最后更新: 2025-10-19 11:08 查看: 42 次纠错评论(0) 课件开VIP

张量

##  张量

在这一节里，我们利用向量空间张量积的概念来阐述各种类型的张量．

### 1．张量的基本概念
在讨论张量及其运算时，将出现许多和式．为了简单起见，在张量理论里通常采用一种特殊的记号来表示一个和式。在一般数学式子中，和号表示为

$$
\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n
$$

而在张量理论中，将某一个量（例如 $a_i$ ）的下角标改为上角标，写成 $a^i$ （注意这不是 $a$ 的 $i$ 次方），同时省略和号，即令

$$
a^i b_i=a^1 b_1+a^2 b_2+\cdots+a^n b_n
$$

> 在下面，我们将使用这种特殊记号．读者应当记住，在本节的一个式子中，凡是一个角标（ $i, j$ 等等）同时出现，且一个是上角标一个是下角标，那就意味着将该式对此角标的所有可能值求和，而和号不再写出．

现在设 $V$ 是域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 和 $\eta_1, \cdots, \eta_n$ 是 $V$的两组基，且

$$
\left(\eta_1, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

按照上面的记号，我们将过渡矩阵 $T$ 写成

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_1^1 & t_2^1 & \cdots & t_n^1 \\
t_1^2 & t_2^2 & \cdots & t_n^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_1^n & t_2^n & \cdots & t_n^n
\end{array}\right],
$$

于是有 $\eta_i=t_i^k \varepsilon_k$ ．
现在考查 $V$ 的对偶空间 $V^* . \varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 在 $V^*$ 的对偶基记为 $f^1$ ， $\cdots, f^n$ ，此时有 $f^i\left(\varepsilon_j\right)=\delta_{i j} . \eta_1, \cdots, \eta_n$ 在 $V^*$ 的对偶基记为 $g^1, \cdots, g^n$ ，则有 $g^i\left(\eta_j\right)=\delta_{i j}$ ．如果设

$$
\left(g^1, \cdots, g^n\right)=\left(f^1, \cdots, f^n\right) S,
$$

此时 $S$ 应写成

$$
S=\left[\begin{array}{cccc}
s_1^1 & s_1^2 & \cdots & s_1^n \\
s_2^1 & s_2^2 & \cdots & s_2^n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
s_n^1 & s_n^2 & \cdots & s_n^n
\end{array}\right]
$$

而 $g^i=s_k^i f^k$ 。现在以 $\eta_j$ 代入 $g^i(\alpha)$ ，得

$$
\begin{aligned}
\delta_{i j} & =g^i\left(\eta_j\right)=s_k^i f^k\left(\eta_j\right)=s_k^i f^k\left(t_j^l \varepsilon_l\right) \\
& =s_k^i t_j^l f^k\left(\varepsilon_l\right)=s_k^i t_j^l \delta_{k l}=s_k^i t_j^k
\end{aligned}
$$

上面的式子表示 $S^{\prime} T=E$ 。于是 $S=\left(T^{\prime}\right)^{-1}$ 。此时有 $T S^{\prime}=E$ ，由此推知 $t_k^i s_j^k=\delta_{i j}$ ．这给出了 $V$ 内基变换和 $V^*$ 内基变换之间的关系，可概括如下：

1）$\eta_i=t_i^k \varepsilon_k$ ，而 $\varepsilon_i=s_i^k \eta_k$ ；
2）$g^i=s_k^i f^k$ ，而 $f^i=t_k^i g^k$ 。
对任意 $\alpha \in V$ ，设
$$
\alpha=x^i \varepsilon_i=y^j \eta_j
$$

我们有

$$
x^i \varepsilon_i=x^i\left(s_i^k \eta_k\right)=s_i^k x^i \eta_k=y^k \eta_k
$$

由此得到 $V$ 内的坐标变换公式：$y^j=s_i^j x^i$ ．
现在考查

$$
\overbrace{V \otimes \cdots \otimes V}^{p \text { 项 }}=V(p) \text {. }
$$

它有相应的两组基：
$\varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p} \quad\left(i_1, \cdots, i_p\right.$ 分别取值 $\left.1,2, \cdots, n\right) ;$
$\eta_{j_1} \otimes \cdots \otimes \eta_{j_p} \quad\left(j_1, \cdots, j_p\right.$ 分别取值 $\left.1,2, \cdots, n\right)$ ．对于 $V(p)$ 内任意向量 $\alpha$ ，它在这两组基下的坐标分别设为

$$
\begin{aligned}
\alpha & =a^{i_1 i_2 \cdots i_p} \varepsilon_{i_1} \otimes \varepsilon_{i_2} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p} \\
& =\bar{a}^{j_1 j_2 \cdots j_p} \eta_{j_1} \otimes \eta_{j_2} \otimes \cdots \otimes \eta_{j_p} .
\end{aligned}
$$

