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波函数及其统计诠释

1．波函数的玻恩诠释
1926 年，玻恩（M．Born）提出了对德布罗意波的诠释：采用波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$（一般为复函数）描述德布罗意波，复函数 $\psi$ 也称为概率幅；在 $\boldsymbol{r}$ 处、 $t$ 时刻发现该粒子的概率正比于该粒子波函数绝对值的平方，即 $|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2=\psi(\boldsymbol{r}, t) \psi^*(\boldsymbol{r}, t)$ ，称为概率密度．

若有两个德布罗意波 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ ，它们的概率密度分别为 $P_1=\left|\psi_1\right|^2, P_2=\left|\psi_2\right|^2$ 。应该指出，这两个德布罗意波的叠加是概率幅的叠加，而非概率密度叠加，即

$$
\psi=\psi_1+\psi_2
$$

叠加之后的概率密度为

$$
P_{12}=|\psi|=\left|\psi_1+\psi_2\right|^2=\left|\psi_1\right|^2+\left|\psi_2\right|^2+\psi_1^* \cdot \psi_2+\psi_1 \cdot \psi_2^*
...(2.22)
$$

式（2．2）中的 $P_{12} \neq P_1+P_2$ ，最后两项即为干涉项．
例如，一个电子被电压 $U=100 \mathrm{~V}$ 加速，根据德布罗意公式（2．1），得电子的波长为

$$
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m v}=0.123 \mathrm{~nm} ...(2.23)
$$

这一微小的波长可以用电子双缝干涉实验测量，如图 2.1 所示：电子束由左向右 ＂穿过＂双缝，电子束十分稀疏，以至于当一个电子到达右侧胶片，产生亮点后，第二个电子再人射．也就是说，在整个实验过程，电子与电子之间不会相遇，胶片上的干涉图案与电子之间的相互作用无关．

![图片](/uploads/2025-11/6259b8.jpg)
 
 实验开始，电子＂穿过＂双缝到达胶片，产生一个个亮点，似乎杂乱无章，如图 2．1（a）所示；当人射电子足够多时，条纹轮廓显现，如图 2．1（b）所示；当人射电子十分多时，胶片上清晰干涉条纹出现，如图 2．1（c）所示．此时，测量条纹之间距离、双缝之间距离，以及双缝与胶片之间距离，即可求出电子波长，所得结果与式（2．3）完全一致．这里需要强调：图 2.1 中的干涉图案与电子之间的相互作用没有关系．该实验证明：单个电子具有波动性，
 且具有＂自干涉＂特征！
 
 若采用光子、质子、中子等代替上述实验中的电子，将得到与图 2.1 类似的结果。例如，在波动光学中，著名的杨氏双缝干涉实验是满足相干条件（即两光波频率相同；它们在相遇点的振动方向相同，且在相遇点具有恒定的相位差）的两束光矢量相干叠加，从而形成明暗相间的干涉条纹。该实验似乎给人一种错觉：光的干涉条纹是由两束相干光的相互作用（或矢量叠加）而形成的。其实不然，在该实验中，即使让光子一个一个通过双缝，只要光子足够多，最后出现的干涉条纹是一样的．即所有微观粒子的能量、动量、波长和频率等均符合德布罗意公式，单个微观粒子就具有波动性，它们均具有＂自干涉＂特征。

上述实验非常成功，但似乎没有讲清楚电子是如何＂穿过＂双缝的．根据经典物理理论，电子要么穿过上边的缝1，要么穿过下边的缝2．但进一步的实验证明此＂穿过＂图像的描述是错误的！原因如下：如果某电子通过缝 1，缝 2 关闭对该电子没有影响；如果某电子通过缝 2 ，缝 1 关闭对该电子没有影响。实验时，可一半时间关闭缝 1 ，一半时间关闭缝 2 ，但这样最后得到的结果并没有干涉条纹。因此，图 2.1 中的实验结果说明：任何一个电子通过双缝时，两条缝同时起作用．电子的这种＂分身术＂来源于电子的波粒二象性．

