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三维各向同性谐振子

＊5．6 三维各向同性谐振子

在第3章，我们求解了一维线性谐振子的定态薛定谔方程，获得了非常重要的诸多结果。这些结果不仅对该问题本身十分重要，而且也为解决其他问题提供了有效途径．三维各向同性谐振子是一个中心力势场问题，体系的哈密顿量为

$$
\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2
$$

其能量本征方程为

$$
\left(-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2\right) \psi=E \psi
$$

其中，$\mu$ 是质量，$\omega$ 是角频率．将波函数分离变量，令 $\psi(r, \theta, \varphi)=R(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$ ，由于该体系势能是中心力势场，故其角向波函数即为球谐函数 $\mathrm{Y}_{l m}$ ，它是角动量平方和角动量 $z$ 分量的共同本征函数，即式（5．24），具有普适性．下面只讨论径向方程．

根据式（5．27），分离变量后的径向方程为

$$
R^{\prime \prime}+\frac{2}{r} R^{\prime}+\left[\frac{2 \mu}{\hbar^2}\left(E-\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R=0
$$

令 $\kappa^2=2 \mu E / \hbar^2, \alpha^2=\frac{\mu \omega}{\hbar}$ ，上式简化为

$$
R^{\prime \prime}+\frac{2}{r} R^{\prime}+\left[\kappa^2-\alpha^4 r^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right] R=0
$$

为求解此方程，令该方程的一般解为

$$
R(r)=r^l \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \alpha^2 r^2} u(r)
$$

则式（5．53）简化为

$$
\zeta \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{~d} \zeta^2}+[(l+3 / 2)-\zeta] \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} \zeta}+\left(\frac{s}{2}-\frac{l+3 / 2}{2}\right) u=0
$$

其中 $\zeta=\alpha^2 r^2, s=\kappa^2 / 2 \alpha^2=\frac{2 \mu E}{\hbar^2} \cdot \frac{\hba

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