最后更新: 2025-10-19 11:04 查看: 33 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性变换的张量积

## 线性变换的张量积
设 $V_1, V_2$ 是域 $K$ 上两个有限维线性空间， $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分别是 $V_1, V_2$ 内的两个线性变换．定义 $V_1 \times V_2$ 到 $V_1 \otimes V_2$ 的映射 $g$ 如下

$$
g:(u, v) \mapsto \boldsymbol{A} u \otimes \boldsymbol{B} v \quad\left(u \in V_1, v \in V_2\right) .
$$

$g$ 显然是一个双线性映射．根据张量积的定义，存在 $V_1 \otimes V_2$ 上的唯一线性变换 $\sigma$ ，使 $\sigma(u \otimes v)=\boldsymbol{A} u \otimes \boldsymbol{B} v$ 。我们把 $\sigma$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的**张量积**，记做 $\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}$ ．于是

$$
\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}(u \otimes v)=\boldsymbol{A} u \otimes \boldsymbol{B} v \quad\left(u \in V_1, v \in V_2\right) .
$$

**命题 2.4** 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^{\prime}$ 是 $V_1$ 内的线性变换， $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{B}^{\prime}$ 是 $V_2$ 内的线性变换，则

（i）

$$
\begin{aligned}
\left(A+A^{\prime}\right) \otimes B & =A \otimes B+A^{\prime} \otimes B, \\
A \otimes\left(B+B^{\prime}\right) & =A \otimes B+A \otimes B^{\prime} ;
\end{aligned}
$$

（ii）$(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \otimes \boldsymbol{B}^{\prime}\right)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\prime} \otimes \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\prime}$ ．
（iii）如 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}$ 也可逆，且 $(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1} \otimes \boldsymbol{B}^{-1}$ 。
证 因为 $V_1 \otimes V_2$ 中每个向量都可由 $u \otimes v$ 型的向量线性表示，所以只要将上述等式两边都作用在 $u \otimes v$ 上，证明所得结果相同就可以了。例如

$$
\begin{gathered}
(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \otimes \boldsymbol{B}^{\prime}\right)(u \otimes v)=(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})\left(\boldsymbol{A}^{\prime} u \otimes \boldsymbol{B}^{\prime} v\right) \\
=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\prime} u \otimes \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\prime} v=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\prime} \otimes \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\prime}\right)(u \otimes v)
\end{gathered}
$$

其他等式的证明留给读者作为练习。
现在取定 $V_1$ 的一组基 $e_1, \cdots, e_m, V_2$ 的一组基 $f_1, \cdots, f_n$ ．又设

$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{A} e_1, \cdots, \boldsymbol{A} e_m\right)=\left(e_1, \cdots, e_m\right)(A), \\
& \left(\boldsymbol{B} f_1, \cdots, \boldsymbol{B} f_n\right)=\left(f_1, \cdots, f_n\right)(B) .
\end{aligned}
$$

已知 $V_1 \otimes V_2$ 的一组基为 $\left\{e_i \otimes f_j\right\}$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$ ，则

$$
(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})\left(e_i \otimes f_j\right)=\left(\boldsymbol{A} e_i\right) \otimes\left(\boldsymbol{B} f_j\right)=\sum_{k=1}^m \sum_{l=1}^n a_{k i} b_{l j} e_k \otimes f_l
$$

如果约定 $V_1 \otimes V_2$ 中这组基的排列次序是

$$
e_1 \otimes f_1, \cdots, e_1 \otimes f_n, e_2 \otimes f_1, \cdots, e_2 \otimes f_n, \cdots, e_m \otimes f_1, \cdots, e_m \otimes f_n,
$$

则 $\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}$ 在这组基下的矩阵可表示为如下的分块形式：

$$
A \otimes B=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} B & a_{12} B & \cdots & a_{1 m} B \\
a_{21} B & a_{22} B & \cdots & a_{2 m} B \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} B & a_{m 2} B & \cdots & a_{m m} B
\end{array}\right]_{m n \times m n}
$$

$A \otimes B$ 称为矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的**张量积**．显然，命题 2.4 所列举的线性变换张量积的几条性质可以平行地推到矩阵的张量积上，此处不再重复罗列了．

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