采用经典物理学图像描述上述实验：若电子通过缝 1 ，概率分布 $P_1=\left|\psi_1\right|^2$ ，此时缝 2 开或关均无关紧要；若电子通过缝 2 ，概率分布 $P_2=\left|\psi_2\right|^2$ ，此时缝 1 开或关也无关紧要．叠加后得到结果是 $P_1+P_2$ ，如图 2．2（a）所示．

按照德布罗意波的玻恩诠释，当缝 1 打开，缝 2 关闭时，胶片中最后的图案分布为 $P_1=\left|\psi_1\right|^2$ ；当缝 1 关闭，缝 2 打开时，胶片中最后的图案分布为 $P_2=\left|\psi_2\right|^2$ ；若两条缝同时打开，胶片中最后的图案分布为 $P_{12}$ ，即上述式（2．2），该式的最后两项即为干涉项，正是因为此两项才引起干涉条纹，如图 2．2（b）所示．

![图片](/uploads/2025-11/f08a3f.jpg)
 
 因此，玻恩诠释告知我们：德布罗意波是一种物质波，波函数模的平方是微观粒子在某时某处出现的概率分布，仅此而已；物质波并会不告知我们该粒子究竟在哪里，运动轨迹如何．在量子物理学中，均没有此类概念．物质波与经典物理中的横波、纵波等有本质的区别．后面我们会看到，德布罗意波的意义极其深刻，远远超出了我们的想象．
 
 后续的诸多实验发现：光子、电子、中子、质子等均得到类似结果，即具有 ＂自干涉＂特征！更大分子的衍射现象，也已被实验观测到。例如， $\mathrm{C}_{60}$ 大分子束通过 SiNx 衍射光栅（周期为 100 nm ，缝宽为 50 nm ）后，也观测到衍射现象 ${ }^{(1)}$ 。

在牛顿力学中，采用决定论因果律，因在前，果在后，因果不可倒置，且一一对应！但是在量子物理学中，由于德布罗意波是概率诠释，我们无法知道某时某处出现哪个粒子，其原因是什么等问题．换言之，量子物理学采用的是统计因果律：单个微观粒子的单次运动不受因果律支配；但大量微观粒子运动的统计平均，或单个微观粒子多次运动的统计平均符合因果律！

`例`试解析物质波速度佯谬。
解 根据德布罗意波式（2．1）和相对论能量质量公式 $E=m c^2=h v$ ，粒子动量 $p=m v=h / \lambda$ ，其中 $m$ 和 $v$ 分别为粒子的质量和速度。于是，根据波动学原理，该波的速度 $V$ 为

$$
V=v \lambda=\frac{m c^2}{h} \frac{h}{m v}=\frac{c^2}{v}
$$

于是得出结论：（1）如果粒子速度 $v=c$ ，则波速 $V=c$ ；（2）如果粒子速度 $v<c$ ，则波速 $V>c!$ 这一结果与相对论预言相违背，因而被认为是佯谬．

上述推导中的速度一词明显采用了＂轨道＂的概念，即可以知道粒子是如何从空间某一处运动到另一处的．而事实上，德布罗意波是物质波，它只告知我们粒子出现在空间某处的概率，而没有告知粒子究竟在哪里，也不存在＂粒子如何从某处运动到另一处＂的问题。后来，人们才逐渐认识到，物质波的运动存在群速和相速之分．我们所能测量到的是由各种平面波叠加而成的波包，其运动速度是群速，不可能超过光速；而在物质波的波包中，某一频率平面波的相位移动速度称为相速，它可以超过真空中的光速，但这并不表示任何超光速的信息或能量转移 ${ }^{(2)}$ 。

2．波函数的性质
1）概率和概率密度
对于概率分布而言，重要的是相对概率分布，即 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 与 $C \psi(\boldsymbol{r}, t)$ 所描述的概率分布是一样的，其中 $C$ 为实常数．例如 $t$ 时刻，在空间 $\boldsymbol{r}_1$ 和 $\boldsymbol{r}_2$ 处，粒子出现的

