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单电子原子磁矩

1．电子轨道运动磁矩
先考察经典物理情况，如图 6.4 所示，一电子绕原子核转动．根据经典电磁学原理，电子轨道运动磁矩为 $\left|\boldsymbol{\mu}_l\right|=i A$ ，其中 $A$ 为轨道所围面积，电流 $i=-\frac{e}{T}$ ，电子质量为 $m_{\mathrm{e}}, T$ 为电子运动周期．

电子与核之间的相互作用为库仑

![图片](/uploads/2025-11/5b5717.jpg)
 
 力，是有心力，因此，角动量 $\boldsymbol{L}$ 守恒，则根据图 6.4 可知， $\mathrm{d} \varphi$ 所造成的小三角形面积为 $\mathrm{d} A=\frac{1}{2} r^2 \mathrm{~d} \varphi$ ，电流围成的总面积为

$$
A=\int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} r^2 \mathrm{~d} \varphi=\int_0^T \int \frac{1}{2 m_{\mathrm{e}}}\left(m_{\mathrm{e}} r^2 \frac{\mathrm{~d} \varphi}{\mathrm{~d} t}\right) \mathrm{d} t=\frac{T}{2 m_{\mathrm{e}}}|\boldsymbol{L}|
$$

上式括弧中的三项乘积即为常数 $\boldsymbol{L}$ ，可移出积分外。所以，采用矢量表示为

$$
\boldsymbol{\mu}_l=-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} \boldsymbol{L}
$$

上式与第 5 章由氢原子薛定谔方程求解得到的结果式（5．38）在形式上一致，即轨道磁矩正比于轨道角动量．

此外，在有心力场中，轨道角动量量子化条件为式（5．22）和式（5．24），即

$$
\begin{aligned}
& |\boldsymbol{L}|=\sqrt{l(l+1)} \hbar, \quad l=0,1,2, \cdots \\
& L_z=m_l \hbar, \quad m_l=0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm l
\end{aligned}
$$

于是得轨道磁矩

$$
\begin{aligned}
& \mu_l=-\sqrt{l(l+1)} \frac{e \hbar}{2 m_{\mathrm{e}}}=-\sqrt{l(l+1)} \mu_{\mathrm{B}} \\
& \mu_{l z}=-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} L_z=-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} m_l \hbar=-m_l \mu_{\mathrm{B}}, \quad m_l=0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm l
\end{aligned}
$$

其中，玻尔磁子

$$
\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e \hbar}{2 m_{\mathrm{e}}}=0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{T}=0.5788 \times 10^{-4} \mathrm{eV} / \mathrm{T}
$$

2．电子自旋磁矩
如上所述，自旋是一种相对论效应，电子自旋磁矩很难像轨道磁矩那样求得．因此，可仿效轨道磁矩的形式，假设电子自旋磁矩 $\boldsymbol{\mu}_s$ 正比于自旋角动量 $\boldsymbol{S}$ ，自旋磁矩及其在 $z$ 轴方向的分量分别为

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mu}_s=-g_s \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} \boldsymbol{S}, \quad \mu_s=-\sqrt{s(s+1)} g_s \mu_{\mathrm{B}} \\
& \mu_{s z}=-g_s \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} S_z=-m_s g_s \mu_{\mathrm{B}}
\end{aligned}
$$

其中的负号代表磁矩方向与自旋角动量方向相反；$g_s$ 称为朗德因子，是为了区别于轨道磁矩与轨道角动量之间的关系而设的一个常数，其值可由实验测定。目前的实验测得

$$
g_s=2.002319304386 \pm 0.000000000008 \approx 2
$$

因此，电子自旋磁矩及其在 $z$ 轴方向的分量具有非常简单的形式，分别为

$$
\begin{aligned}
& \mu_s=-\sqrt{3} \mu_{\mathrm{B}} \\
& \mu_{s z}=\mp \mu_{\mathrm{B}}
\end{aligned}
$$

为统一形式，对于轨道磁矩，可定义在式（6．32）中也有朗德因子 $g_l=1$ 。
3．单电子原子总磁矩——矢量量子化合成
矢量合成符合平行四边形定则。由于电子带负电，电子的轨道角动量 $\boldsymbol{L}$ 与轨道磁矩 $\boldsymbol{\mu}_l$ 反向，电子的自旋角动量 $\boldsymbol{S}$ 与自旋磁矩 $\boldsymbol{\mu}_s$ 也反向。由于 $g_l=1, g_s=2$ ，它们合成的磁矩 $\boldsymbol{\mu}$ 并不在总角动量 $\boldsymbol{J}$ 的延长线上，而是有一夹角。由于 $\boldsymbol{\mu}$ 绕 $\boldsymbol{J}$ 的延长线进动，其平均值才是总磁矩的实验测量值 $\boldsymbol{\mu}_j$ ．

