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张量

##  张量

在这一节里，我们利用向量空间张量积的概念来阐述各种类型的张量．

### 1．张量的基本概念
在讨论张量及其运算时，将出现许多和式．为了简单起见，在张量理论里通常采用一种特殊的记号来表示一个和式。在一般数学式子中，和号表示为

$$
\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n
$$

而在张量理论中，将某一个量（例如 $a_i$ ）的下角标改为上角标，写成 $a^i$ （注意这不是 $a$ 的 $i$ 次方），同时省略和号，即令

$$
a^i b_i=a^1 b_1+a^2 b_2+\cdots+a^n b_n
$$

> 在下面，我们将使用这种特殊记号．读者应当记住，在本节的一个式子中，凡是一个角标（ $i, j$ 等等）同时出现，且一个是上角标一个是下角标，那就意味着将该式对此角标的所有可能值求和，而和号不再写出．

现在设 $V$ 是域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间，$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 和 $\eta_1, \cdots, \eta_n$ 是 $V$的两组基，且

$$
\left(\eta_1, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

按照上面的记号，我们将过渡矩阵 $T$ 写成

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_1^1 & t_2^1 & \cdots & t_n^1 \\
t_1^2 & t_2^2 & \cdots & t_n^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_1^n & t_2^n & \cdots & t_n^n
\end{array}\right],
$$

于是有 $\eta_i=t_i^k \varepsilon_k$ ．
现在考查 $V$ 的对偶空间 $V^* . \varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 在 $V^*$ 的对偶基记为 $f^1$ ， $\cdots, f^n$ ，此时有 $f^i\left(\varepsilon_j\right)=\delta_{i j} . \eta_1, \cdots, \eta_n$ 在 $V^*$ 的对偶基记为 $g^1, \cdots, g^n$ ，则有 $g^i\left(\eta_j\right)=\delta_{i j}$ ．如果设

$$
\left(g^1, \cdots, g^n\right)=\left(f^1, \cdots, f^n\right) S,
$$

此时 $S$ 应写成

$$
S=\left[\begin{array}{cccc}
s_1^1 & s_1^2 & \cdots & s_1^n \\
s_2^1 & s_2^2 & \cdots & s_2^n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
s_n^1 & s_n^2 & \cdots & s_n^n
\end{array}\right]
$$

而 $g^i=s_k^i f^k$ 。现在以 $\eta_j$ 代入 $g^i(\alpha)$ ，得

$$
\begin{aligned}
\delta_{i j} & =g^i\left(\eta_j\right)=s_k^i f^k\left(\eta_j\right)=s_k^i f^k

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