最后更新: 2025-10-19 10:58 查看: 61 次纠错评论(0) 课件开VIP

多重线性映射与笛卡尔积

## 多重线性映射
现在，我们对第四章§3所阐述的线性映射的概念作一个推广。首先介绍一个名词．设 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 是 $k$ 个非空集合，定义一个新集合如下：

$$
A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_k=\left\{\left(a_1, a_2, \cdots, a_k\right) \mid a_i \in A_i\right\} .
$$

这个新的集合称为集合 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 的**笛卡儿乘积**．

**定义** 设 $V_1, \cdots, V_k, W$ 是域 $K$ 上的线性空间．又设 $f$ 是从笛卡儿乘积 $V_1 \times \cdots \times V_k$ 到 $W$ 的一个集合间的映射，满足如下条件：对任意 $\lambda, \mu \in K$ 及任意 $i(1 \leqslant i \leqslant k)$ ，有

$$
\begin{aligned}
& f\left(\alpha_1, \cdots, \lambda \alpha_i+\mu \beta_i, \cdots, \alpha_k\right) \\
& \quad=\lambda f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \cdots, \alpha_k\right)+\mu f\left(\alpha_1, \cdots, \beta_i, \cdots, \alpha_k\right),
\end{aligned}
$$

即映射 $f$ 对每个变元 $\alpha_i \in V_i$ 来说都是线性的，则称 $f$ 是从 $V_1 \times \cdots \times V_k$ 到 $W$ 的一个**多线性映射**．当 $k=2$ 时，也称 $f$ 是**双线性映射**．如果 $W=K$（看做 $K$ 上的一维线性空间），则称 $f$ 为定义在集合 $V_1 \times \cdots \times V_k$ 上的**多线性函数**．而当 $k=2$ 时，就称 $f$ 是定义在 $V_1 \times V_2$ 上的**双线性函数**．

多线性映射（函数）有与线性映射（函数）类似的两条基本性质．
1）设 $V_1, \cdots, V_k$ 是域 $K$ 上有限维线性空间，在 $V_i$ 内取一组基 $\varepsilon_{i 1}, \varepsilon_{i 2}, \cdots, \varepsilon_{i n_i}(i=1,2, \cdots, k)$ ．则多线性映射 $f$ 由它在取定基下的作用

$$
f\left(\varepsilon_{1 i_1}, \varepsilon_{2 i_2}, \cdots, \varepsilon_{k i_k}\right)=\alpha_{i_1 i_2 \cdots i_k} \in W
$$

唯一决定。
2）在 $W$ 内任取 $n_1 n_2 \cdots n_k$ 个向量（当 $W=K$ 时为 $K$ 中 $n_1 n_2 \cdots n_k$个元素）$\alpha_{i_1 i_2 \cdots i_k}$ ，则存在 $V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_k$ 到 $W$ 的唯一多线性映射 $f$ ，使
$$
f\left(\varepsilon_{1 i_1}, \varepsilon_{2 i_2}, \cdots, \varepsilon_{k i_k}\right)=\alpha_{i_1 i_2 \cdots i_k},
$$

这里 $i_1=1,2, \cdots, n_1 ; i_2=1,2, \cdots, n_2 ; \cdots, i_k=1,2, \cdots, n_k$ ．
这两条性质的证明与第四章§ 3 对线性映射同样性质的证明相同，此处不再重复。

记 $V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_k$ 到 $W$ 的全体多线性映射所成的集合为 $\mathscr{L}\left(V_1, V_2, \cdots, V_k ; W\right)$ ，在其上定义加法及与 $K$ 中元素 $k$ 的数乘如下：

1）加法：若 $f, g \in \mathscr{L}\left(V_1, V_2, \cdots, V_k ; W\right)$ ，则令

$$
(f+g)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right)=f\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right)+g\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right) ;
$$

2）数乘：若 $f \in \mathscr{L}\left(V_1, V_2, \cdots, V_k ; W\right), a \in K$ ，则令

$$
(a f)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right)=a f\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right) .
$$

容易验证，关于上述加法、数乘， $\mathscr{L}\left(V_1, V_2, \cdots, V_k ; W\right)$ 成为 $K$ 上的线
性空间．当 $W=K$ 时，我们简记此线性空间为 $\mathscr{L}\left(V_1, V_2, \cdots, V_k\right)$ ，它是定义在 $V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_k$ 上全体多线性函数所组成的 $K$ 上线性空间。

**命题1．1** 设 $U$ 是域 $K$ 上的 $m$ 维线性空间，$V$ 是 $K$ 上的 $n$ 维线性空间．在 $U$ 内取一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_m$ ，在 $V$ 内取一组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots$ ， $\eta_n$ ，定义 $U \times V$ 上双线性函数 $f_{i j}(\alpha, \beta)(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$如下：

$$
f_{i j}\left(\varepsilon_k, \eta_l\right)=\delta_{i k} \delta_{j l} \quad(k=1,2, \cdots, m ; l=1,2, \cdots, n),
$$

则 $\left\{f_{i j}(\alpha, \beta)\right\}$ 组成 $\mathscr{L}(U, V)$ 的一组基．
证 根据上面指出的多线性映射的两条基本性质可知满足命题要求的双线性函数 $f_{i j}$ 是存在唯一的．
（i）$f_{i, j}$ 为 $\mathscr{L}(U, V)$ 内线性无关向量组．因若有

$$
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i j} f_{i j}(\alpha, \beta)=0
$$

