最后更新: 2025-10-19 11:02 查看: 77 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性空间的张量积

## 线性空间的张量积

本节介绍多重线性代数中一个重要的基本概念．
1．张量积的定义
定义 设 $U, V, W$ 是域 $K$ 上的线性空间．如果存在 $U \times V$ 到 $W$的双线性映射 $\varphi$ ，使对于 $U \times V$ 到 $K$ 上任意线性空间 $P$ 的任意双线性映射 $f$ ，都存在 $W$ 到 $P$ 的唯一线性映射 $\tau$ ，使下图交换：
 ![图片](/uploads/2025-10/e30665.jpg)
 
 亦即 $f=\tau \varphi$ ，那么 $W$ 及双线性映射 $\varphi$ 所成的二元组 $(W, \varphi)$ 称为 $U$ 与 $V$ 的一个**张量积**。

上面的定义是以抽象的形式出现的，在本书中将对 $U, V$ 为有限维线性空间的情况作详细讨论。我们首先证明张量积在同构的意义下是唯一的。

**命题2．1** 设 $U, V$ 是域 $K$ 上的线性空间。如果 $(W, \varphi)$ 和 $\left(W^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$ 是 $U, V$ 的两个张量积，则存在 $W$ 到 $W^{\prime}$ 的唯一线性空间同构 $\tau$ ，使下图交换：
 ![图片](/uploads/2025-10/a4be74.jpg)
 
 亦即 $W^{\prime}=\tau(W), \varphi^{\prime}=\tau \varphi$ ，从而 $\left(W^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=(\tau(W), \tau \varphi)$ 。
证 按张量积的定义，有 $W$ 到 $W^{\prime}$ 的唯一线性映射 $\tau$ ，使下图交换：
 ![图片](/uploads/2025-10/806b2c.jpg)
 
 亦即 $\varphi^{\prime}=\tau \varphi$ ，只需证 $\tau$ 为线性空间同构．因为（ $W^{\prime}, \varphi^{\prime}$ ）也是 $U, V$ 的张量积，所以应有 $W^{\prime}$ 到 $W$ 的线性映射 $\tau^{\prime}$ ，使 $\varphi=\tau^{\prime} \varphi^{\prime}$ 。于是我们有 $\varphi =\tau^{\prime}(\tau \varphi)=\left(\tau^{\prime} \tau\right) \varphi$ ．再观察下图：
  ![图片](/uploads/2025-10/645dee.jpg)
  
 它表示 $W$ 到 $W$ 的线性映射 $\tau^{\prime} \tau$ 使上图交换．但 $W$ 内恒等映射 $\mathrm{id}_W$显然也使上图交换：$\varphi=\operatorname{id}_W \varphi$ 。由张量积 $(W, \varphi)$ 的定义，从 $W$ 到 $W$ ，且使上图交换的线性映射是唯一的，从而知 $\tau^{\prime} \tau=\mathrm{id}_W$ 。

同理，由于又有 $\varphi^{\prime}=\left(\tau \tau^{\prime}\right) \varphi^{\prime}$ ，考查下图
 ![图片](/uploads/2025-10/1a24f2.jpg)
 
 可知应有 $\tau \tau^{\prime}=\mathrm{id}_{W^{\prime}}$ ．
综合上面两方面结果知 $\tau$ 可逆，即 $\tau$ 为 $W$ 到 $W^{\prime}$ 的线性空间同构，且 $\varphi^{\prime}=\tau \varphi$ 。

今后我们用 $U \otimes V$ 来表示 $U$ 与 $V$ 的唯一张量积（在同构意义下）（ $W, \varphi$ ）．这时，对任意 $u \in U, v \in V, \varphi(u, v)$ 记做 $u \otimes v$ ．我们有下面简单性质：

1）

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 u_1+a_2 u_2\right) \otimes v=\varphi\left(a_1 u_1+a_2 u_2, v\right) \\
& \quad=a_1 \varphi\left(u_1, v\right)+a_2 \varphi\left(u_2, v\right) \\
& \quad=a_1 u_1 \otimes v+a_2 u_2 \otimes v ;
\end{aligned}
$$

2）$u \otimes\left(b_1 v_1+b_2 v_2\right)=b_1 u \otimes v_1+b_2 u \otimes v_2$ ；
3）$a(u \otimes v)=(a u) \otimes v=u \otimes(a v)(\forall a \in K)$ ．

对域 $K$ 上任意两个线性空间 $U, V$ ，张量积 $U \otimes V$ 是否都存在呢？回答是肯定的．但我们这里将只对 $U, V$ 为有限维线性空间来证明其张量积的存在性．

**命题2．2** 设 $U, V$ 是域 $K$ 上的有限维线性空间，在 $U$ 中取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_m$ ，在 $V$ 中取一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 。如果存在 $U \times V$ 到 $K$ 上线性空间 $W$ 的双线性映射 $\varphi$ ，使 $\left\{\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right) \mid i=1,2, \cdots, m ; j=1\right.$ ， $2, \cdots, n\}$ 成为 $W$ 的一组基，则 $(W, \varphi)$ 为 $U$ 与 $V$ 的一个张量积．

