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