概率之比为

$$
\frac{\left|C \psi\left(\boldsymbol{r}_1, t\right)\right|^2}{\left|C \psi\left(\boldsymbol{r}_2, t\right)\right|^2}=\frac{\left|\psi\left(\boldsymbol{r}_1, t\right)\right|^2}{\left|\psi\left(\boldsymbol{r}_2, t\right)\right|^2}
$$

换言之，$\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 与 $C \psi(\boldsymbol{r}, t)$ 是同一概率波分布，相差一不确定的常数因子 $C$ ，称为归一化常数。对于局域态（束缚态）而言，在 $t$ 时刻和 $\boldsymbol{r}$ 处，单位体积内找到粒子的概率即为相对概率密度，其表达式为

$$
\omega(\boldsymbol{r}, t)=\mathrm{d} W(\boldsymbol{r}, t) / \mathrm{d} \tau=C^2|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2
$$

其中 $\mathrm{d} \tau$ 是体系坐标空间的微分体积元，在三维空间， $\mathrm{d} \tau=\mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}$ 。在体积 $V$ 内，$t$时刻找到粒子的相对概率为

$$
W(t)=\int_V \mathrm{~d} W(\boldsymbol{r}, t)=\int_V \omega(\boldsymbol{r}, t) \mathrm{d} \tau=C^2 \int_V|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 \mathrm{~d} \tau
$$

2）平方可积、可归一化
由于粒子在全空间总要出现，在非相对论情况下（即没有粒子产生和湮灭），要求在全空间找到该粒子的概率为 1 ，即满足波函数的归一化条件

$$
C^2 \int_{\infty}|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 \mathrm{~d} \tau=1
$$

上式是全空间积分．此时，即可确定归一化常数 $C$ 为

$$
C^2=1 / \int_{\infty}|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 \mathrm{~d} \tau
$$

此外，以后会讲到，不是所有波函数都可以归一化．例如，利用式（2．1），自由粒子波函数是平面波

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=A \exp \left[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}-E t)\right]
$$

不满足平方可积要求，一般不能归一化，因为平面波只是一个近似的理论模型，真正意义上的平面波并不存在。不过在此情况下，相对概率仍然适用。

归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性．值得注意的是，归一化波函数仍有一个模为 1 的相因子不定性。若 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ 是归一化波函数，那么 $\exp (\mathrm{i} \alpha) \psi(\boldsymbol{r}, t)$ 也是归一化波函数（其中 $\alpha$ 是实数），与前者描述同一概率波。

对于一个由 $N$ 个粒子组成的体系，其波函数可表示成
$$
\psi\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \cdots, \boldsymbol{r}_N, t\right)
$$

其中 $\boldsymbol{r}_1\left(x_1, y_1, z_1\right), \boldsymbol{r}_2\left(x_2, y_2, z_2\right), \cdots$ 分别表示各粒子的空间坐标．此时

$$
\left|\psi\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \cdots, \boldsymbol{r}_N, t\right)\right|^2 \mathrm{~d}^3 \boldsymbol{r}_1 \mathrm{~d}^3 \boldsymbol{r}_2 \cdots \mathrm{~d}^3 \boldsymbol{r}_N
$$

表示在 $t$ 刻，粒子 1 出现在 $\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_1+\mathrm{d} \boldsymbol{r}_1\right)$ 中，同时粒子 2 出现在 $\left(\boldsymbol{r}_2, \boldsymbol{r}_2+\mathrm{d} \boldsymbol{r}_2\right)$ 中，$\cdots$ ，同时粒子 $N$ 出现在 $\left(\boldsymbol{r}_N, \boldsymbol{r}_N+\mathrm{d} \boldsymbol{r}_N\right)$ 中的概率．

