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薛定谔方程应用-一维谐振子

6．一维谐振子
自然界广泛存在简谐振动。若某物体在平衡位置附近作微小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等，都可以将其分解成若干彼此独立的一维简谐振动。此外，线性简谐振动还可作为复杂运动的初步近似，所以研究一维简谐振动在理论和应用上均十分重要。

设粒子质量为 $m$ ，受力满足
$$
F=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} x}=-K x, \quad \omega=\sqrt{\frac{K}{m}}
$$

该粒子即作一维简谐振动，其中，$K$ 为常数，$\omega$ 为振动角频率．取平衡位置处于势能 $V(x)=0$ 点，则量子物理学中的线性谐振子是指在如下所描述的势场中运动的粒子：

$$
V(x)=\frac{1}{2} K x^2=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
$$

此为二次曲线（抛物线），如图 3.10 所示．

![图片](/uploads/2025-11/9e34c3.jpg)
 
于是，线性谐振子所满足的薛定谔方程为

$$
\begin{array}{r}
\hat{H} \psi(x)=E \psi(x) \\
\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2=-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
\end{array}
$$

为简单计，引人无量纲变量 $\xi$ 代替 $x$ ，令

$$
\xi=\alpha x, \quad \alpha=\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}
$$

则方程（3．24）改为一个变系数二阶常微分方程
$$
\frac{\mathrm{d}^2 \psi}{\mathrm{~d} \xi^2}+\left(\lambda-\xi^2\right) \psi=0, \quad \lambda=\frac{2 E}{\hbar \omega}
$$

为求解上述方程，先看一下它的渐近解，即当 $\xi \rightarrow \pm \infty$ 时波函数 $\psi$ 的行为．在此情况下，$\lambda \ll \xi^2$ ，于是方程变为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 \psi}{\mathrm{~d} \xi^2}=\xi^2 \psi
$$

其解为 $\psi_{\infty}=\exp \left( \pm \xi^2 / 2\right)$ ，于是得到渐近解

$$
\psi_{\infty}=c_1 \mathrm{e}^{-\xi^2 / 2}+c_2 \mathrm{e}^{\xi^2 / 2}
$$

当 $\xi \rightarrow \pm \infty$ 时，波函数应该有限，故必有 $c_2=0$ ．于是方程（3．26）在 $|\xi| \rightarrow \infty$ 处的有限解为

$$
\psi(\xi) \sim \mathrm{e}^{-\xi^2 / 2}
$$

设方程（3．26）的一般解为

$$
\psi(\xi)=H(\xi) \mathrm{e}^{-\xi^2 / 2}
$$
其中函数 $H(\xi)$ 须满足波函数的标准条件，即当 $\xi$ 有限时，$H(\xi)$ 有限、连续和单值；当 $\xi \rightarrow \infty$ 时，$H(\xi)$ 的行为要保证 $\psi(\xi) \rightarrow 0$ ．将式（3．27）代人薛定谔方程（3．26），得关于 $H(\xi)$ 所满足的方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 H(\xi)}{\mathrm{d} \xi^2}-2 \xi \frac{\mathrm{~d} H(\xi)}{\mathrm{d} \xi}+(\lambda-1) H(\xi)=0
$$

上式称为厄米方程，可采用幂级数解法求此方程 ${ }^{(1)}$ 。为满足有限性条件，厄米方程的求解要求

$$
\lambda=\lambda_n=2 n+1, \quad n=0,1,2, \cdots
$$

其解有标准形式，称之为厄米多项式

$$
\mathrm{H}_n(\xi)=(2 \xi)^n-n(n-1)(2 \xi)^{n-2}+\cdots+(-1)^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{n!}{\left[\frac{n}{2}\right]!}(2 \xi)^{n-2\left[\frac{n}{2}\right]}
$$

其中 $\left[\frac{n}{2}\right]$ 代表不大于 $\frac{n}{2}$ 的最大整数，即

$$
\left[\frac{n}{2}\right]= \begin{cases}n / 2, & n \text { 为偶数 } \\ (n-1) / 2, & n \text { 为奇数 }\end{cases}
$$

上述厄米多项式（3．30）看似复杂，但其前几项比较简单，例如

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{H}_0=1 \\
& \mathrm{H}_1=2 \xi \\
& \mathrm{H}_2=4 \xi^2-2 \\
& \mathrm{H}_3=8 \xi^3-12 \xi \\
& \mathrm{H}_4=16 \xi^4-48 \xi^2+12 \\
& \mathrm{H}_5=32 \xi^5-160 \xi^3+120 \xi
\end{aligned}
$$

厄米多项式的微分形式和积分公式分别为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{H}_n(\xi)=(-1)^n \mathrm{e}^{\xi^2} \frac{\mathrm{~d}^n}{\mathrm{~d} \xi^n} \mathrm{e}^{-\xi^2} \\
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^2} \mathrm{H}_n^2(\xi) \mathrm{d} \xi=2^n n!\sqrt{\pi}
\end{array}\right.
$$

