最后更新: 2025-11-11 19:46 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

氢原子中的电流和磁矩

1．电流密度
设氢原子处于定态，波函数为 $\psi_{n l m}=R_{n l}(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$ ，电子在原子内部运动形成电流．根据概率流密度 $\boldsymbol{J}$ 公式（2．23），电流密度为

$$
\boldsymbol{J}_{\mathrm{e}}=-e \boldsymbol{J}=-e \frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \mu}\left(\psi_{n l m} \nabla \psi_{n l m}^*-\psi_{n l m}^* \nabla \psi_{n l m}\right)
$$

在球坐标中，梯度表达式为（见数学附录五）

$$
\nabla=\boldsymbol{r}^0 \frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\theta}^0 \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}+\boldsymbol{\varphi}^0 \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}
$$

则

$$
\boldsymbol{J}_{\mathrm{e}}=j_r r^0+j_\theta \boldsymbol{\theta}^0+j_{\varphi} \boldsymbol{\varphi}^0
$$

在波函数 $\psi_{n l m}$ 中，由于与 $r$ 有关的径向波函数 $R_{n l}(r)$ 和与 $\theta$ 有关的连带勒让德多项式 $\mathrm{P}_l^m(\cos \theta)$ 均为实函数，所以代人上式后必然有 $j_r=j_\theta=0$ 。球谐函数式（5．23）中，与角度 $\varphi$ 有关的波函数部分为复指数，利用公式 $\frac{\partial}{\partial \varphi} \mathrm{e}^{ \pm \mathrm{i} m \varphi}= \pm \mathrm{i} m \mathrm{e}^{ \pm \mathrm{i} m \varphi}$ ，绕 $z$ 轴的环电流密度 $j_{\varphi}$ 是电流密度的 $\varphi^0$ 向分量，为

$$
\begin{aligned}
j_{\varphi} & =\frac{\mathrm{i} e \hbar}{2 \mu} \frac{1}{r \sin \theta}\left[\psi_{n l m}^* \frac{\partial}{\partial \varphi} \psi_{n l m}-\psi_{n l m} \frac{\partial}{\partial \varphi} \psi_{n l m}^*\right] \\
& =-\frac{e m \hbar}{\mu} \frac{1}{r \sin \theta}\left|\psi_{n l m}\right|^2
\end{aligned}
$$

最后得

$$
\boldsymbol{J}_{\mathrm{e}}=j_{\varphi} \boldsymbol{\varphi}^0
$$

2．轨道磁矩

![图片](/uploads/2025-11/d8d308.jpg)
 
如图5．5所示，设绕 $z$ 轴的环电流密度为 $j_{\varphi}$ ，通过截面元 $\mathrm{d} \sigma=r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} r$ 的电流元为 $\mathrm{d} I=j_{\varphi} \mathrm{d} \sigma$ ，对磁矩的贡献为 $S \mathrm{~d} I$ ，其中圆面积 $S=\pi(r \sin \theta)^2$ 。于是，将式（5．36）代人，则沿 $z$ 轴方向的总磁矩为

$$
\begin{aligned}
\mu_z & =\int S \mathrm{~d} I=\int \pi r^2 \sin ^2 \theta \cdot j_{\varphi} \mathrm{d} \sigma \\
& =-\frac{e \hbar}{2 \mu} m \int\left|\psi_{n l m}\right|^2 2 \pi r \sin \theta \mathrm{~d} \sigma \\
& =-\mu_{\mathrm{B}} m \int\left|\psi_{n l m}\right|^2 2 \pi r \sin \theta r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} r \\
& =-\mu_{\mathrm{B}} m \int\left|\psi_{n l m}\right|^2 \mathrm{~d} \tau=-\mu_{\mathrm{B}} m
\end{aligned}
$$

其中，$m$ 为磁量子数，$\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e \hbar}{2 \mu}$ 为玻尔磁子．上式最后一步利用了波函数的归一化条件．
由式（5．37）可知，氢原子沿 $z$ 轴方向总磁矩与 $m$ 有关，这就是把 $m$ 称为磁量子数的理由．对 $s$ 态，$l=0$ ，则 $m=0$ ，此时磁矩 $\mu_z=0$ ，这是由于电流为零的缘故．

为了区分电子轨道磁矩和自旋磁矩量子数，以后常将式（5．24）～式（5．37）中的轨道磁量子数 $m$ 改写为 $m_l$ ，自旋磁量子数写为 $m_s$（见第6章）。此外，根据式（5．24）， $m_l \hbar$ 是轨道角动量 $z$ 分量算符 $\hat{L}_z$ 的本征值，故有

$$
\mu_z=-\frac{e}{2 \mu} m_l \hbar=-\frac{e}{2 \mu} L_z
$$

由于原子极轴 $z$ 方向是任意选取的，故上式代表的轨道磁矩为

$$
\boldsymbol{\mu}_l=-\frac{e}{2 \mu} \boldsymbol{L}
$$

于是得到重要结论：电子轨道磁矩与轨道角动量成正比．

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