最后更新: 2025-10-19 10:56 查看: 9 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

线性空间的对偶空间

## 第十二章 张量积与外代数
在前几章讨论线性代数理论时，我们都是讨论单个线性空间．但在许多理论与实际问题中还需要同时讨论多个线性空间，这类课题称为多重线性代数。本章的内容是介绍多重线性代数的一些基础知识。
§ 1 多重线性映射

在展开多重线性代数理论之前，我们需要一些基本知识，下面对此作一简要的阐述。

1．线性空间的对偶空间

设 $V$ 是域 $K$ 上的线性空间，在第五章§1我们已经介绍过 $V$ 上线性函数 $f(\alpha)$ 的概念，它是 $V$ 到 $K$ 上一维线性空间 $K$ 的一个线性映射．因此，第四章§3所阐述的线性映射的基本理论对 $V$ 上线性函数也适用．在这里再把要点作一概述．

1）设 $V$ 是 $K$ 上 $n$ 维线性空间，在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，那么我们有如下两条基本性质：
（i）$V$ 内任一线性函数 $f(\alpha)$ 由它在此组基处函数值 $f\left(\varepsilon_1\right)$ ， $f\left(\varepsilon_2\right), \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)$ 唯一决定；
（ii）任给 $K$ 内 $n$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，则存在 $V$ 内唯一的线性函数 $f(\alpha)$ ，使 $f\left(\varepsilon_i\right)=a_i(i=1,2, \cdots, n)$ ．

2）设 $V$ 内全体线性函数所成的集合记为 $V^*$ ，则在 $V^*$ 内有加法及与 $K$ 中元素 $k$ 的数乘，其定义如下：
（i）$f, g \in V^*$ ，则

$$
(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha) ;
$$

（ii）$f \in V^*, k \in K$ ，则

$$
(k f)(\alpha)=k f(\alpha) .
$$

$V^*$ 关于上述加法、数乘组成 $K$ 上的线性空间，称为 $V$ 的**对偶空间**．

现设 $V$ 是 $K$ 上的 $n$ 维线性空间．在 $V$ 内取基

$$
\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n .
$$

我们可以定义 $V$ 内 $n$ 个线性函数

$$
f_i\left(\varepsilon_j\right)=\delta_{i j} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
$$

（按照上面所指出的线性函数的两条基本性质，$f_i(\alpha)$ 是存在而且唯一的）。我们来证明这 $n$ 个线性函数

$$
f_1(\alpha), f_2(\alpha), \cdots, f_n(\alpha)
$$

组成 $V^*$ 的一组基．
1）$f_1, f_2, \cdots, f_n$ 线性无关．设

$$
k_1 f_1(\alpha)+k_2 f_2(\alpha)+\cdots+k_n f_n(\alpha) \equiv 0,
$$

上式表示以 $V$ 中任一 $\alpha$ 代入等式均成立．现以 $\alpha=\varepsilon_j$ 代入，由（1）式可知有

$$
k_j=k_j f_j\left(\varepsilon_j\right)=0 \quad(j=1,2, \cdots, n) .
$$

这就证明了 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ 是线性无关的．

2）再证任一 $f \in V^*$ 均可被 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ 线性表示．设

$$
f\left(\varepsilon_1\right)=a_1, f\left(\varepsilon_2\right)=a_2, \cdots, f\left(\varepsilon_n\right)=a_n .
$$

考查

$$
\tilde{f}(\alpha)=a_1 f_1(\alpha)+a_2 f_2(\alpha)+\cdots+a_n f_n(\alpha) \text {. }
$$

因为 $V^*$ 是一线性空间，$V^*$ 内的向量 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ 的线性组合 $\widetilde{f} \in V^*$ 。再由（1）式，有

$$
\widetilde{f}\left(\varepsilon_j\right)=a_j f_j\left(\varepsilon_j\right)=a_j=f\left(\varepsilon_j\right) \quad(j=1,2, \cdots, n) .
$$

根据线性函数的基本性质，有 $\tilde{f}(\alpha) \equiv f(\alpha)$ ，故

$$
f(\alpha)=a_1 f_1(\alpha)+a_2 f_2(\alpha)+\cdots+a_n f_n(\alpha) \text {. }
$$

**定义** 在 $V$ 内取定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ ，则由（1）式所定义的 $f_1$ ， $f_2, \cdots, f_n$ 构成 $V^*$ 的一组基，称这组基为 $V$ 内 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 这组基的**对偶基**．

从上面的分析可知，$V^*$ 也是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间．因为 $\operatorname{dim} V^*=\operatorname{dim} V$ ，所以 $V^*$ 和 $V$ 是同构的线性空间．
现对任意 $\alpha \in V$ 定义 $V^*$ 上一个函数（ $V^*$ 到 $K$ 的一个映射）如下：$\alpha^*(f)=f(\alpha) \in K$ ．我们有：

1）$\forall f, g \in V^*$ ，

$$
\alpha^*(f+g)=(f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha)=\alpha^*(f

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：多重线性映射与笛卡尔积

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)