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量子态叠加原理

2.4 量子态叠加原理

根据玻恩的统计诠释，波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 描述微观粒子的状态，在 $\boldsymbol{r}$ 处、 $t$ 时刻发现该粒子的概率密度等于波函数绝对值的平方 $|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2=\psi(\boldsymbol{r}, t) \psi^*(\boldsymbol{r}, t)$ 。由此，当波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 给定后，三维空间中一个微观粒子的所有力学量测量概率分布就确定了．换言之，$\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 完全描述了一个三维空间中微观粒子的量子状态或量子态，波函数也被称为态函数．

根据前面式（2．11），波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 描述的一个波包，由许多不同动量 $\boldsymbol{p}$ 的平面波 $\left(\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i} p \cdot r / \hbar}\right)$ 叠加而成。如果在此量子态中测量粒子的动量，可能得到 $\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3, \cdots$中的任何一个．而且，如果每个叠加平面波出现的概率确定，则测得各动量值的概率也确定。

由此得出量子物理学中的一个基本原理——量子态叠加原理：
设 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是体系可能处于的量子态，在这两个态中测量力学量 $A$ 时，分别测得结果为 $a_1$ 和 $a_2$ ，即 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 分别是力学量 $A$ 的本征态，$a_1$ 和 $a_2$ 称为本征值（见第4章），则它们的叠加态 $\psi=c_1 \psi_1+c_2 \psi_2$ 也是体系的可能状态，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 一般是复常数，此时体系可能部分处于 $\psi_1$ 态，部分处于 $\psi_2$ 态．
例如上面提到的电子双缝干涉实验，如图 2.1 和图 2．2（b）所示：当缝 1 打开，缝 2 关闭时，电子穿过缝 1 ，由波函数 $\psi_1$ 描述，胶片中最后的图案分布为 $P_1=\left|\psi_1\right|^2$ ；当缝 1 关闭，缝 2 打开时，电子穿过缝 2 ，由波函数 $\psi_2$ 描述，胶片中最后的图案分布则为 $P_2=\left|\psi_2\right|^2$ ；若两条缝同时打开，每一个电子部分概率通过缝 1 ，还有部分概率通过缝 2 ，胶片中最后的图案分布为

$$
P_{12}=\left|c_1 \psi_1+c_2 \psi_2\right|^2=\left|c_1 \psi_1\right|^2+\left|c_2 \psi_2\right|^2+c_1^* c_2 \psi_1^* \psi_2+c_1 c_2^* \psi_1 \psi_2^*
$$

上式中最后两项即为干涉项，从而引起干涉条纹，如图2．2（b）所示。
量子态叠加原理的一般表述：
若 $\psi_1, \psi_2, \cdots, \psi_n, \cdots$ 是体系一系列可能状态，则它们的线性叠加态

$$
\Psi=c_1 \psi_1+c_2 \psi_2+\cdots+c_n \psi_n+\cdots=\sum_n c_n \psi_n
$$

也是体系的一个可能状态，其中 $c_1, c_2, \cdots, c_n, \cdots$ 为复常数。体系处于叠加态 $\Psi$ 时，处于 $\psi_1, \psi_2, \cdots, \psi_n, \cdots$ 各态均有一定概率；处于 $\psi_n$ 态的概率为 $\left|c_n\right|^2$ ，且概率归一化要求 $\sum_n\left|c_n\right|^2=1$ ．

上述式（2．18）也可理解为，对于一个指定的量子体系，如果我们已找到了它的 ＂完备基本状态矢＂（称之为基函数，或本征函数），例如 $\left\{\psi_n\right\}$ ，那么任何状态都可以由这些基函数叠加而成，即叠加态（详见第 4 章）。

`例` 试证明任何波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 均可由自由电子平面波波函数线性叠加而成。证 某自由电子以动量 $\boldsymbol{p}$ 和能量 $E=\boldsymbol{p}^2 /(2 \mu)$ 运动，其状态波函数是平面波

$$
\psi_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{r}, t)=A \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E t-\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}) / \hbar}
$$

令

$$
\psi_p(\boldsymbol{r})=\sqrt{\frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar}
$$

那么，任何波函数（不一定是自由粒子）均可展开为

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=\int_{\infty} c(\boldsymbol{p}, t) \sqrt{\frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar} \mathrm{d}^3 \boldsymbol{p}
$$

其中的系数由下式得出：

$$
c(\boldsymbol{p}, t)=\int_{\infty} \psi(\boldsymbol{r}, t) \sqrt{\frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar} \mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}
$$

从数学角度看，上述两式即为波函数的傅里叶变换；但从量子物理学角度看，上述两式说明：电子的任何状态均可由各种可能 $\boldsymbol{p}$ 值的自由电子平面波线性叠加而成。对于一维情形

$$
\begin{gathered}
\psi(x, t)=\int_{\infty} c(p, t) \sqrt{\frac{1}{2 \pi \hbar}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar} \mathrm{d} p \\
c(p, t)=\int_{\infty} \psi(x, t) \sqrt{\frac{1}{2 \pi \hbar}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p x / \hbar} \mathrm{d} x
\end{gathered}
$$

`例` 试解析＂薛定谔猫态＂。
解 设想在一个封闭不透明的箱子里有一只活猫及一个毒药瓶，瓶子的开关由一个放射性原子核控制。当原子核未发生衰变，处于激发态 $\psi_1=|\uparrow\rangle$ 时，毒药瓶 未被打开，猫是活的；当衰变发生，原子核处于基态 $\psi_2=|\downarrow\rangle$ 时，药瓶被打开，猫将被毒死．此实验的巧妙之处是将微观不确定性原理关联了宏观不确定性．

假设原子核的半衰期为 $T_{1 / 2}$ ，即经过 $T_{1 / 2}$ 时间后，该原子核有 $1 / 2$ 的概率衰变到基态。根据量子态叠加原理，原子核所处状态为

$$
\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}[|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle]
$$

那么，此时的猫究竟是活的还是死的？
根据量子纠缠原理（详见第 10 章），原子核的衰变与否与猫的死活是纠缠在一起的，薛定谔用下列波函数描述这种叠加态：

$$
\psi=\alpha|\uparrow\rangle \mid \text { 活猫 }\rangle+\beta|\downarrow\rangle \mid \text { 死猫 }\rangle
$$

量子物理学认为：当猫被关在箱子里的时候，人们无法知道那只猫是死是活，它处于＂活与死的叠加态＂；一旦打开箱子，叠加态立即坍缩为本征态，即＂活猫＂态或者＂死猫＂态。

而根据量子态的概率诠释和量子态叠加原理得出的上述＂亦活亦死＂的结果，与我们在宏观世界的经验完全不符，也是无法接受的．有关这一佯谬的深入讨论，请见第12章。

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