最后更新: 2025-11-11 16:37 查看: 68 次纠错评论(0) 课件开VIP

电子总角动量

为统一符号，在下面讨论中，大写字母的矢量符号 $\boldsymbol{S} 、 \boldsymbol{L} 、 \boldsymbol{J}$ 分别代表自旋、轨道和总角动量矢量算符，小箭头略去；$S$ 、 $L$ 、 $J$ 分别代表相应矢量的模；小写字母 $s 、 l 、 j 、 m_s 、 m_l 、 m_j$ 分别代表相应的量子数。电子轨道角动量 $\boldsymbol{L}$ 与自旋角动量 $\boldsymbol{S}$ 耦合成总角动量 $\boldsymbol{J}$ ，根据矢量量子化合成规则，有

$$
\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S}
$$

对于在中心力场中运动的电子，其总角动量及其 $z$ 分量算符的本征值应具有与式（5．22）、式（5．24）和式（6．1）相似的形式，即

$$
\begin{aligned}
|\boldsymbol{J}| & =\sqrt{j(j+1)} \hbar \\
J_z & =m_j \hbar
\end{aligned}
$$

其中，$j$ 是总角动量量子数，$m_j$ 是相应的磁量子数．在数学附录六中，证明了在中心力场中，$\left(\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{J}^2, \hat{J}_z\right)$ 构成守恒量完全集，它们具有共同本征函数 $\psi_{n l j m_j}$ ，给出了量子数 $j$ 和 $m_j$ 的取值．在此，采用简单比较法获得结论．根据式（6．25）和矢量量子化合成规则，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
J_z=L_z+S_z \\
m_j=m_l+m_s
\end{array}\right.
$$

例如，由式（5．22），若取 $l=1$ ，则 $m_l=0, \pm 1$ ；又由式（6．1），$s=1 / 2, m_s= \pm 1 / 2$ ．于是，根据式（6．27），将 $m_l+m_s=m_j$ 列表如下：

![图片](/uploads/2025-11/d38f8f.jpg)

将上表右边数据归类，若 $j=\frac{1}{2}$ ，则 $m_j=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ ，即数据组 $(*)$ ；若 $j=\frac{3}{2}$ ，则 $m_j=\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$ ，即数据组 $(* *)$ ．所以

$$
\begin{aligned}
& j=|l-s|=\left|l-\frac{1}{2}\right|, \quad j=l+s=l+\frac{1}{2} \\
& J_z=m_j \hbar, \quad m_j=j, \quad j-1, \cdots,-j+1,-j
\end{aligned}
$$

与式（5．22）类似，共有 $2 j+1$ 个 $m_j$ 值．
又如，$l=2, m_l=0, \pm 1, \pm 2, s=1 / 2, m_s= \pm 1 / 2, m_l+m_s=m_j$ ，则根据式 （6．27），列表如下：

![图片](/uploads/2025-11/ef58c2.jpg)
 
 将上表右边数据归类，若 $j=\frac{3}{2}$ ，则 $m_j=\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$ ，即数据组（\＃）；若 $j=\frac{5}{2}$ ，则 $m_j=\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2},-\frac{5}{2}$ ，即数据组（\＃\＃）．因此，获得同样结论

$$
\begin{aligned}
& j=\left|l-\frac{1}{2}\right|, \quad l+\frac{1}{2} \\
& J_z=m_j \hbar, \quad m_j=j, \quad j-1, \cdots,-j+1,-j
\end{aligned}
$$

与式（5．22）类似，共有 $2 j+1$ 个 $m_j$ 值．
例如，当 $l=1, s=\frac{1}{2}$ 时，$|\boldsymbol{L}|=\sqrt{1(1+1)} \hbar=\sqrt{2} \hbar,|\boldsymbol{S}|=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)} \hbar=\frac{\sqrt{3}}{2} \hbar$ 。
此时，若 $j=\left|l-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}, m_j=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ ，则 $\left|J_1\right|=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)} \hbar=\frac{\sqrt{3}}{2} \hbar, J_{1 z}= \pm \frac{1}{2} \hbar$ ；若 $j=l+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, m_j=\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$ ，则 $\left|J_2\right|=\sqrt{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right)} \hbar=\frac{\sqrt{15}}{2} \hbar, J_{2 z}= \pm \frac{1}{2} \hbar$ ， $\pm \frac{3}{2} \hbar$ 。如图 6.2 所示，当由式（6．25）将 $\boldsymbol{L}$ 和 $\boldsymbol{S}$ 耦合成总角动量 $\boldsymbol{J}$ 时，它们之间的夹角不是任意的．

![图片](/uploads/2025-11/abaf99.jpg)
 
 此外，根据上面求出的 $\left|J_1\right|$ 与 $J_{1 z} 、\left|J_2\right|$ 与 $J_{2 z}$ 两种情况，总角动量矢量取向以及在 $z$ 轴方向的投影值如图 6.3 所示，总角动量 $\boldsymbol{J}_1$ 和 $\boldsymbol{J}_2$ 不可能完全指向 $z$ 轴．
 例 6.3 证明 $\psi_{n l j m_j}$ 是 $\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{L}=\frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L}$ 的本征态。
证 因为 $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S}$ ，则 $\boldsymbol{J}^2=\boldsymbol{L}^2+\boldsymbol{S}^2+2 \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}^2+\frac{3}{4} \hbar^2+\hbar \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L}$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& \hbar \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L}=\left(\boldsymbol{J}^2-\boldsymbol{L}^2-\frac{3}{4} \hbar^2\right) \\
\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L} \psi_{n l j m_j}= & \frac{1}{\hbar}\left(\boldsymbol{J}^2-\boldsymbol{L}^2-\frac{3}{4} \hbar^2\right) \psi_{n l j m_j} \\
= & {\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right] \hbar \psi_{n l j m_j} } \\
= & \left\{\begin{array}{ll}
l \hbar \psi_{n l j m_j}, & j=l+1 / 2 \\
-(l+1) \hbar \psi_{n l j m_j}, & j=l-1 / 2
\end{array} \quad(l \neq 0)\right.
\end{aligned}
$$

其中利用了式（6．28）．所以 $\psi_{n l j m_j}$ 是 $\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{L}=\frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L}$ 的本征态，共有两个本征值．在此本征态中平均值为

$$
\langle\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L}\rangle=\left\{\begin{array}{l}
l \hbar, \quad j=l+1 / 2 \\
-(l+1) \hbar, \quad j=l-1 / 2 \quad(l \neq 0)
\end{array}\right.
$$
  ![图片](/uploads/2025-11/bd2e3a.jpg)

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