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薛定谔方程应用- 势垒的反射与透射

4．$\delta$ 势垒的反射与透射
设人射粒子质量为 $m$ ，能量为 $E>0$ ，在 $\delta$ 势垒 $V(x)=\gamma \delta(x)$ 上反射和贯穿，常数 $\gamma>0$ ，如图 3.7 所示．

![图片](/uploads/2025-11/611c4c.jpg)

设该粒子从左射人 $\delta$ 势垒，满足定态薛定谔方程

$$
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi(x)=[E-\gamma \delta(x)] \psi(x)
$$

对上式两边在区间 $(-\varepsilon, \varepsilon)$ 求积分

$$
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \psi(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}[E-\gamma \delta(x)] \psi(x) \mathrm{d} x
$$

得到

$$
\psi^{\prime}\left(0^{+}\right)-\psi^{\prime}\left(0^{-}\right)=\frac{2 m \gamma}{\hbar^2} \psi(0)
$$

由此可见，当 $\psi(0) \neq 0$ 时，$\psi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 点不连续，有一跳变．此时二阶导数不存在．
当 $x \neq 0$ 时，薛定谔方程为

$$
\psi^{\prime \prime}(x)+k^2 \psi(x)=0, \quad k=\sqrt{2 m E} / \hbar
$$

其解可表示如下（设人射波振幅为 1 ）：

$$
\psi(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}+R \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x}, & x<0 \\ T \mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}, & x \geqslant 0\end{cases}
$$

此解的形式如图 3.8 所示．

![图片](/uploads/2025-11/0f1469.jpg)

由边界条件 $\psi\left(0^{+}\right)=\psi\left(0^{-}\right)$和式（3．21），可得各系数之间的关系为

$$
1+R=T, \quad 1-R=T-\frac{2 m \gamma}{\mathrm{i} k \hbar^2} T, \quad \psi(0)=T
$$

由此，如果人射波振幅等于 1 ，则求得

$$
T=\left(1+\frac{\mathrm{i} m \gamma}{\hbar^2 k}\right)^{-1}, \quad R=-\frac{\mathrm{i} m \gamma}{\hbar^2 k}\left(1+\frac{\mathrm{i} m \gamma}{\hbar^2 k}\right)^{-1}
$$

最后求得透射系数 $|T|^2$ 和反射系数 $|R|^2$ 分别为

$$
\begin{aligned}
& |T|^2=\left(1+\frac{m^2 \gamma^2}{\hbar^4 k^2}\right)^{-1}=\left(1+\frac{m \gamma^2}{2 \hbar^2 E}\right)^{-1} \\
& |R|^2=\frac{m \gamma^2}{2 \hbar^2 E}\left(1+\frac{m \gamma^2}{2 \hbar^2 E}\right)^{-1}
\end{aligned}
$$

显然，$|R|^2+|T|^2=1$ ．上述结果中，系数 $T$ 不等于零，即透射系数是一有限值，说明势垒贯穿确实存在；反射系数和透射系数均与 $\gamma^2$ 有关，若将 $\gamma$ 变为 $-\gamma$ ，即 $\delta$ 势垒向下，两个系数均不改变；当 $E \gg m \gamma^2 / \hbar^2$ 时，$|T|^2 \sim 1,|R|^2 \sim 0$ ，说明高能粒子将全部贯穿势垒。

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