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量子态叠加原理

2.4 量子态叠加原理

根据玻恩的统计诠释，波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 描述微观粒子的状态，在 $\boldsymbol{r}$ 处、 $t$ 时刻发现该粒子的概率密度等于波函数绝对值的平方 $|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2=\psi(\boldsymbol{r}, t) \psi^*(\boldsymbol{r}, t)$ 。由此，当波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 给定后，三维空间中一个微观粒子的所有力学量测量概率分布就确定了．换言之，$\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 完全描述了一个三维空间中微观粒子的量子状态或量子态，波函数也被称为态函数．

根据前面式（2．11），波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 描述的一个波包，由许多不同动量 $\boldsymbol{p}$ 的平面波 $\left(\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i} p \cdot r / \hbar}\right)$ 叠加而成。如果在此量子态中测量粒子的动量，可能得到 $\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3, \cdots$中的任何一个．而且，如果每个叠加平面波出现的概率确定，则测得各动量值的概率也确定。

由此得出量子物理学中的一个基本原理——量子态叠加原理：
设 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是体系可能处于的量子态，在这两个态中测量力学量 $A$ 时，分别测得结果为 $a_1$ 和 $a_2$ ，即 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 分别是力学量 $A$ 的本征态，$a_1$ 和 $a_2$ 称为本征值（见第4章），则它们的叠加态 $\psi=c_1 \psi_1+c_2 \psi_2$ 也是体系的可能状态，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 一般是复常数，此时体系可能部分处于 $\psi_1$ 态，部分处于 $\psi_2$ 态．
例如上面提到的电子双缝干涉实验，如图 2.1 和图 2．2（b）所示：当缝 1 打开，缝 2 关闭时，电子穿过缝 1 ，由波函数 $\psi_1$ 描述，胶片中最后的图案分布为 $P_1=\left|\psi_1\right|^2$ ；当缝 1 关闭，缝 2 打开时，电子穿过缝 2 ，由波函数 $\psi_2$ 描述，胶片中最后的图案分布则为 $P_2=\left|\psi_2\right|^2$ ；若两条缝同时打开，每一个电子部分概率通过缝 1 ，还有部分概率通过缝 2 ，胶片中最后的图案分布为

$$
P_{12}=\

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