从图6．5可知， $\boldsymbol{\mu}_l$ 和 $\boldsymbol{\mu}_s$ 在 $\boldsymbol{J}$ 的延长线上的投影之和即为 $\boldsymbol{\mu}_j$ 值，所以

$$
\begin{aligned}
\mu_j & =\mu_l \cos (\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})+\mu_s \cos (\boldsymbol{S}, \boldsymbol{J}) \\
& =-[L \cos (\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})+2 S \cos (\boldsymbol{S}, \boldsymbol{J})] \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-11/444491.jpg)
 
 $$
\begin{aligned}
\mu_j & =\mu_l \cos (\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})+\mu_s \cos (\boldsymbol{S}, \boldsymbol{J}) \\
& =-[L \cos (\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})+2 S \cos (\boldsymbol{S}, \boldsymbol{J})] \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}}
\end{aligned}
$$

其中，$(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})$ 和 $(\boldsymbol{S}, \boldsymbol{J})$ 分别代表 $\boldsymbol{\mu}_l 、 \boldsymbol{\mu}_j$ 和 $\boldsymbol{\mu}_s 、 \boldsymbol{\mu}_j$ 之间 的夹角．根据余弦定理，得 $S^2=L^2+J^2-2 L J \cos (\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})$ ，
所以 $\cos (\boldsymbol{L}, \boldsymbol{J})=\frac{L^2+J^2-S^2}{2 L J}$ ；同理我们得到 $\cos (\boldsymbol{S}, \boldsymbol{J})=\frac{S^2+J^2-L^2}{2 S J}$ ，于是在中心力场中，得

$$
\begin{aligned}
\mu_j & =-\left(\frac{J^2+L^2-S^2}{2 J^2}+\frac{J^2-L^2+S^2}{J^2}\right) \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} J \\
& =-\left(1+\frac{J^2-L^2+S^2}{2 J^2}\right) \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} J \\
& =-\left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)}\right] \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} J \\
& \equiv-g_j \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} J
\end{aligned}
$$

其中，总角动量朗德因子 $g_j=1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2 j(j+1)}$ ．于是，实验可测得的总磁矩及其 $z$ 分量表达式为

$$
\boldsymbol{\mu}_j=-g_j \frac{e}{2 m_e} \boldsymbol{J}, \quad \mu_j=-\sqrt{j(j+1)} g_j \mu_{\mathrm{B}}
$$

$$
\begin{gathered}
\mu_{j_z}=-g_j \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} J_z, \quad \mu_{j_z}=-m_j g_j \mu_{\mathrm{B}} \\
j=l+s, l+s-1, \cdots,|l-s|=l+\frac{1}{2},\left|l-\frac{1}{2}\right| ; \quad m_j=j, j-1, \cdots,-j+1,-j
\end{gathered}
$$

其中，$m_j$ 共有 $(2 j+1)$ 个取值．在量子物理学中，式（6．37）
4．外磁场对原子的作用
设某原子具有磁矩 $\boldsymbol{\mu}$ ，在均匀磁场 $\boldsymbol{B}$ 中，相互夹角为 $\theta$ ，受到的力矩作用为

$$
\tau=\mu \times B
$$

其所具有的势能等于力矩所做的功，为

$$
U=\int_{\pi / 2}^\theta \tau \mathrm{d} \theta=\int_{\pi / 2}^\theta \mu B \sin \theta \mathrm{~d} \theta=-\mu B \cos \theta=-\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B}
$$

其中假设 $\theta=\pi / 2$ 时势能为零。因此，加人沿 $z$ 轴方向磁场后，总磁矩产生附加能量

$$
\Delta E=U=-\boldsymbol{\mu}_j \cdot \boldsymbol{B}=-\mu_j B \cos \theta=-\mu_{j_z} B=m_j g_j \mu_{\mathrm{B}} B
$$

若将力矩看成广义力，则

$$
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}_j \times \boldsymbol{B}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{J}}{\mathrm{~d} t}
$$

此力矩垂直于角动量 $\boldsymbol{J}$ ，将改变 $\boldsymbol{J}$ 的方向，但大小不变．于是总磁矩将产生进动，
称之为拉莫尔进动，如图 6.6 所示．

从图可知， $\mathrm{d} J=J \sin \theta \mathrm{~d} \varphi$ ，所以，拉莫尔进动的角速度为

$$
\omega_j=\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{J \sin \theta} \frac{\mathrm{~d} J}{\mathrm{~d} t}
$$

利用式（6．40），得

$$
\omega_j=\frac{\mu_j B \sin \theta}{J \sin \theta}=\frac{\mu_j B}{J}=-g_j \frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} B
$$

当 $s=0, j=l$ 时，得 $g_j=1$ ，则 $\omega_j=-\frac{e}{2 m_{\mathrm{e}}} B$ ．

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