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三维各向同性谐振子

＊5．6 三维各向同性谐振子

在第3章，我们求解了一维线性谐振子的定态薛定谔方程，获得了非常重要的诸多结果。这些结果不仅对该问题本身十分重要，而且也为解决其他问题提供了有效途径．三维各向同性谐振子是一个中心力势场问题，体系的哈密顿量为

$$
\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2
$$

其能量本征方程为

$$
\left(-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2\right) \psi=E \psi
$$

其中，$\mu$ 是质量，$\omega$ 是角频率．将波函数分离变量，令 $\psi(r, \theta, \varphi)=R(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$ ，由于该体系势能是中心力势场，故其角向波函数即为球谐函数 $\mathrm{Y}_{l m}$ ，它是角动量平方和角动量 $z$ 分量的共同本征函数，即式（5．24），具有普适性．下面只讨论径向方程．

根据式（5．27），分离变量后的径向方程为

$$
R^{\prime \prime}+\frac{2}{r} R^{\prime}+\left[\frac{2 \mu}{\hbar^2}\left(E-\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R=0
$$

令 $\kappa^2=2 \mu E / \hbar^2, \alpha^2=\frac{\mu \omega}{\hbar}$ ，上式简化为

$$
R^{\prime \prime}+\frac{2}{r} R^{\prime}+\left[\kappa^2-\alpha^4 r^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R=0
$$

为求解此方程，令该方程的一般解为

$$
R(r)=r^l \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \alpha^2 r^2} u(r)
$$

则式（5．53）简化为

$$
\zeta \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{~d} \zeta^2}+[(l+3 / 2)-\zeta] \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} \zeta}+\left(\frac{s}{2}-\frac{l+3 / 2}{2}\right) u=0
$$

其中 $\zeta=\alpha^2 r^2, s=\kappa^2 / 2 \alpha^2=\frac{2 \mu E}{\hbar^2} \cdot \frac{\hbar}{2 \mu \omega}=E /(\hbar \omega)$ 。式（5．54）称为合流超几何方程，其中 $\gamma=l+3 / 2 \neq$ 整数，$l=0,1,2, \cdots, \alpha=\frac{1}{2}(l+3 / 2-s)$ ．该方程在物理体系中允许的解为 ${ }^{(1)}$
$$
u \propto \mathrm{~F}(\alpha, \gamma, \zeta)=\mathrm{F}[(l+3 / 2-s) / 2, \quad l+3 / 2, \quad \zeta]
$$

式中的 $\mathrm{F}(\alpha, \gamma, \zeta)$ 称为合流超几何函数。为了使 $\zeta \rightarrow \infty$ 时波函数有限，必须要求无穷级数解中断，这就要求 $\alpha=0$ 或负整数，即

$$
\alpha=\frac{1}{2}(l+3 / 2-s)=-n_r, \quad n_r=0,1,2, \cdots
$$

即 $s=2 n_r+l+3 / 2$ ．由此可求出三维各向同性谐振子的能量本征值为

$$
\begin{gathered}
E=E_{n_r l}=\left(2 n_r+l+3 / 2\right) \hbar \omega, \quad n_r, \quad l=0,1,2, \cdots \\
E=E_N=(N+3 / 2) \hbar \omega
\end{gathered}
$$

其中，$N=0,1,2, \cdots ; l=N-2 n_r=\left\{\begin{array}{r}0,2, \cdots, N(N \text { 偶 }) \\ 1,3, \cdots, N(\text { 奇 })\end{array}\right.$ 。
于是，（ $\hat{H}, L^2, L_z$ ）的共同本征函数为 $\psi_{n_r l m}(r, \theta, \varphi)=R_{n_r l}(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$ ．经归一化后，径向波函数为
$$
R_{n_r l}(r)=\alpha^{3 / 2}\left[\frac{2^{l+2-n_r}\left(2 l+2 n_r+1\right)!!}{\sqrt{\pi} n_{r}![(2 l+1)!!]^2}\right]^{1 / 2}(\alpha r)^l \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \alpha^2 r^2} \mathrm{~F}\left(-n_r, l+3 / 2, \alpha^2 r^2\right)
$$

满足归一化条件

$$
\int_0^{\infty}\left|R_{n, l}(r)\right|^2 r^2 \mathrm{~d} r=1
$$

根据上述求解，三维各向同性谐振子有如下特征。
（1）能级等间距分布：谐振子能级（包括一维、二维和三维）的最突出特征是均匀分布，各相邻能级间距为 $\omega \hbar$ 。此外，该谐振子零点能为 $\frac{3}{2} \hbar \omega$ 。
（2）三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独立的一维谐振子，角频率 $\omega$ 相同。因为 $r^2=x^2+y^2+z^2$ ，故可将三维谐振子哈密顿量改写为三个一维谐振子哈密顿量之和，即

$$
\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2=\hat{H}_x+\hat{H}_y+\hat{H}_z
$$

其中，$\hat{H}_x=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_x^2+\frac{1}{2} \mu \omega^2 x^2$ 等。因此，求解薛定谔方程时，可选 $\left(\hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z\right)$为守恒量完备集，其共同本征态可分离变量为三个一维谐振子波函数之积

$$
\Phi_{n_x n_y n_z}(x, y, z)=\varphi_{n_x}(x) \varphi_{n_y}(y) \varphi_{n_z}(z), \quad n_x, n_y, n_z=0,1,2, \cdots
$$

相应的能量为三个一维谐振子的能量之和，即

$$
\begin{aligned}
& E_{n_x n_y n_z}=\left(n_x+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega+\left(n_y+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega+\left(n_z+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega=(N+3 / 2) \hbar \omega \\
& N=n_x+n_y+n_z=0,1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

与式（5．56）结果一致．
（3）简并度：对三维各向同性谐振子，式（5．56）和式（5．59）所表示的能级 $E_N$ 的简并度可计算如下：对于给定 $N=n_x+n_y+n_z, n_x$ 和 $n_y+n_z$ 的各自取值以及 $\left(n_y, n_z\right)$的可能取值数 $n_i$ 分别为

$$
\begin{array}{lcccccc}
n_x= & 0, & 1, & 2, & \cdots, & N-1, & N \\
n_y+n_z= & N, & N-1, & N-2, & \cdots, & 1, & 0 \\
n_i= & N+1, & N, & N-1, & \cdots, & 2, & 1
\end{array}
$$

将所有的 $n_i$ 值求和即为简并度数

$$
f_N=1+2+\cdots+N+(N+1)=\frac{1}{2}(N+1)(N+2)
$$

从上述分析可知，波函数 $\psi(r, \theta, \varphi)$ 和 $\Phi_{n_x n_y n_z}(x, y, z)$ 分别是三维各向同性谐振子的两种不同基矢，前者是 $\left(\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{L}_z\right)$ 的共同本征函数，后者是 $\left(\hat{H}_x, \hat{H}_y, \hat{H}_z\right)$ 的共同本征函数．基矢选择不同，相互之间通过么正变换相联系，但么正变换不改变本征能量值，也不改变能量简并度．

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