将 $V$ 内的基变换公式 $\varepsilon_i=s_i^k \eta_k$ 代入上式，得
 ![图片](/uploads/2025-10/ff1603.jpg)
 
 于是我们得到 $\alpha$ 在两组不同基下的坐标的变换关系：

$$
\bar{a}^{j_1 j_2 \cdots j_p}=s_{i_1}^{j_1} s_{i_2}^{j_2} \cdots s_{i_p}^{j_p} a^{i_1 i_2 \cdots i_p} .
$$

在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ ，让它对应于域 $K$ 内一组元素
$\left\{a^{i_1 i_2 \cdots i_p} \mid i_1, i_2, \cdots, i_p\right.$ 分别取值 $\left.1,2, \cdots, n\right\}$ 。
如果这组元素随 $V$ 内的基变换 $\varepsilon_i=s_i^k \eta_k$ 而按公式（1）变换时，就称它为 $V$ 上的一个 **$p$ 秩逆变张量**。从上面的讨论可知，一个 $p$ 秩逆变张量实际上是 $V(p)$ 内一个向量在取定的一组基 $\varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p}$ 下的坐标。当基变换时，其坐标按公式（1）变换。

下面考查 $V^*$ 的张量积

![图片](/uploads/2025-10/02e4c6.jpg)
 
 如果这组元素随 $V^*$ 内的基变换 $f^i=t_k{ }^i g^k$ 而按公式（2）变换时，就称它为 $V$ 上的一个 $q$ 秩协变张量。从上面的讨论可知，一个 $q$ 秩协变张量实际上是 $V^*(q)$ 内一个向量在取定的一组基 $f^i \otimes \cdots \otimes f^i$ 下的坐标。当基变换时，其坐标按公式（2）变换。

最后，我们来考查张量积 $V(p) \otimes V^*(q)$ ，它有两组基

$$
\varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p} \otimes f^{j_1} \otimes \cdots \otimes f^{j_q}
$$

$\left(i_1, \cdots, i_p, j_1, \cdots j_q\right.$ 分别取值 $\left.1, \cdots, n\right)$ ，

$$
\begin{gathered}
\eta_{k_1} \otimes \cdots \otimes \eta_{k_p} \otimes g^{l_1} \otimes \cdots \otimes g^{l_q} \\
\left(k_1, \cdots k_p, l_1, \cdots, l_q \text { 分别取值 } 1, \cdots, n\right) .
\end{gathered}
$$

$V(p) \otimes V^*(q)$ 内一个向量可表示成

$$
\begin{aligned}
& a_{j_1 j_2 \cdots j_q}^{i_1 i_2 \cdots i_p} \varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p} \otimes f^{j_1} \otimes \cdots \otimes f^{j_q} \\
& \quad=\bar{a}_{l_1 l_2 \cdots l_q}^{k_1 k_2 \cdots k_p} \eta_{k_1} \otimes \cdots \otimes \eta_{k_p} \otimes g^{l_1} \otimes \cdots \otimes g^{l_q} .
\end{aligned}
$$

在基变换 $\varepsilon_i=s_i^k \eta_k, f^j=t_l^j g^l$ 下，有

$$
\bar{a}_{l_1 l_2 \cdots l_q}^{k_1 k_2 \cdots k_p}=s_{i_1}^{k_1} \cdots s_{i_p}^{k_p} t_{l_1}^{j_1} \cdots t_{l_q}^{j_q} a_{j_1 j_2 \cdots j_q}^{i_1 i_2 \cdots i_p} .
$$

域 $K$ 内一组元素 $\left\{a_{j_1 \cdots j_q}^{i_1 \cdots i_p} \mid i_1, \cdots, i_p, j_1, \cdots, j_q\right.$ 分别取值 $\left.1, \cdots, n\right\}$ 在 $V$ 和 $V^*$ 的上述基变换下按公式（3）变换时，就称它为 $V$ 上的一个 $p$
**秩逆变**，$q$ 秩协变的**混合张量**，或简称为 $(p, q)$ 型张量．从上面的讨论可知，一个 $(p, q)$ 型混合张量实际上就是张量积 $V(p) \otimes V^*(q)$ 内一个向量在基 $\varepsilon_{i_1} \otimes \cdots \otimes \varepsilon_{i_p} \otimes f^{j_1} \otimes \cdots \otimes f^{j_q}$ 下的坐标。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：线性变换的张量积

下一篇：张量的加法和乘法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)