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HF 定理和位力定理

5．5 HF 定理和位力定理
在第4章中曾提到，关于各种力学量在某一本征态中的平均值计算，需要知道该本征态波函数的具体形式。一般而言，此类计算相当烦琐。下面介绍的 HF 定理和位力定理，涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数的变化规律，在一些
特定情况（例如有心力场等）下，可以绕开采用波函数求积分环节，比较简单地求得诸多力学量的平均值，或获得其他信息。

1．赫尔曼－费恩曼（Hellmann－Feynman，HF）定理
设体系哈密顿量 $\hat{H}$ 中含有某个参量 $\lambda, E_n$ 为 $\hat{H}$ 的某一本征值，相应的归一化本征函数（束缚态）为 $\psi_n$（ $n$ 为一组完备量子数），则

$$
\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\left(\psi_n, \frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda} \psi_n\right) \equiv\left\langle\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}\right\rangle_n
$$

上式中的角括弧代表求平均．
证 设本征方程 $\hat{H} \psi_n=E_n \psi_n$ ，对 $\lambda$ 求导数，得

$$
\left(\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}\right) \psi_n+\hat{H} \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}=\left(\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}\right) \psi_n+E_n \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}
$$

将上式左乘 $\psi_n^*$ ，取标积得

$$
\left(\psi_n,\left(\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}\right) \psi_n\right)+\left(\psi_n, \hat{H} \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}\right)=\left(\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}\right)\left(\psi_n, \psi_n\right)+E_n\left(\psi_n, \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}\right)
$$

利用 $\hat{H}$ 算符的厄米性得

$$
\left(\psi_n, \hat{H} \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}\right)=\left(\hat{H} \psi_n, \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}\right)=E_n\left(\psi_n, \frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}\right)
$$

因为束缚态，可归一化 $\left(\psi_n, \psi_n\right)=1$ ，于是得

$$
\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\left(\psi_n, \frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda} \psi_n\right) \equiv\left\langle\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}\right\rangle_n
$$

2．位力（virial）定理
在坐标表象中，$\hat{H}=\hat{T}+V=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2+V(\boldsymbol{r})$ ，取 $\hbar$ 为参量，有

$$
\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hbar}=-\frac{\hbar}{\mu} \nabla^2=\frac{2}{\hbar} \frac{\hat{p}^2}{2 \mu}
$$

利用 HF 定理，得

$$
\frac{\partial E_n}{\partial \hbar}=\left\langle\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hbar}\right\rangle=\frac{2}{\hbar}\left\langle\frac{\hat{p}^2}{2 \mu}\right\rangle=\frac{2}{\hbar}\langle\hat{T}\rangle
$$

在动量表象中，式（4．57）给出 $\boldsymbol{r}=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{p}}$ ，于是 $\hat{H}=\frac{p^2}{2 \mu}+V\left(\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{p}}\right)$ 。所以

$$
\begin{gathered}
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\

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