最后更新: 2025-11-11 14:00 查看: 50 次纠错评论(0) 课件开VIP

薛定谔方程应用-一维有限深对称方势阱

2．一维有限深对称方势阱
设有一维对称势能

$$
V(x)= \begin{cases}0, & |x|<a / 2 \\ V_0, & |x| \geqslant a / 2\end{cases}
$$

如图 3.3 所示，$V_0$ 为有限正值，粒子的能量 $E$ 满足条件 $0<E<V_0$ ．根据定理 3.2 及推论，该问题中薛定谔方程的解具有确定宇称。

根据定态薛定谔方程（3．2），在阱内，能量本征方程为

![图片](/uploads/2025-11/31a794.jpg)
 
  $$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi(x)+\frac{2 m E}{\hbar^2} \psi(x)=0, \quad|x|<\frac{a}{2}
$$

解得

$$
\psi(x)= \begin{cases}A \cos k x, & \text { 偶宇称 } \\ B \sin k x, & \text { 奇宇称 }\end{cases}
$$

其中 $k=\sqrt{2 m E} / \hbar$ ．在阩外，能量本征方程为

$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi(x)-\frac{2 m}{\hbar^2}\left(V_0-E\right) \psi(x)=0, \quad|x| \geqslant \frac{a}{2}
$$

解得

$$
\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
C \mathrm{e}^{-\beta x}, & x \geqslant a / 2 \\
D \mathrm{e}^{+\beta x}, & x \leqslant-a / 2
\end{array}, \quad \beta=\sqrt{2 m\left(V_0-E\right)} / \hbar\right.
$$

上式说明：$|\psi(x \rightarrow \pm \infty)|^2=0$ ，即粒子不会出现在 $\pm \infty$ ；当 $x \geqslant a / 2$ ，或 $x \leqslant-a / 2$时，$|\psi(x)| \neq 0$ ，说明 $E<V_0$ 的粒子也有到达势阱外的可能。

上面两个解中的常数 $A 、 B 、 C$ 和 $D$ 由波函数及其导数在 $x=-a / 2$ 和 $x=a / 2$时的连续条件确定．可分两种情况讨论．

1）偶宇称解
$$
\begin{gathered}
\psi=A \cos k x, \quad|x|<\frac{a}{2} \\
\psi= \begin{cases}C \mathrm{e}^{-\beta x}, & x \geqslant a / 2 \\
D \mathrm{e}^{+\beta x}, & x<-a / 2\end{cases}
\end{gathered}
$$

在 $x= \pm a / 2$ 处，令 $(\ln \psi)^{\prime}$ 连续，得到同样结果

$$
\tan \frac{k a}{2}=\frac{\beta}{k}
$$

或改写为

$$
1+\tan ^2 \frac{k a}{2}=\frac{k^2+\beta^2}{k^2}=\frac{V_0}{E} \text { 或 } \cos ^2 \frac{k a}{2}=\frac{E}{V_0}
$$

当 $\beta \gg k$ ，即 $V_0 \gg E$ 时，式（3．15a）的近似解为

$$
k a \approx n \pi, \quad n=1,3,5, \cdots
$$

此时的能级公式为
$$
E_n=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m} \approx \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}
$$

即无限深方势阱中的能级公式，不过 $n$ 只取正奇数．
令 $\xi=k a / 2, \eta=\beta a / 2$ ，得 $\xi^2+\eta^2=m V_0 a^2 /\left(2 \hbar^2\right)$ ，此式是以 $\xi$ 和 $\eta$ 为变量的标准圆方程．于是式（3．15a）可表示为

$$
\xi \tan \xi=\eta
$$

2）奇宇称解

$$
\begin{gathered}
\psi=B \sin k x, \quad|x|<\frac{a}{2} \\
\psi= \begin{cases}C \mathrm{e}^{-\beta x}, & x \geqslant a / 2 \\
D \mathrm{e}^{+\beta x}, & x<-a / 2\end{cases}
\end{gathered}
$$

在 $x= \pm a / 2$ 处，令 $(\ln \psi)^{\prime}$ 连续，均得

$$
-k \cot (k a / 2)=\beta
$$

上式求近似解：当 $\beta \gg k$ ，即 $V_0 \gg E$ 时，上式解为

$$
k a \approx n \pi, \quad n=2,4,6, \cdots
$$

此时的能级公式为

$$
E_n=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m} \approx \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}
$$

也是无限深方势阱中的能级公式，$n$ 取正偶数，与上述偶宇称的情况正好错开．
利用上述定义的 $\xi$ 和 $\eta$ ，式（3．17a）可写成

$$
-\xi \cot \xi=\eta
$$
上述式(3.15b)和式(3.17b)是两个超越方程，可用作图法求解，如图3.4所示，图中曲线与圆方程的交点即为解，对应相应的能量.

![图片](/uploads/2025-11/e872ea.jpg)
 
 对于偶宇称，如图 3．4（a）所示，无论 $V_0 a^2$ 的值为多少，只要 $0<E<V_0$ 成立，上述式（3．15b）与圆方程 $\xi^2+\eta^2=m V_0 a^2 /\left(2 \hbar^2\right)$ 至少有一个交点，即至少有一个束缚态；当 $\xi^2+\eta^2=m V_0 a^2 /\left(2 \hbar^2\right) \geqslant \pi^2$ 时，开始出现首个以及更高的偶宇称激发态。

对于奇宁称，如图 3．4（b）所示，只有当 $\xi^2+\eta^2=m V_0 a^2 /\left(2 \hbar^2\right) \geqslant \pi^2 / 4$ 时，才有可能出现最低的第一个奇宇称态．

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