3）动量分布概率
根据波函数的统计诠释，在空间 $\boldsymbol{r}$ 处找到粒子的概率 $\propto|\psi(\boldsymbol{r})|^2$ 。那么，测量粒子其他力学量的概率分布如何？

根据傅里叶变换公式，利用德布罗意公式（2．1），可将波函数 $\psi(\boldsymbol{r})$ 展开为

$$
\psi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\boldsymbol{p}) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar} \mathrm{d}^3 \boldsymbol{p}
$$

上式含义：波函数 $\psi(\boldsymbol{r})$ 由许多动量为 $\boldsymbol{p}$ 的平面波 $\left(\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i} p \cdot \boldsymbol{r} / \hbar}\right)$ 叠加而成．其逆变换为

$$
\varphi(\boldsymbol{p})=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar} \mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}
$$

上式反过来也说明：$\varphi(\boldsymbol{p})$ 是由许多坐标为 $\boldsymbol{r}$ 的平面波 $\left(\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i} p \cdot \boldsymbol{r} / \hbar}\right)$ 叠加而成．
从式（2．11）和式（2．12）可以看出：$|\varphi(\boldsymbol{p})|^2$ 代表 $\psi(\boldsymbol{r})$ 中含有平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p \cdot r / \hbar}$ 的成分，即上述式（2．12）中粒子动量为 $\boldsymbol{p}$ 的概率与 $|\varphi(\boldsymbol{p})|^2$ 成比例。

于是，根据傅里叶变换和其逆变换定义的对称性，我们得到重要结论：与 $|\psi(\boldsymbol{r})|^2$ 表示粒子在坐标空间中的概率密度相似，$|\varphi(\boldsymbol{p})|^2$ 表示粒子在动量空间的概率密度，而 $\varphi(\boldsymbol{p})$ 也是波函数．通常，$\psi(\boldsymbol{r})$ 称为坐标表象中的波函数，$\varphi(\boldsymbol{p})$ 称为动量表象中的波函数．有关不同力学量的表象含义，将在第 4 章中阐述．

`例`   试证明平面波可归一化为 $\delta$ 函数．
证 先考虑一维情况的自由粒子，能量 $E_x=p_x^2 /(2 \mu), \mu$ 为质量，平面波式（2．9）可改写为

$$
\psi_{p_x}(x, t)=A_x \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(p_x x-E_x t\right)}
$$

考虑如下一维全空间积分：

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{p_x^{\prime}}^*(x, t) \psi_{p_x}(x, t) \mathrm{d} x \\
= & A_x^2 \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(E_x^{\prime}-E_x\right) t} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(p_x-p_x^{\prime}\right) x} \mathrm{~d} x \\
= & \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(\frac{p_x^{\prime 2}}{2 \mu}-\frac{p_x^2}{2 \mu}\right) t} \delta\left(p_x-p_x^{\prime}\right) \\
= & \delta\left(p_x-p_x^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

上式中利用了 $\delta$ 函数的傅里叶变换公式和选择性（见附录四），并取 $A_x^2 2 \pi \hbar=1$ 。
推广至三维情况，可将平面波式（2．9）分离变量，得

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=A_x \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(p_x x-E_x t\right)} A_y \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(p_y y-E_y t\right)} A_z \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(p_z z-E_z t\right)}=\psi_{p_x}(x, t) \psi_{p_y}(y, t) \psi_{p_z}(z, t)
$$

其中 $E=E_x+E_y+E_z=\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right) / 2 \mu, A_x^2 A_y^2 A_z^2(2 \pi \hbar)^3=1$ ，则归一化表达式为

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{p^{\prime}}^*(\boldsymbol{r}, t) \psi_p(\boldsymbol{r}, t) \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\delta\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}^{\prime}\right)
$$

即平面波式（2．9）可归—化为 $\delta\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}^{\prime}\right)$ 函数。应该指出：上述平面波可归—化为 $\delta$ 函数，但其模的平方并不代表绝对概率密度，只表示平面波所描写的状态在空间 $\boldsymbol{r}$ 方向各点找到粒子的概率相同．

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