证 设有 $U \times V$ 到 $K$ 上线性空间 $P$ 的双线性映射 $f$ ．我们来证明：存在 $W$ 到 $P$ 的唯一线性映射 $\tau$ ，使 $f=\tau \varphi$ 。 因 $w_{i j}=\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)$ 为 $W$的一组基，按第四章命题3．6，只需定义 $\tau\left(w_{i j}\right)=f\left(\varepsilon_i, \eta_j\right) \in P$ ，则 $\tau$为 $W$ 到 $P$ 的一个线性映射．此时，对任意 $\varepsilon \in U, \eta \in V$ ，有

$$
\varepsilon=\sum_{i=1}^m a_i \varepsilon_i, \quad \eta=\sum_{j=1}^n b_i \eta_j
$$

那么，由于 $\tau, \varphi$ 的线性性质，我们有
 ![图片](/uploads/2025-10/87f6ef.jpg)
 
 这表明 $f=\tau \varphi$ ．现设又有 $W$ 到 $P$ 的线性映射 $\tau^{\prime}$ ，使 $f=\tau^{\prime} \varphi$ ，则 $\tau^{\prime}\left(w_{i j}\right)=\tau^{\prime}\left(\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)\right)=\left(\tau^{\prime} \varphi\right)\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)=f\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)=\tau\left(w_{i j}\right)$ 。现在按第四章命题3．6，因 $\tau$ 与 $\tau^{\prime}$ 在 $W$ 的一组基 $\left\{w_{i j}\right\}$ 处作用相同，故 $\tau^{\prime}=\tau$ 。根据张量积的定义，即知 $(W, \varphi)$ 为 $U$ 与 $V$ 的一个张量积．

**推论** 设 $U, V$ 是域 $K$ 上的有限维线性空间。令 $W=\mathscr{L}\left(U^*\right.$ ， $\left.V^*\right)$ ，又知 $\varphi(\alpha, \beta)$ 为命题1．2中的 $U \times V$ 到 $W$ 的双线性映射，则 $(W, \varphi)$ 为 $U$ 与 $V$ 的一个张量积．如设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_m$ 为 $U$ 的一组基，$\eta_1$ ， $\eta_2, \cdots, \eta_n$ 为 $V$ 的一组基，则 $\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)=\varepsilon_i \otimes \eta_j(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2$ ， $\cdots, n)$ 为 $U \otimes V=W$ 的一组基，从而

$$
\operatorname{dim}(U \otimes V)=(\operatorname{dim} U)(\operatorname{dim} V) .
$$

证 由命题1．2 及命题2．2即知结论成立．

这样，对有限维线性空间，其张量积的存在性已获证明．特别是，如 $(W, \varphi)$ 为上述张量积，则 $\varphi$ 为 $U \times V$ 到 $W=U \otimes V$ 的双线性映射，且 $\varphi$ 的像集 $\varphi(U \times V)$ 中包含 $U \otimes V$ 的一组基，于是 $U \otimes V$ 中任意向量可表为 $\varphi(U \times V)$ 中有限向量的线性组合：

$$
\sum_{i=1}^k a_i\left(u_i \otimes v_i\right)=\sum_{i=1}^k\left(a_i u_i\right) \otimes v_i=\sum_{i=1}^k u_i^{\prime} \otimes v_i
$$

（其中 $u_i^{\prime} \in U, v_i \in V$ ）．但注意 $\varphi$ 并非 $U \times V$ 到 $U \otimes V$ 的满射，故 $U \otimes V$ 中向量不一定都是 $u \otimes v(u \in U, v \in V)$ 的形式．特别要注意，$U \otimes V$中向量表成 $u_i \otimes v_i$ 形状的向量的线性组合时，其表法一般是不唯一的．

另外还需提请读者注意，当 $U=V$ 时，在张量积 $U \otimes U$ 中，向量 $u_1 \otimes u_2\left(u_1, u_2 \in U\right)$ 一般不等于 $u_2 \otimes u_1$ ，这是因为 $U \times U$ 到 $U \otimes U$ 的双线性映射 $\varphi$ 并不具有对称性，即

$$
u_1 \otimes u_2=\varphi\left(u_1, u_2\right) \neq \varphi\left(u_2, u_1\right)=u_2 \otimes u_1 .
$$

## 本文解读

张量积是对“对偶空间”概念的延伸和强化，是构建更复杂“测量系统”的工具。

### 核心比喻：**“构建多功能测量仪”**

承接上一个比喻：
- **空间 V**：所有“物体”的集合（比如，一些**向量**）。
- **对偶空间 V***：所有“单功能测量工具”的集合（比如，一把尺子，一个温度计）。

