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薛定谔方程应用-量子隧道效应

3．量子隧道效应
设人射粒子能量为 $E$ ，在高度为 $V_0$ 的方势垒上反射与透射，$E<V_0$ ，如图 3.5所示。

![图片](/uploads/2025-11/9ccb35.jpg)
 
在 $x<0, x>a$ 的区域中，能量本征方程（3．2）可表述为
$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi(x)+\frac{2 m E}{\hbar^2} \psi(x)=0
$$

所以在势垒外的解为

$$
\psi(x)=\psi_{\text {外 }}(x)= \begin{cases}\psi_\lambda+\psi_{\text {反 }}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}+R \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x}, & x<0 \\ \psi_{\text {透 }}=T \mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}, & x>a\end{cases}
$$

其中，设人射波振幅为 1 ，即 $\psi_{\text {入 }}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}, ~ \psi_{\text {反 }}=R \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x}, k=\sqrt{2 m E} / \hbar$ ．
根据式（2．23），粒子流密度可表示为

$$
\begin{aligned}
j_\lambda & =-\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 m}\left(\psi_\lambda^* \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} \psi_\lambda-\psi_\lambda \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} \psi_\lambda^*\right) \\
& =\frac{\hbar k}{m}\left|\psi_\lambda\right|^2=\hbar k / m=v
\end{aligned}
$$

其中 $v$ 是粒子的速率。同理可得 $j_{\text {反 }}=|R|^2 v, j_{\text {透 }}=|T|^2 v$ 。于是，反射系数 $|R|^2=j_{\text {反 }} / j_{\text {入 }}$ ，透射系数 $|T|^2=j_{\text {透 }} / j_{\text {入 }}$ 。

此外，在 $0 \leqslant x \leqslant a$ 的区域中，能量本征方程（3．2）为

$$
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi-\frac{2 m}{\hbar^2}\left(V_0-E\right) \psi=0
$$

上式的解为

$$
\psi(x)=\psi_{\text {内 }}(x)=A \mathrm{e}^{\beta x}+B \mathrm{e}^{-\beta x}
$$

其中 $\beta=\sqrt{2 m\left(V_0-E\right)} / \hbar$ 。在 $x=0$ 和 $x=a$ 处，势垒内外波函数解式（3．18）和 式（3．19）相等及其导数相等，得常数之间的方程组

$$
\begin{gathered}
1+R=A+B \\
A \mathrm{e}^{\beta a}+B \mathrm{e}^{-\beta a}=T \mathrm{e}^{\mathrm{i} k a} \\
\mathrm{i} k(1-R) / \beta=A-B \\
A \mathrm{e}^{\beta a}-B \mathrm{e}^{-\beta a}=\frac{\mathrm{i} k}{\beta} T \mathrm{e}^{\mathrm{i} k a}
\end{gathered}
$$

解上述代数方程，得到

$$
\begin{gathered}
A=\frac{T}{2}\left(1+\frac{\mathrm{i} k}{\beta}\right) \mathrm{e}^{(\mathrm{i} k-\beta) a} \\
B=\frac{T}{2}\left(1-\frac{\mathrm{i} k}{\beta}\right) \mathrm{e}^{(\mathrm{i} k+\beta) a} \\
|T|^2=\frac{4 k^2 \beta^2}{\left(k^2+\beta^2\right)^2 \mathrm{sh}^2 \beta a+4 k^2 \beta^2} \\
|R|^2=\frac{\left(k^2+\beta^2\right)^2 \mathrm{sh}^2 \beta a}{\left(k^2+\beta^2\right)^2 \mathrm{sh}^2 \beta a+4 k^2 \beta^2}
\end{gathered}
$$

显然，$|R|^2+|T|^2=1$ 。
势垒贯穿隧道效应如图 3.6 所示．

![图片](/uploads/2025-11/ffdf53.jpg)
 
 对于电子势垒贯穿，设 $V_0-E=8 \times 10^{-19} \mathrm{~J}, E=10^{-19} \mathrm{~J}, m_{\mathrm{e}}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ ， $\hbar=1.1 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}$ ，则有如表 3.1 所示数据。所以，如果势垒宽度和高度适合，电子的势垒贯穿效应相当可观．
 
  ![图片](/uploads/2025-11/0aa7e7.jpg)

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