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薛定谔方程应用-一维周期势场

7．一维周期势场
一维周期势场 $V(x)$ 具有如下特征：

$$
V(x+n a)=V(x), \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots
$$

在周期势场中运动的粒子，它的定态是非束缚态，其能谱具有新的特征——能带结构，是一种兼具连续谱和分立谱某些特征的能谱．它对理解固体的导电性能、固体发光等十分重要。

1）弗洛凯（Floquet）定理
设粒子能量本征方程的本征值为 $E$ ，两个线性无关的解为 $u_1(x)$ 和 $u_2(x)$ ，彼此正交归一。对于由式（3．36）描述的两端无限延伸的周期势场，$x$ 与 $x+a$ 两处应该是等价的。于是，$u_1(x+a)$ 和 $u_2(x+a)$ 也是能量本征函数，本征值为 $E$ ，因此有

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_1(x+a)=C_{11} u_1(x)+C_{12} u_2(x) \\
u_2(x+a)=C_{21} u_1(x)+C_{22} u_2(x)
\end{array}\right.
$$

可以证明：$u_1(x)$ 和 $u_2(x)$ 进行适当线性叠加后，总可以找到 $\psi_1(x) 、 \psi_2(x)$ 两个解．具有如下特征：

$$
\psi(x+a)=\lambda \psi(x), \quad \lambda \text { 为常数 }
$$

证 构造叠加态

$$
\psi(x)=A u_1(x)+B u_2(x)
$$

其中 $A 、 B$ 为待定常数．将上式代人式（3．37）和式（3．38）得

$$
\begin{aligned}
\psi(x+a) & =A u_1(x+a)+B u_2(x+a) \\
& =\left(A C_{11}+B C_{21}\right) u_1(x)+\left(A C_{12}+B C_{22}\right) u_2(x) \\
& =\lambda \psi(x)=\lambda\left[A u_1(x)+B u_2(x)\right]
\end{aligned}
$$

利用 $u_1(x)$ 和 $u_2(x)$ 的正交归一性，由上式得

$$
\begin{aligned}
& A C_{11}+B C_{21}=\lambda A \\
& A C_{12}+B C_{22}=\lambda B
\end{aligned}
$$

上式是关于 $A 、 B$ 的线性齐次方程组，它有非平庸解的充要条件为

$$
\left|\begin{array}{cc}
C_{11}-\lambda & C_{21} \\
C_{12} & C_{22}-\lambda
\end{array}\right|=0
$$

可求得关于 $\lambda$ 的两个根 $\lambda_1, \lambda_2$ ．由此可求得 $A$ 和 $B$ 的两组解，即得两个波函数 $\psi_1(x)$和 $\psi_2(x)$ ，它们满足式（3．38）．

推论 $\quad \psi(x+n a)=\lambda^n \psi(x), n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ 且必有 $|\lambda|=1$.
根据本章 3.1 节中的定理 3．4，若 $\psi_1(x)$ 和 $\psi_2(x)$ 均为能量本征方程属于同一能量 $E$ 的解，则 $\psi_1 \psi_2^{\prime}-\psi_2 \psi_1^{\prime}=C$ ，其中，$C$ 是与 $x$ 无关的常数．根据式（3．38），有

$$
\begin{aligned}
& \psi_1(x+a) \psi_2^{\prime}(x+a)-\psi_2(x+a) \psi_1^{\prime}(x+a) \\
= & \lambda_1 \lambda_2\left[\psi_1(x) \psi_2^{\prime}(x)-\psi_2(x) \psi_1^{\prime}(x)\right]=C
\end{aligned}
$$

所以要求 $\lambda_1 \lambda_2=1$ ，或 $\lambda_2=\lambda_1^*$ ．不妨取 $\lambda_1=\mathrm{e}^{\mathrm{i} K a}, \lambda_2=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} K a}, K$ 为实数，考虑到复指数函数的周期为 $2 \pi$ ，不妨把 $K a$ 限制在下列范围

$$
-\pi \leqslant K a \leqslant \pi \text { 或 }-\frac{\pi}{a} \leqslant K \leqslant \frac{\pi}{a}
$$

得弗洛凯定理
$$
\psi(x+a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} K a} \psi(x), \quad K \text { 为实数 }
$$

2）布洛赫（Bloch）定理
周期势场式（3．36）中，粒子的能量本征波函数 $\psi(x)$ 总满足

$$
\psi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} K x} \varphi_K(x), \quad \text { 且 } \varphi_K(x+a)=\varphi_K(x)
$$

式中，$K$ 为实数，亦称为布洛赫波数．
证 利用弗洛凯定理（3．39），代人式（3．40）得

$$
\begin{aligned}
& \text { 左边 }=\mathrm{e}^{\mathrm{i} K(x+a)} \varphi_K(x+a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} K a} \mathrm{e}^{\mathrm{i} K x} \varphi_K(x+a) \\
& \text { 右边 }=\mathrm{e}^{\

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