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薛定谔方程应用-一维无限深方势阱

1．一维无限深方势阱
一维势场 $V(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & 0 \leqslant x \leqslant a \\ \infty, & x<0, x>a\end{array}, a\right.$ 为势阱宽度，如图3．1所示．
 
在阱外，即 $x<0$ 或 $x>a$ ，由于势能 $V$ 等于无穷大，要使定态薛定谔方程（3．2）成立，必有 $\psi_{\text {外 }}=0$ 。因此，粒子只能在区间 $0 \leqslant x \leqslant a$ 内运动，其定态薛定谔方程（3．2）可改写为

$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi(x)+\frac{2 m E}{\hbar^2} \psi(x)=0
$$

![图片](/uploads/2025-11/786c86.jpg)
 
（1）在区间 $0 \leqslant x \leqslant a$ ，求解此能量本征方程，解为
$$
\psi(x)=A \sin (k x+\delta)
$$

其中

$$
k=\sqrt{2 m E} / \hbar
$$

由边界条件 $\psi(0)=0$ 和 $\psi(a)=0$ ，即 $\delta=0, \sin (k a)=0$ ，必然要求

$$
k a=n \pi, \quad n=1,2,3, \cdots
$$

于是得波函数为

$$
\psi(x)=\psi_n(x)=A \sin \left(\frac{n \pi}{a} x\right), \quad 0 \leqslant x \leqslant a
$$

（2）能量量子化．根据式（3．5）和式（3．6），得

$$
E=E_n=\frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2 m a^2}, \quad n=1,2,3, \cdots
$$

说明在一维无限深方势阱中运动的粒子能量是量子化的．在式（3．8）中，$E_n$ 称为体系的能量本征值，与 $E_n$ 对应的波函数 $\psi_n$ 称为该能量本征函数．
（3）波函数的归一化．将波函数式（3．7）进行归一化，令
$$
\int_0^a\left|\psi_n(x)\right|^2 \mathrm{~d} x=1
$$

得到 $|A|=\sqrt{2 / a}$ ，于是归一化波函数为

$$
\psi_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n \pi}{a} x\right), & 0 \leqslant x \leqslant a \\
0, & x<0, x>a
\end{array}, n=1,2,3, \cdots\right.
$$

式（3．9）即为定态薛定谔方程的解，由于 $n$ 有无穷多种取值，故解也有无穷多个，而且根据量子态叠加态原理，它们的组合

$$
\Psi=\sum c_n \psi_n(x)
$$

也是定态薛定谔方程的解，其中 $c_n$ 是常数．

（4）讨论．取式（3．8）中 $n$ 最小值为 1 ，故微观粒子具有最低能量

$$
E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m a^2} \neq 0
$$

该能量也称为＂零点能＂，说明被束缚在某一区域内的粒子永远无法静止下来．然而在经典物理学中，$E=0$ 是允许的，两者截然不同。而且，对于微观粒子，＂零点能＂现象具有普遍性。

此外，对于一维无限深方势阱中的粒子，$\Delta x \sim a$ ，由不确定性关系 $\Delta x \Delta p \geqslant \hbar$ ，得到 $\Delta p \sim \hbar / a \neq 0$ ，由此可估算粒子能量

$$
E \sim p^2 /(2 m) \sim(\Delta p)^2 /(2 m) \sim \hbar^2 /\left(2 m a^2\right) \neq 0
$$

上述结果与式（3．11）得到的结果在同一数量级．
波函数 $\psi_n(x)=A \sin \left(\frac{n \pi}{a} x\right)$ 及概率分布的形貌如图 3.2 所示，在区间 $0<x<a$内，在 $x_n(l)=\frac{l a}{n}, l=1,2, \cdots, n-1$ 处，是 $n-1$ 个节点，其上

$$
\psi_n\left(x_n\right)=A \sin \left(\frac{n \pi}{a} x_n\right)=0
$$

说明粒子在这些节点上出现的概率为零．对于经典粒子来说，它在 $0<x<a$ 内任何地方均有可能出现．

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