最后更新: 2025-10-19 11:02 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

张量积的性质

## 张量积的性质
下面是张量积的一个基本性质．

**命题2．3** 设 $U, V, W$ 是域 $K$ 上的有限维线性空间．我们有如下结果：
（i）存在 $U \otimes V$ 到 $V \otimes U$ 的一个线性空间同构 $\sigma$ ，使对任意 $u \in U, v \in V$ ，有 $\sigma(u \otimes v)=v \otimes u$ ．
（ii）存在 $U \otimes(V \otimes W)$ 到 $(U \otimes V) \otimes W$ 的一个线性空间同构 $\tau$ ，使对任意 $u \in U, v \in V, w \in W$ ，有

$$
\tau(u \otimes(v \otimes w))=(u \otimes v) \otimes w .
$$

证 在 $U$ 中取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_m$ ，在 $V$ 中取一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots$ ， $\eta_n$ ，在 $W$ 中取一组基 $\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_k$ 。则 $\left\{\varepsilon_i \otimes \eta_j\right\}$ 为 $U \otimes V$ 的一组基，而 $\left\{\eta_j \otimes \varepsilon_i\right\}$ 为 $V \otimes U$ 的一组基．按第四章命题 3．6，存在 $U \otimes V$ 到 $V \otimes U$的线性空间同构 $\sigma$ ，使 $\sigma\left(\varepsilon_i \otimes \eta_j\right)=\eta_j \otimes \varepsilon_i(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots$ ， $n$ ）．此时对任意 $u \in U, v \in V$ ，有

$$
u=\sum_{i=1}^m a_i \varepsilon_i, \quad v=\sum_{j=1}^n b_j \eta_j,
$$

按张量积的基本性质，有

$$
\sigma(u \otimes v)=\sigma\left(\left(\sum_{i=1}^m a_i \varepsilon_i\right) \otimes\left(\sum_{j=1}^n b_j \eta_j\right)\right)
$$

$$
\begin{aligned}
& =\sigma\left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j \varepsilon_i \otimes \eta_j\right)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j \sigma\left(\varepsilon_i \otimes \eta_j\right) \\
& =\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j \eta_j \otimes \varepsilon_i=\left(\sum_{j=1}^n b_j \eta_j\right) \otimes\left(\sum_{i=1}^m a_i \varepsilon_i\right) \\
& =v \otimes u
\end{aligned}
$$

同样，现在 $\left\{\varepsilon_i \otimes\left(\eta_j \otimes w_t\right)\right\}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n ; t=1,2$ ， $\cdots, k)$ 为 $U \otimes(V \otimes W)$ 的一组基，而 $\left\{\left(\varepsilon_i \otimes \eta_j\right) \otimes w_t\right\}$ 为 $(U \otimes V) \otimes W$ 的一组基，定义 $U \otimes(V \otimes W)$ 到 $(U \otimes V) \otimes W$ 的线性空间同构

$$
\tau\left(\varepsilon_i \otimes\left(\eta_j \otimes w_t\right)\right)=\left(\varepsilon_i \otimes \eta_j\right) \otimes w_t,
$$

则 $\tau$ 即为所求．
如设 $U \times V$ 到 $U \otimes V$ 的双线性映射为 $\varphi$ ，又定义 $U \times V$ 到 $V \otimes U$的映射 $f(u, v)=v \otimes u(\forall u \in U, v \in V)$ ，由张量积的性质知 $f$ 为双线性映射，且 $f\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)=\eta_j \otimes \varepsilon_i$ 为 $V \otimes U$ 的一组基，按命题 $2.2,(V \otimes U$ ， $f)$ 也是 $U$ 与 $V$ 的一个张量积．又按命题 2.3 ，有如下交换图：
 ![图片](/uploads/2025-10/ab003a.jpg)
 
 于是 $(V \otimes U, f)=(\sigma(U \otimes V), \sigma \varphi)$ ．因为张量积在同构意义下是唯一的，故 $V \otimes U=U \otimes V$ ，即两个线性空间的张量积可交换，且此时 $v \otimes u =u \otimes v(\forall u \in U, v \in V)$ ．但注意这里 $U \otimes V$ 与 $V \otimes U$ 是两个不同的线性空间，$u \otimes v$ 与 $v \otimes u$ 本来是分属这两个不同线性空间中的向量，只是在同构 $\sigma$ 下把它们看做相同，所以 $v \otimes u=u \otimes v$ 并不是同一线性空间内交换次序，与上面所说的 $U \otimes U$ 内 $u_1 \otimes u_2 \neq u_2 \otimes u_1$ 并不矛盾．

同样，在同构 $\tau$ 下认为 $U \otimes(V \otimes W)=(U \otimes V) \otimes W$ ，简单写成 $U \otimes V \otimes W$ ．此时 $u \otimes(v \otimes w)=(u \otimes v) \otimes w$ ，简单写成 $u \otimes v \otimes w$ ．于是，我们可以有任意 $l$ 个有限维线性空间 $V_1, V_2, \cdots, V_l$ 的张量积 $V_1 \otimes V_2 \otimes \cdots \otimes V_l$ ，而且当 $V_i$ 与 $V_j$ 不同时 $V_i \otimes V_j=V_j \otimes V_i$ ．而 $V_1 \otimes V_2 \otimes \cdots \otimes V_l$ 中任意向量均可表为形如 $v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_l\left(v_i \in V_i\right)$ 的向量的线性组合（但注意此时表法不是唯一的）．

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