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施特恩－格拉赫实验

6.5 施特恩－格拉赫实验

设有一沿 $z$ 轴方向的非均匀外磁场 $\boldsymbol{B}, \frac{\partial B}{\partial z} \neq 0$ 且是一常数．磁场中有一磁矩为 $\boldsymbol{\mu}_j$ 的原子，利用式（6．38），其受到的力等于势能沿 $z$ 轴方向的梯度

$$
\begin{aligned}
F & =-\frac{\partial U}{\partial z} \\
& =-\frac{\partial}{\partial z}\left(-\mu_j B \cos \theta\right)=\mu_{j z} \frac{\partial B}{\partial z}=-m_j g_j \mu_B \frac{\partial B}{\partial z}
\end{aligned}
$$

因为 $m_j$ 有 $2 j+1$ 个取值，故该原子应受到 $2 j+1$ 种可能的不同作用力．这一理论预言由施特恩－格拉赫（Stern－Gerlach）实验（1922年）所证实，如图 6.7 所示．

![图片](/uploads/2025-11/ca7241.jpg)
 
 从温度为 $T$ 的原子炉中飞出原子，其动能满足 $\frac{1}{2} M_{\mathrm{A}} v_x^2=\frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T$ ，其中 $M_{\mathrm{A}}$ 为原子的质量。由此可得其沿 $x$ 方向的速度 $v_x$ ，即原子在 $x$ 方向为匀速运动。在 $z$轴方向，原子经准直后进入非均匀磁场，在 $z$ 轴方向受到力的作用，即式（6．42），于是沿 $z$ 轴方向做匀加速运动，移动 $z_1$ ；离开磁场后，因原子在 $z$ 方向已有一速度，故随后它沿 $z$ 轴方向做匀速运动，再移动 $z_2$ ．所以，在 $z$ 轴方向总偏转为

$$
\begin{aligned}
Z & =z_1+z_2=\frac{1}{2} a_z t_1^2+v_z t_2 \\
& =\frac{1}{2} \frac{F_z}{M_{\mathrm{A}}}\left(\frac{L_1}{v_x}\right)^2+\frac{F_z}{M_{\mathrm{A}}} \cdot \frac{L_1}{v_x} \cdot \frac{L_2}{v_x}=F_z L_1\left(\frac{L_1}{2}+L_2\right) /\left(M_{\mathrm{A}} v_x^2\right) \\
& =-m_j g_j \mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial B}{\partial z} L_1\left(\frac{L_1}{2}+L_2\right) /\left(3 k_{\mathrm{B}} T\right)
\end{aligned}
$$

其中，原子受力 $M_{\mathrm{A}} a_z=F_z=-m_j g_j \mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial B}{\partial z}, m_j=j, j-1, \cdots,-j$ ，共 $(2 j+1)$ 个值，即在图 6.7 右面的胶片上可看到 $2 j+1$ 束原子束线的痕迹。

对于图6．7中的银原子束，它们处于状态 ${ }^2 \mathrm{~S}_{1 / 2}$（详见第7章），故得 $l=0, j=s=\frac{1}{2}, m_j= \pm 1 / 2$ ，因此得 $g_j=g_s=2$ 。在 $z$ 轴方向，银原子总磁矩有向
上 $\left(m_j=1 / 2\right)$ 或向下 $\left(m_j=-1 / 2\right)$ 两种取向，所以银原子受到一上一下两种力

$$
F_z=-m_j g_j \mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial B}{\partial z}=-\left( \pm \frac{1}{2}\right) 2 \mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial B}{\partial z}=\mp \mu_B \frac{\partial B}{\partial z}
$$

因此银原子在 $z$ 方向的总偏转为

$$
Z=z_1+z_2=\mp \mu_{\mathrm{B}} \frac{\partial B}{\partial z} L_1\left(\frac{L_1}{2}+L_2\right) /\left(3 k_{\mathrm{B}} T\right)
$$

于是，在图 6.7 右边的胶片上可看到两束银原子的痕迹．此实验首次直接证明了原子在外场中的取向量子化．

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