令 $\alpha=\varepsilon_k, \beta=\eta_l$ 代入，由（2）式得 $a_{k l}=0$ ，这里 $k=1,2, \cdots, m ; l=1,2$ ， $\cdots, n$ ．
（ii）任给 $f(\alpha, \beta) \in \mathscr{L}(U, V)$ ，设 $f\left(\varepsilon_k, \eta_l\right)=a_{k l}$ 。定义 $U \times V$ 上一双线性函数
$$
\tilde{f}(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i j} f_{i j}(\alpha, \beta)
$$

则由（2）式知 $\tilde{f}\left(\varepsilon_k, \eta_l\right)=a_{k l}=f\left(\varepsilon_k, \eta_l\right)$ ，根据多线性映射的基本性质知 $f(\alpha, \beta) \equiv \widetilde{f}(\alpha, \beta)$ ，从而 $f$ 可被 $\left\{f_{i j}\right\}$ 线性表示。

给定域 $K$ 上线性空间 $U, V$ ，取 $\alpha \in U, \beta \in V$ ，我们定义 $U^* \times V^*$上的函数如下：

$$
\begin{aligned}
\varphi(\alpha, \beta)(f, g) & =\alpha^*(f) \beta^*(g) \\
& =f(\alpha) g(\beta) \quad\left(\forall f \in U^*, g \in V^*\right) .
\end{aligned}
$$

显然有
1）$\varphi(\alpha, \beta)\left(\lambda f_1+\mu f_2, g\right)=\left(\lambda f_1+\mu f_2\right)(\alpha) g(\beta)$

$$
\begin{aligned}
& =\lambda f_1(\alpha) g(\beta)+\mu f_2(\alpha) g(\beta) \\
& =\lambda \varphi(\alpha, \beta)\left(f_1, g\right)+\mu \varphi(\alpha, \beta)\left(f_2, g\right) ;
\end{aligned}
$$

2）$\varphi(\alpha, \beta)\left(f, \lambda g_1+\mu g_2\right)=\lambda \varphi(\alpha, \beta)\left(f, g_1\right)+\mu \varphi(\alpha, \beta)\left(f, g_2\right)$ ．

这表明 $\varphi(\alpha, \beta)$ 为 $U^* \times V^*$ 上的双线性函数，就是说 $\varphi(\alpha, \beta) \in \mathscr{L}\left(U^*, V^*\right)$ ．于是 $\varphi$ 定义了如下映射：

$$
\begin{aligned}
\varphi: U \times V & \rightarrow \mathscr{L}\left(U^*, V^*\right) \\
(\alpha, \beta) & \mapsto \varphi(\alpha, \beta) .
\end{aligned}
$$

**命题1．2** 记号如上．$\varphi(\alpha, \beta)$ 为 $U \times V$ 到 $K$ 上线性空间 $\mathscr{L}\left(U^*, V^*\right)$ 的双线性映射．如果 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_m$ 为 $U$ 的一组基，$\eta_1, \eta_2$ ， $\cdots, \eta_n$ 为 $V$ 的一组基，则 $\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 为 $\mathscr{L}\left(U^*, V^*\right)$ 的一组基．

证 首先，我们有
（i）

$$
\begin{gathered}
\varphi\left(\lambda \alpha_1+\mu \alpha_2, \beta\right)(f, g)=f\left(\lambda \alpha_1+\mu \alpha_2\right) g(\beta) \\
=\lambda f\left(\alpha_1\right) g(\beta)+\mu f\left(\alpha_2\right) g(\beta) \\
=\lambda \varphi\left(a_1, \beta\right)(f, g)+\mu \varphi\left(\alpha_2, \beta\right)(f, g) \\
=\left(\lambda \varphi\left(\alpha_1, \beta\right)+\mu \varphi\left(\alpha_2, \beta\right)\right)(f, g) \\
\left(\forall f \in U^*, g \in V^*\right) .
\end{gathered}
$$

上式表明 $\varphi\left(\lambda \alpha_1+\mu \alpha_2, \beta\right)=\lambda \varphi\left(\alpha_1, \beta\right)+\mu \varphi\left(\alpha_2, \beta\right)$ ．
（ii）同理有 $\varphi\left(\alpha, \lambda \beta_1+\mu \beta_2\right)=\lambda \varphi\left(\alpha, \beta_1\right)+\mu \varphi\left(\alpha, \beta_2\right)$ ．这证明 $\varphi(\alpha, \beta)$ 为 $U \times V$ 到 $\mathscr{L}\left(U^*, V^*\right)$ 的双线性映射．
现设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_m$ 在 $U^*$ 的对偶基为 $f_1, f_2, \cdots, f_m ; \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$在 $V^*$ 的对偶基为 $g_1, g_2, \cdots, g_n$ ，则有

$$
\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)\left(f_k, g_l\right)=f_k\left(\varepsilon_i\right) g_l\left(\eta_j\right)=\delta_{i k} \delta_{j l}
$$

按命题1．1，即知 $\left\{\varphi\left(\varepsilon_i, \eta_j\right)\right\}$ 组成 $\mathscr{L}\left(U^*, V^*\right)$ 的一组基．

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