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球方势阱

＊5．7 球方势阱

球方势阱也是典型的中心力场问题，它与核模型等问题等有关．求解此类问题时，边界条件的设定与一维方势阱情况类似。

1．无限深球方势阱
粒子束缚在半径为 $a$ 的球形匣子中运动，势阱为

$$
V(r)=\left\{\begin{array}{lr}
0, & r \leqslant a \\
\infty, & r>a
\end{array}\right.
$$

本征值方程为

$$
\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+V(r)\right] \psi=E \psi
$$

当 $r \leqslant a$ 时，将波函数分离变量，即 $\psi(r, \theta, \varphi)=R_l(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$ ，其中 $\mathrm{Y}_{l m}$ 为球谐函数，已有标准解。这里只讨论径向波函数 $R_l(r)$ 的求解问题，根据式（5．27），它满足方程

$$
\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu}\left(\frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{~d} r^2}+\frac{2}{r} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\right)+\frac{l(l+1) \hbar^2}{2 \mu r^2}+V(r)\right] R_l=E R_l
$$

令 $R_l=u_l(\rho) / \sqrt{\rho}, \rho=k r, k=\sqrt{2 \mu E} / \hbar$ ，得

$$
\frac{\mathrm{d}^2 u_l}{\mathrm{~d} \rho^2}+\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{~d} u_l}{\mathrm{~d} \rho}+\left[1-\frac{(l+1 / 2)^2}{\rho^2}\right] u_l=0, \quad r \leqslant a
$$

式（5．61）是半奇数（ $l+1 / 2$ ）阶贝塞尔（Bessel）方程（ $l=1,2, \cdots$ ），它的两个线性无关解分别表示为 $\mathrm{J}_{l+1 / 2}(\rho)$ 和 $\mathrm{J}_{-l-1 / 2}(\rho)$ ，于是得两个解为

$$
R_l \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}} \mathrm{~J}_{l+1 / 2}(\rho), \frac{1}{\sqrt{\rho}} \mathrm{~J}_{-l-1 / 2}(\rho)
$$

根据束缚态边界条件，球外波函数为零，故有 $\left.R_l\right|_{r \rightarrow a}=0,\left.R_l\right|_{r \rightarrow 0}=$ 有限值，则粒子能量本征值为

$$
E_{n_r l}=\frac{\hbar^2}{2 \mu a^2} x_{n_l l}^2, \quad n_r=0,1,2, \cdots
$$
$x_{n_r l}$ 是球贝塞尔函数 $\mathrm{j}_l(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}} \mathrm{~J}_{l+1 / 2}(x)=0$ 的根，可见能量为分立值，依赖于角量子数 $l$ 和径向量子数 $n_r$ ．对于给定的 $l$ ，能量随 $n_r$ 的增大而单调增大．类似地，对于给定的 $n_r$ ，能量随 $l$ 的增大而单调增大 ${ }^{(1)}$ 。

2．有限深球方势阱
对于有限深球方势阱，其形式为 $V(r)=\left\{\begin{array}{l}0, r \leqslant a \\ V_0, r>a\end{array}\right.$ ，考虑束缚态情况，即 $E<V_0$ ．令 $k=\sqrt{2 \mu E} / \hbar, k^{\prime}=\sqrt{2 \mu\left(V_0-E\right)} / \hbar$ ，根据式（5．27），径向波函数 $R(r)$满足

$$
\begin{gathered}
R_l^{\prime \prime}+\frac{2}{r} R_l^{\prime}+\left[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R_l=0, \quad r \leqslant a \\
R_l^{\prime \prime}+\frac{2}{r} R_l^{\prime}+\left[\left(\mathrm{i} k^{\prime}\right)^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R_l=0, \quad r>a
\end{gathered}
$$

当 $r=0$ 时波函数有限，式（5．63）取球贝塞尔函数的解

$$
R_l(r)=A_{k l} \mathrm{j}_l(k r), \quad r < a
$$

其中，$A_{k l}$ 为归一化常数．

在 $r>a$ 区域，需要保证 $r \rightarrow \infty$ 波函数等于零，式（5．64）的解为虚宗量球汉克尔（Hankel）函数

$$
R_l(r)=B_{k^{\prime}} \mathrm{h}_l\left(\mathrm{i} k^{\prime} r\right), \quad r>a
$$

其中 $B_{k^{\prime}}$ 为归一化常数，可根据在 $r=a$ 处波函数及其导数连续性，以及全空间归一化条件得出 ${ }^{(1)}$ 。

此外，利用 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(\ln R_l\right)$ 在 $r=a$ 处连续，可求得能量本征值．能量本征值 $E_{n_r l}=E_{n_r l}\left(a, V_0\right)$ ，当 $V_0 \rightarrow \infty$ 时，与上述无限深球方势阱的结果相同；当 $V_0$ 为有限值时，可数值解，仅有较低的若干条束缚能级存在．可以证明：至少存在一个束缚态的条件为

$$
V_0 a^2 \geqslant \frac{\pi^2 \hbar^2}{8 \mu}
$$

因此，若势阱过窄或过浅，就不存在束缚态解．

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