此外，厄米多项式还有如下重要递推关系：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{H}_{n+1}(\xi)-2 \xi \mathrm{H}_n(\xi)+2 n \mathrm{H}_{n-1}(\xi)=0 \\
\mathrm{H}_n^{\prime}(\xi)=2 n \mathrm{H}_{n-1}(\xi)
\end{array}\right.
$$

由于 $n$ 的取值有无穷多，线性谐振子的能量本征函数也因此与 $n$ 相关：

$$
\psi_n(\xi)=N_n \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \xi^2} \mathrm{H}_n(\xi) \text { 或 } \psi_n(x)=N_n \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \alpha^2 x^2} \mathrm{H}_n(\alpha x)
$$

上式中，$\xi=\alpha x$ ．归一化因子 $N_n$ 由如下积分确定：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi_n(x) \mathrm{d} x=1
$$

利用式（3．32）得 $N_n=\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi} 2^n n!}\right)^{1 / 2}$ ．
于是，线性谐振子的归一化本征波函数为

$$
\psi_n(x)=\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi} 2^n n!}\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \alpha^2 x^2} \mathrm{H}_n(\alpha x)
$$

最后，含时间的本征波函数为

$$
\begin{aligned}
\psi_n(x, t) & =\psi_n(x) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E_n t} \\
& =\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi} 2^n n!}\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \alpha^2 x^2-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E_n t} \mathrm{H}_n(\alpha x)
\end{aligned}
$$

该波函数的正交归一化条件为

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_m(x) \psi_n(x) \mathrm{d} x=\delta_{m n}
$$

利用厄米多项式递推关系式（3．32），还可求得波函数重要递推关系

$$
\left\{\begin{array}{l}
x \psi_n=\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}+\frac{1}{\alpha} \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1} \\
\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} \psi_n=\alpha \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1}-\alpha \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1}
\end{array}\right.
$$

根据式（3．26）和式（3．29），得一维线性谐振子的本征能量为

$$
E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2, \cdots
$$

该能量本征值有如下特征：
（1）能谱为离散谱，能级之间均等间隔，其值为

$$
\Delta E=E_{n+1}-E_n=\hbar \omega
$$

（2）对应一个谐振子能级，只有一个本征函数，故能级非简并．
（3）当 $n=0$ 时，得基态能量为 $E_0=\frac{1}{2} \hbar \omega$ ，称为零点能，即谐振子的能量不可能为零！这一点与一维无限深势阱的情况式（3．11）一致。

事实上，零点能不等于零是量子物理学所特有的，是微观粒子波粒二象性的表现，能量等于零的＂静止波＂没有意义，零点能的出现是量子效应，已被几乎绝对零度情况下电子的晶体散射实验所证实．

对于谐振子基态，$n=0$ ，能量为 $E_0=\frac{1}{2} \hbar \omega$ ，波函数为 $\psi_0(x)=\left(\frac{\alpha^2}{\pi}\right)^{1 / 4} \mathrm{e}^{\left(-\frac{\alpha^2 x^2}{2}\right)}$ ，其中，$\alpha=\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}$ ．由概率密度

$$
\left|\psi_0(x)\right|^2=\left(\frac{\alpha^2}{\pi}\right)^{1 / 2} \exp \left(-\alpha^2 x^2\right)
$$

当 $x= \pm \alpha^{-1}$ 时，$V\left( \pm \alpha^{-1}\right)=\frac{1}{2} m \omega^2 \alpha^{-2}=\frac{1}{2} \hbar \omega= E_0$ ；粒子在 $x=0$ 处出现概率最大；在 $|x|>\alpha^{-1}$范围内，动能 $T<0$ ，粒子出现概率不为零，这一结果与经典物理的情况完全不同，如图3．11所示．对其他各能级状态下的波函数，可进行类似分析。

![图片](/uploads/2025-11/557c4a.jpg)

在经典情形下，粒子将被限制在 $|x| \leqslant \alpha^{-1}$范围中运动，因为振子在 $x= \pm \alpha^{-1}$ 处，其势能 $V=E_0$ ，即势能等于总能量，动能为零，经典粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在 $-\alpha^{-1}<x<\alpha^{-1}$ 内．可见，量子与经典情况完全不同！

此外，式（3．33）中所包含的 $\exp \left(-\xi^2 / 2\right)$ 是 $\xi=\alpha x$ 的偶函数，所以 $\psi_n$ 的宇称由厄米多项式 $\mathrm{H}_n(\xi)$ 的宇称决定。由于 $\mathrm{H}_n(\xi)$ 的最高次项是 $(2 \xi)^n$ ，当 $n$ 为偶数时，厄米多项式只含 $\xi$ 的偶次项（偶宇称）；当 $n$ 为奇数时，厄米多项式只含 $\xi$ 的奇次项（奇宇称）．所以，$\psi_n(x)$ 具有 $n$ 宇称，即波函数宇称的奇偶性由 $(-1)^n$ 决定。

图 3.12 为一维线性谐振子较低能级的波函数和概率密度分布，从中也可看出 $\psi_n(x)$ 具有 $n$ 宇称．

![图片](/uploads/2025-11/1ff20b.jpg)

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