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海森伯不确定性原理

根据波函数的玻恩诠释，微观粒子在空间是概率分布的，即粒子在时间 $t$ 和空间 $\boldsymbol{r}$ 处有一定的出现概率，量子物理学中没有＂该粒子究竟在哪里？＂和＂粒子是如何从某处运动到另一处的？＂等问题．

设一维粒子具有完全确定的动量 $p_0$ ，即动量的不确定度 $\Delta p=0$ ．此时该粒子的波函数应为平面波 $\psi_{p_0}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_0 x / \hbar}$ ，故 $\left|\psi_{p_0}(x)\right|^2=1$ ，即粒子在空间各点的概率相同，也即它的位置完全不确定。

我们采用高斯波包 $\psi(x)=\mathrm{e}^{-\alpha^2 x^2 / 2}$ 描述某粒子，其中 $\alpha$ 是常数。它在一维空间的概率分布为 $|\psi(x)|^2=\mathrm{e}^{-\alpha^2 x^2}$ ，如图 2．3（a）所示．所以，该粒子的位置主要局限于 $|x| \leqslant 1 / \alpha$ 的区域内中，即 $\Delta x \approx 1 / \alpha$ ．

![图片](/uploads/2025-11/a60126.jpg)
 
 将 $\psi(x)$ 作傅里叶变换（见数学附录三），利用式（2．1）得动量表象中的波函数

$$
\varphi(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha^2 x^2 / 2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\alpha} \mathrm{e}^{-k^2 / 2 \alpha^2}
$$

其中 $k=\frac{2 \pi}{\lambda}$ 。所以，概率分布为 $|\varphi(k)|^2=\frac{1}{\alpha^2} \mathrm{e}^{-k^2 / \alpha^2}$ ，如图 2．3（b）所示，也是高斯型波包，$\Delta k \approx \alpha$ ，于是 $\Delta x \cdot \Delta k \approx 1$ ．根据德布罗意公式（2．1），可得

$$
\Delta x \cdot \Delta p \approx \hbar
$$

上述两个例子说明，由于微观粒子的波粒二象性，要确定其坐标和相应动量是有
一定限制的．于是，海森伯（W．K．Heisenberg）在 1927 年首先提出了著名的不确定性原理：微观粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和相应的动量．

在通常的应用中，假设某微观粒子坐标 $x$ ，动量 $p_x$ ，能量 $E$ 和寿命 $t$ ，它们的不确定范围分别为 $\Delta x 、 \Delta p_x 、 \Delta E$ 和 $\Delta t$ ，不确定性原理一般表达式为

$$
\begin{aligned}
& \Delta x \cdot \Delta p_x \geqslant \hbar / 2 \\
& \Delta E \cdot \Delta t \geqslant \hbar / 2
\end{aligned}
$$

式（2．17）即著名的不确定性原理，它表明：无法同时确定一个粒子的坐标和相应的动量；无法同时确定一个粒子的能量和寿命！尽管这个不确定度很小，即在普朗克常量 $\hbar$ 的数量级，但它是客观存在的；也正因为这个不确定度很小，说明了量子物理学具有经典物理学所不可比拟的精确性！

应该指出：海森伯不确定性原理（也有称＂测不准原理＂）的根源是微观粒子的波粒二象性，它是本征的自然原理，是人类第一次触及一个宇宙的极限，不可逾越．它与科学仪器的测量精确程度、测量者所采用的方法和技能等无关，更不要与经典物理中的测量误差相联系．式（2．17）的严格证明请见第4章．

应该指出，不确定性原理应该是数量级的概念，若将式（2．17）中的大于等于号右边写成＂$\hbar$＂或＂$h$＂等，也是允许的。此外，在一般情况下，如果微观粒子的波动性明显，可令 $x \sim \Delta x, p \sim \Delta p, E \sim \Delta E, t \sim \Delta t$ ，即某物理量与其不确定范围同数量级．

根据海森伯不确定性原理，微观粒子的能量和动量均具有一定的不确定度．因此，在不确定性原理精确度范围内，量子物理学遵从所谓＂统计守恒律＂：

单个微观粒子的单次运动不服从能量守恒和动量守恒律；
但大量微观粒子运动的统计平均，或单个微观粒子多次运动的统计平均符合能量守恒和动量守恒律．

`例` 试估算氢原子中电子动量的相对误差。
解 在第1章中，由玻尔理论求得基态氢原子电子轨道半径（即第一玻尔半径）为 $a_0 \approx 0.0529 \mathrm{~nm}$ ．设电子的空间位置不确定性为 $\Delta x \approx 0.0529 \mathrm{~nm}$ ，电子速度为 $v \approx 10^6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$（见第1章练习题1－4），电子质量为 $m_{\mathrm{e}}$ ．根据不确定性原理式（2．17），可估算电子动量的相对误差为

$$
\frac{\Delta p}{p}=\frac{\hbar}{p \Delta x}=\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} v \Delta x} \sim 10^0
$$

此动量误差是我们难以接受的。但是，如果我们更加精确地测量电子的空间位置，使 $\Delta x$ 更小，那么动量的相对误差将更加大。由此可见，若想同时精确测量氢原子中电子的坐标和动量，其精确度是要受到极大限制的．

`例` 经典小球质量 $M=1000 \mathrm{~g}$ ，速度 $v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，试估算其动量的相对误差．
解 设测量小球的精确度为 $\Delta x=10^{-6} \mathrm{~m}$（在经典物理学中这已足够精确），此时动量的相对误差为

$$
\frac{\Delta p}{p} \sim 10^{-29}
$$

在经典物理学范围内，任何仪器都无法测出上述动量的微小误差．因此，在量子物理学诞生之前，式（2．17）不可能被发现．

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