最后更新: 2025-11-11 13:47 查看: 50 次纠错评论(0) 课件开VIP

一维势场中粒子能量本征态的一般性质

1．能级的简并
设系统能级分立，即 $E=\left\{E_n\right\}, n=1,2,3, \cdots$ ．对同一个能级，若有两个及以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的；反之，则是非简并的．
2．波函数的宇称
宇称描述在空间反演下波函数的特性．设空间反演算符 $\hat{P}$ ，其作用于波函数后的效果为 $\hat{P} \psi(x)=\psi(-x)$ ，如果

$$
\hat{P} \psi(x)=\psi(-x)=\psi(x)
$$

或者

$$
\hat{P} \psi(x)=\psi(-x)=-\psi(x)
$$

则称 $\psi(x)$ 具有确定的偶宇称或奇宇称，总称为它们具有确定宇称．例如
偶宇称：$\hat{P} \cos (x)=\cos (-x)=\cos (x)$
奇宇称：$\hat{P} \sin (x)=\sin (-x)=-\sin (x)$
3．束缚态与非束缚态
若 $V(x)$ 在 $x \rightarrow \pm \infty$ 时有确定极限，$E<V(+\infty), V(-\infty)$ ，则当 $|x|$ 很大时，$(V-E)$是一正的常数，于是求解式（3．2），$\psi(x)$ 随 $x$ 呈指数衰减，当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时，$\psi(x)=0$ ，即粒子在无穷远处出现的概率为零，称为束缚态。

反之，在 $x \rightarrow \pm \infty$ 时，$\psi(x) \neq 0$ ，粒子可能在无穷远处出现，称为非束缚态，或散射态．

定理 3.1 设 $\psi(x)$ 是能量本征方程的一个解，对应的能量本征值为 $E$ ，则 $\psi^*(x)$也是该能量本征方程的一个解，对应的能量也是 $E$ ．

一般情况下，我们假设势能 $V(x)$ 是实函数．所以，若要证明此定理，只要对式（3．2）两边取复共轭即可。

推论 对应于能量的某个本征值 $E$ ，能量本征方程的解 $\psi(x)$ 不简并，则这个解可取实函数，因为此时 $\psi(x)=\psi^*(x)$ 。

定理 3.2 设 $V(x)$ 具有确定的偶宇称，即 $V(x)=V(-x)$ ，如果 $\psi(x)$ 是能量本征方程对应能量本征值 $E$ 的解，则 $\psi(-x)$ 也是方程对应于 $E$ 的解．（只要对式（3．2）两边将 $x$ 变为 $-x$ ，即可证明．）

推论 设 $\psi(x)$ 是能量本征方程对应能量本征值 $E$ 的解，如果 $V(x)=V(-x)$ ，且 $\psi(x)$ 非简并，则 $\psi(x)$ 具有确定宇称．（因为波函数前面可以相差一常数．）

定理 3.3 设势能为

$$
V(x)= \begin{cases}V_1, & x \leqslant a \\ V_2, & x>a\end{cases}
$$
若 $V_2-V_1$ 有限，则能量本征函数 $\psi(x)$ 及其导数 $\psi^{\prime}(x)$ 在 $a$ 点必定是连续的．
 
证 将式（3．2）写为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d} x^2}=-\frac{2 m}{\hbar^2}[E-V(x)] \psi(x)
$$

对上式两边在区间 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 求积分，并令 $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$，得

$$
\psi^{\prime}\left(a+0^{+}\right)-\psi^{\prime}\left(a-0^{+}\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{-2 m}{\hbar^2} \int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon} \mathrm{d} x[E-V(x)] \psi(x)
$$

由于 $[E-V(x)]$ 有限，当 $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$时，上式右边积分 $\rightarrow 0$ ，即

$$
\psi^{\prime}\left(a+0^{+}\right)=\psi^{\prime}\left(a-0^{+}\right)
$$

说明导数 $\psi^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 点连续，这意味着 $\psi(x)$ 在点 $a$ 也连续．
定理 3.4 设 $\psi_1(x)$ 和 $\psi_2(x)$ 均为能量本征方程属于同一能量 $E$ 的解，则 $\psi_1 \psi_2^{\prime}-\psi_2 \psi_1^{\prime}=$ 常数。

证 将式（3．2）改写为

$$
\begin{aligned}
\psi_1^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^2}[E-V(x)] \psi_1 & =0 \\
\psi_2^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^2}[E-V(x)] \psi_2 & =0
\end{aligned}
$$

作 $\psi_1 \times$（II）$-\psi_2 \times$（I），得

$$
\psi_1 \psi_2^{\prime \prime}-\psi_2 \psi_1^{\prime \prime}=0 \text {, 即 }\left(\psi_1 \psi_2^{\prime}-\psi_2 \psi_1^{\prime}\right)^{\prime}=0
$$

两边积分，得

$$
\psi_1 \psi_2^{\prime}-\psi_2 \psi_1^{\prime}=\text { 常数 }
$$

推论 由于上式中的常数不依赖于坐标 $x$ ，若是束缚态，在无穷远处必有 $\psi_1=\psi_2=0$ ，因此，若 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 均为束缚态，则必有 $\psi_1 \psi_2^{\prime}=\psi_2 \psi_1^{\prime}$ 。

定理 3.5 设粒子在无奇点势场 $V(x)$ 中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的．
根据定理 3.4 ，若是束缚态，必有

$$
\psi_1 \psi_2^{\prime}=\psi_2 \psi_1^{\prime}
$$

或改写为 $\psi_1^{\prime} / \psi_1=\psi_2^{\prime} / \psi_2$ ，对此式两边积分得 $\psi_1(x)=C \psi_2(x)$ ，其中 $C$ 是一常数．
若 $V(x)$ 有奇点 $V\left(x_0\right) \rightarrow \infty$ ，则奇点处可能出现 $\psi=0$ 而 $\psi^{\prime}$ 不连续，此时定理 3.5 可能不成立．

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