最后更新: 2025-11-11 09:45 查看: 36 次纠错评论(0) 课件开VIP

建立薛定谔方程

2.5 建立薛定谔方程

德布罗意提出了波粒二象性假说，玻恩对德布罗意波提出了物质波的诠释，即波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 模的平方代表在空间找到该粒子的概率．现在的关键是波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 满足怎样的动力学规律呢？有了物质波，就应该有一个波动方程。奥地利物理学家薛定谔（E．Schrödinger）在1926年提出了著名的薛定谔方程，从而解决了这一重大问题。事实上，薛定谔方程是量子物理学中的基本方程，是波函数所满足的偏微分方程，其地位相当于经典力学中的牛顿方程。薛定谔方程只能是＂建立＂（假说），不能＂推导＂，其正确性需经过之后的可重复实验精确检验，然后才能被证明，这一点与牛顿方程是一样的．

1．建立薛定谔方程
设某自由粒子的德布罗意波为平面波

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E t-p \cdot \boldsymbol{r}) / \hbar}
$$

满足方程

$$
\begin{gathered}
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=E \psi \\
-\mathrm{i} \hbar \nabla \psi=\boldsymbol{p} \psi \rightarrow-\hbar^2 \nabla^2 \psi=\boldsymbol{p}^2 \psi
\end{gathered}
$$

其中 $\nabla=\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z}$ ．
对于质量为 $\mu$ 的自由粒子，$E=\boldsymbol{p}^2 /(2 \mu)$ ，于是有 $\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 \psi$ 。此式可看成是在经典关系 $E=\boldsymbol{p}^2 /(2 \mu)$ 中进行算符代换

$$
\left\{\begin{array}{l}
E \rightarrow \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \\
\boldsymbol{p} \rightarrow-\mathrm{i} \hbar \nabla
\end{array}\right.
$$

所以，在量子物理学中，能量 $E$ 和动量 $\boldsymbol{p}$ 分别对应对时间和空间的导数算符．有关此种代换的更深层含义，将在第4章中详细阐述。

上述＂推导＂只是对自由粒子而言的．推广至一般情况：若粒子在外势场 $U(\boldsymbol{r}, t)$ 中运动，能量表达式为

$$
E=\frac{1}{2 \mu} \boldsymbol{p}^2+U(\boldsymbol{r}, t)
$$

则波函数应该满足方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+U(\boldsymbol{r}, t)\right] \psi \\
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H} \psi
\end{array}\right. ...(2.22)
$$

其中 $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+U(\boldsymbol{r}, t)$ 称为系统的哈密顿算符（Hamiltonian operator），也称为系统的哈密顿量．式（2．21）即为单粒子运动的薛定谔方程．

2．概率守恒定律
对于束缚态，粒子被束缚在空间某一范围 $V$ 内，其空间概率密度为

$$
\left\{\begin{array}{l}
w(\boldsymbol{r}, t)=|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2=\psi^*(\boldsymbol{r}, t) \cdot \psi(\boldsymbol{r}, t) \\
\frac{\partial w}{\partial t}=\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial \psi^*}{\partial t} \psi
\end{array}\right.
$$

根据薛定谔方程（2．21），有

$$
\begin{gathered}
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \mu} \nabla^2 \psi+\frac{1}{\mathrm{i} \hbar} U \psi \\
\frac{\partial \psi^*}{\partial t}=-\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \mu} \nabla^2 \psi^*-\frac{1}{\mathrm{i} \hbar} U \psi^*
\end{gathered}
$$

于是有

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial w}{\partial t} & =\frac{i \hbar}{2 \mu}\left(\psi^* \nabla^2 \psi-\psi \nabla^2 \psi^*\right) \\
& =\frac{i \hbar}{2 \mu} \nabla \cdot\left(\psi^* \nabla \psi-\psi \nabla \psi^*\right)
\end{aligned}
$$

可记为

$$
\boldsymbol{J}=\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \mu}\left(\psi \nabla \psi^*-\psi^* \nabla \psi\right) ...(2.23)
$$

如果定义上述式（2．23）为概率流密度，则

$$
\frac{\partial w}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{J}=0 ...(2.24)
$$

上述式（2．24）即为概率守恒定律公式．因为对任何体积 $V$ ，有

$$
\int_V \frac{\partial w}{\partial t} \mathrm{~d} \tau=-\int_V \nabla \cdot \boldsymbol{J} \mathrm{~d} \tau
$$

上述等式左边等于

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \int_V w \mathrm{~d} \tau=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} W_V
$$

对上述等式右边使用高斯（Gauss）定理，得

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} W_V=-\oint_S \boldsymbol{J} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{S}
$$

上式中，$W_V$ 是在体积 $V$ 内发现粒子的总概率；$\oint_S \boldsymbol{J} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{S}$ 是穿过封闭曲面 $S$ 向外的总通量．因此， $\boldsymbol{J}$ 即为＂概率流密度＂，所以式（2．24）所表现的概率守恒，即粒子数守恒．

3．定态薛定谔方程
若势能 $U(\boldsymbol{r})$ 与时间无关，则薛定谔方程可分离变量求解，令

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=f(t) \psi(\boldsymbol{r}) ...(2.25)
$$

代人薛定谔方程（2．21），得

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial f(t)}{\partial t} \psi(\boldsymbol{r})=\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+U(\boldsymbol{r})\right] f(t) \psi(\boldsymbol{r})
$$

将上式移项得

$$
\frac{\mathrm{i} \hbar}{f(t)} \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\psi(\boldsymbol{r})}\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 \psi(\boldsymbol{r})+U(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r})\right]
$$

上式左边仅与 $t$ 有关，右边仅与 $\boldsymbol{r}$ 有关，要使之成立，等号两边必恒等于常数，令该常数为 $E$ ，于是得到关于时间 $t$ 的常微分方程

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d} f}{\mathrm{~d} t}=E f(t)
$$

其解为

$$
f(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E t}
$$

另一个关于空间的微分方程为

$$
\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+U(\boldsymbol{r})\right] \psi(\boldsymbol{r})=E \psi(\boldsymbol{r}) ...(2.28)
$$

解后得到空间波函数 $\psi(\boldsymbol{r})$ ，与式（2．27）合并，得体系总波函数为

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E t} \psi(\boldsymbol{r})
$$

$\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 或 $\psi(\boldsymbol{r})$ 称为定态波函数．对比德布罗意波式（2．1），可知常数 $E$ 的物理意义正是粒子的能量。所以，定态是体系的能量有确定值的状态，在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。式（2．28）称为定态薛定谔方程，也可表示为

$$
\hat{H} \psi(\boldsymbol{r})=E \psi(\boldsymbol{r}), \quad \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+U(\boldsymbol{r}) ...(2.30)
$$

如果一个算符作用于波函数上，等于一个常数乘以该波函数，此类方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为本征函数（详见第 4 章）．所以，上述定态薛定谔方程（2．30）即为能量本征方程。

4．波函数的标准条件
在求解定态薛定谔方程（2．30）时，为了使求出的解符合物理实际，需要对所求的波函数提出一般要求，也称为波函数的标准条件，具体如下。
（1）归一化： $\int_{\text {（全）}}|\psi(\boldsymbol{r})|^2 \mathrm{~d} \tau=1$ ；
（2）单值性：$|\psi(\boldsymbol{r})|^2$ 必须单值；

（3）连续性：一般情况下，$\psi(\boldsymbol{r})$ 及其一阶导数是连续函数．
上述积分公式是对全空间积分．这些标准条件均是根据物理系统的实际要求提出的，在求解薛定谔方程时是十分重要的．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：量子态叠加原理

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)