现在，张量积要解决的问题是：**我们如何制造出一种新的工具，可以同时进行多种测量，并且能表达这些测量结果之间的关系？**

---

### 1. 从简单测量到组合测量

假设你有：
- 一个物体 `v`（来自空间 V），比如一个长方体。
- 一个测量工具 `φ`（来自对偶空间 V*），比如“测量长度的尺子”。

那么 `φ(v)` 就是一个简单的测量结果，比如“长度=5cm”。

但现实世界更复杂。比如你想描述：
- “这个长方体的**长度和温度的关系**”
- “这个物体的**质量分布**在空间中的情况”

这就需要**组合测量**。张量积 `⊗` 就是实现这种组合的数学机器。

---

### 2. 张量积的通俗定义

**张量积 `v ⊗ φ` 是一个新的数学对象**：
- 它既包含了物体信息 `v`，也包含了测量方式信息 `φ`
- 但它**不是一个数**，而是一个**等待被激活的测量配置**

更准确地说：
- 输入：`v ⊗ φ`（一个向量和一个对偶向量的张量积）
- 输出：当这个配置遇到**另一个对偶向量 ψ** 时，它会给出一个数：
  $$
  (v ⊗ φ)(ψ) = ψ(v) · φ(?) 
  $$
（这里需要更精确的定义，见后面的例子）

---

### 3. 关键特性和直观理解

**特性1：双线性（最重要的特性）**
张量积保持线性关系：
- `(v₁ + v₂) ⊗ φ = v₁ ⊗ φ + v₂ ⊗ φ`
- `v ⊗ (φ₁ + φ₂) = v ⊗ φ₁ + v ⊗ φ₂`
- `(av) ⊗ φ = v ⊗ (aφ) = a(v ⊗ φ)`

这就像说：“组合测量仪的读数应该与各个部件的线性关系保持一致”。

**特性2：不可交换性**
一般来说：`v ⊗ φ ≠ φ ⊗ v`
它们是完全不同的数学对象，就像“温度计+尺子”和“尺子+温度计”可能是不同的仪器。

---

### 4. 具体例子：矩阵视角

考虑二维空间中的张量积。设：
- 向量 `v = (a, b)`（列向量）
- 对偶向量 `φ = (c, d)`（行向量）

那么它们的张量积 `v ⊗ φ` 就是一个 **2×2 矩阵**：
$$
v ⊗ φ = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ⊗ \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} ac & ad \\ bc & bd \end{pmatrix}
$$

**这个矩阵能做什么？**
它可以被另一个对偶向量 `ψ = (x, y)`（行向量）来“测量”：
$$
(v ⊗ φ)(ψ) = \text{矩阵乘法} = \psi \cdot (v ⊗ φ)
$$
但更常见的是，张量积用来构造**双线性形式**：输入两个向量，输出一个数。

---

### 5. 更高级的理解：张量作为多重线性映射

实际上，`v ⊗ φ` 本身可以看作一个**线性算子**：
- 输入：一个对偶向量 `ψ`
- 输出：一个数 `ψ(v) · φ(w)`（这里需要另一个向量 `w`）

更一般地，类型为 `(m, n)` 的张量是：
- 吃进 `m` 个对偶向量和 `n` 个向量
- 吐出一个数
- 并且在每个参数上都是线性的

比如：
- `(0, 1)` 张量：就是向量（吃1个对偶向量，吐出数）
- `(1, 0)` 张量：就是对偶向量（吃1个向量，吐出数）  
- `(1, 1)` 张量：就是 `v ⊗ φ` 这种（吃1个对偶向量和1个向量，吐出数）

---

### 6. 物理和工程中的意义

1. **应力张量**：
   - 描述材料内部的应力状态
   - 输入：一个截面方向（对偶向量）
   - 输出：该截面上的应力向量
   - 这就是一个 `(1, 1)` 型张量

2. **惯性张量**：
   - 描述刚体旋转惯性的分布
   - 输入：角速度向量
   - 输出：角动量向量
   - 这也是一个 `(1, 1)` 型张量

3. **电磁场张量**：
   - 在相对论中统一描述电场和磁场
   - 这是一个 `(0, 2)` 型张量

---

### 总结：张量积的直观理解

| 概念 | 通俗理解 | 数学表示 |
|------|----------|----------|
| **向量 v** | 一个物体 | `v ∈ V` |
| **对偶向量 φ** | 一个单功能测量工具 | `φ ∈ V*` |
| **简单测量** | 用工具测量物体 | `φ(v)` = 一个数 |
| **张量积 v ⊗ φ** | 制造一个多功能测量仪 | 一个新的数学对象 |
| **张量** | 一套完整的测量系统 | 多重线性映射 |

**核心思想**：张量积让我们能够：
1. 从简单对象构建复杂对象
2. 保持线性性质
3. 描述复杂的、多变量的关系
4. 为物理定律提供自然的数学语言

张量积就像是数学中的“乐高积木”，让我们能用简单的向量和对偶向量搭建出描述复杂物理世界的数学模型。

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