最后更新: 2025-11-11 09:35 查看: 43 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

波函数及其统计诠释

1．波函数的玻恩诠释
1926 年，玻恩（M．Born）提出了对德布罗意波的诠释：采用波函数 $\psi(\boldsymbol{r}, t)$（一般为复函数）描述德布罗意波，复函数 $\psi$ 也称为概率幅；在 $\boldsymbol{r}$ 处、 $t$ 时刻发现该粒子的概率正比于该粒子波函数绝对值的平方，即 $|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2=\psi(\boldsymbol{r}, t) \psi^*(\boldsymbol{r}, t)$ ，称为概率密度．

若有两个德布罗意波 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ ，它们的概率密度分别为 $P_1=\left|\psi_1\right|^2, P_2=\left|\psi_2\right|^2$ 。应该指出，这两个德布罗意波的叠加是概率幅的叠加，而非概率密度叠加，即

$$
\psi=\psi_1+\psi_2
$$

叠加之后的概率密度为

$$
P_{12}=|\psi|=\left|\psi_1+\psi_2\right|^2=\left|\psi_1\right|^2+\left|\psi_2\right|^2+\psi_1^* \cdot \psi_2+\psi_1 \cdot \psi_2^*
...(2.22)
$$

式（2．2）中的 $P_{12} \neq P_1+P_2$ ，最后两项即为干涉项．
例如，一个电子被电压 $U=100 \mathrm{~V}$ 加速，根据德布罗意公式（2．1），得电子的波长为

$$
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m v}=0.123 \mathrm{~nm} ...(2.23)
$$

这一微小的波长可以用电子双缝干涉实验测量，如图 2.1 所示：电子束由左向右 ＂穿过＂双缝，电子束十分稀疏，以至于当一个电子到达右侧胶片，产生亮点后，第二个电子再人射．也就是说，在整个实验过程，电子与电子之间不会相遇，胶片上的干涉图案与电子之间的相互作用无关．

![图片](/uploads/2025-11/6259b8.jpg)
 
 实验开始，电子＂穿过＂双缝到达胶片，产生一个个亮点，似乎杂乱无章，如图 2．1（a）所示；当人射电子足够多时，条纹轮廓显现，如图 2．1（b）所示；当人射电子十分多时，胶片上清晰干涉条纹出现，如图 2．1（c）所示．此时，测量条纹之间距离、双缝之间距离，以及双缝与胶片之间距离，即可求出电子波长，所得结果与式（2．3）完全一致．这里需要强调：图 2.1 中的干涉图案与电子之间的相互作用没有关系．该实验证明：单个电子具有波动性，
 且具有＂自干涉＂特征！
 
 若采用光子、质子、中子等代替上述实验中的电子，将得到与图 2.1 类似的结果。例如，在波动光学中，著名的杨氏双缝干涉实验是满足相干条件（即两光波频率相同；它们在相遇点的振动方向相同，且在相遇点具有恒定的相位差）的两束光矢量相干叠加，从而形成明暗相间的干涉条纹。该实验似乎给人一种错觉：光的干涉条纹是由两束相干光的相互作用（或矢量叠加）而形成的。其实不然，在该实验中，即使让光子一个一个通过双缝，只要光子足够多，最后出现的干涉条纹是一样的．即所有微观粒子的能量、动量、波长和频率等均符合德布罗意公式，单个微观粒子就具有波动性，它们均具有＂自干涉＂特征。

上述实验非常成功，但似乎没有讲清楚电子是如何＂穿过＂双缝的．根据经典物理理论，电子要么穿过上边的缝1，要么穿过下边的缝2．但进一步的实验证明此＂穿过＂图像的描述是错误的！原因如下：如果某电子通过缝 1，缝 2 关闭对该电子没有影响；如果某电子通过缝 2 ，缝 1 关闭对该电子没有影响。实验时，可一半时间关闭缝 1 ，一半时间关闭缝 2 ，但这样最后得到的结果并没有干涉条纹。因此，图 2.1 中的实验结果说明：任何一个电子通过双缝时，两条缝同时起作用．电子的这种＂分身术＂来源于电子的波粒二象性．

采用经典物理学图像描述上述实验：若电子通过缝 1 ，概率分布 $P_1=\left|\psi_1\right|^2$ ，此时缝 2 开或关均无关紧要；若电子通过缝 2 ，概率分布 $P_2=\left|\psi_2\right|^2$ ，此时缝 1 开或关也无关紧要．叠加后得到结果是 $P_1+P_2$ ，如图 2．2（a）所示．

按照德布罗意波的玻恩诠释，当缝 1 打开，缝 2 关闭时，胶片中最后的图案分布为 $P_1=\left|\psi_1\right|^2$ ；当缝 1 关闭，缝 2 打开时，胶片中最后的图案分布为 $P_2=\left|\psi_2\right|^2$ ；若两条缝同时打开，胶片中最后的图案分布为 $P_{12}$ ，即上述式（2．2），该式的最后两项即为干涉项，正是因为此两项才引起干涉条纹，如图 2．2（b）所示．

![图片](/uploads/2025-11/f08a3f.jpg)
 
 因此，玻恩诠释告知我们：德布罗意波是一种物质波，波函数模的平方是微观粒子在某时某处出现的概率分布，仅此而已；物质波并会不告知我们该粒子究竟在哪里，运动轨迹如何．在量子物理学中，均没有此类概念．物质波与经典物理中的横波、纵波等有本质的区别．后面我们会看到，德布罗意波的意义极其深刻，远远超出了我们的想象．
 
 后续的诸多实验发现：光子、电子、中子、质子等均得到类似结果，即具有 ＂自干涉＂特征！更大分子的衍射现象，也已被实验观测到。例如， $\mathrm{C}_{60}$ 大分子束通过 SiNx 衍射光栅（周期为 100 nm ，缝宽为 50 nm ）后，也观测到衍射现象 ${ }^{(1)}$ 。

在牛顿力学中，采用决定论因果律，因在前，果在后，因果不可倒置，且一一对应！但是在量子物理学中，由于德布罗意波是概率诠释，我们无法知道某时某处出现哪个粒子，其原因是什么等问题．换言之，量子物理学采用的是统计因果律：单个微观粒子

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：微观粒子波粒二象性假说

下一篇：海森伯不确定性原理

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)