最后更新: 2025-11-11 20:40 查看: 42 次纠错评论(0) 课件开VIP

光的辐射与吸收

在光的照射下，原子可能吸收其中光子而从较低能级跃迁到较高能级；如果受外来光子的诱导，原子从高能级向低能级跃迁，就会放出光子．这两个过程分别称为光的吸收和受激辐射。若原子处于较高能级（激发态），即使没有外界光照射，也有一定概率跃迁到较低能级而发射光子，这种现象称为自发辐射。

光的吸收与辐射现象涉及光子的产生与湮灭，严格求解需要采用量子电动力学方法，将电磁场量子化，光子即电磁场量子．但对于光的吸收和受激辐射，可采用半经典方法处理，即对于原子体系，采用量子物理学处理；对于光，则采用经典理论处理，即把外来光看成是电磁波。此种简化模型可解释光吸收和受激辐射，但不能用来解释自发辐射。早在量子力学与量子电动力学建立之前的 1917年，爱因斯坦基于热力学和统计物理学中的相关原理，回避了光子的产生与湮灭问题，巧妙地阐述了原子自发辐射现象。

1．光的吸收与受激辐射
采用电磁波描述外来光波，其电场 $\boldsymbol{E}$ 和磁场 $\boldsymbol{B}$ 分别为

$$
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_0 \exp [\mathrm{i}(\omega t-\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})], \quad \boldsymbol{B}=\frac{1}{\omega} \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{E}
$$

其中， $\boldsymbol{E}_0$ 是电矢量的振幅，$\omega$ 是角频率， $\boldsymbol{k}$ 是波矢。由上式可知，就绝对值而言，真空中 $B=E / c$ ．当光波照射时，电场和磁场对原子中电子的作用分别为

$$
\begin{gathered}
U_E=e \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{r} \approx e E a_0 \\
U_B=-\boldsymbol{\mu}_l \cdot \boldsymbol{B}=-\frac{-e}{2 \mu} L_z B=\frac{e}{2 \mu c} m_l \hbar E
\end{gathered}
$$

其中，$\mu_l$ 为轨道磁矩，$a_0=4 \pi \varepsilon_0 \frac{\hbar^2}{\mu e^2}$ 是玻尔半径，$\mu$ 为电子的折合质量．二者之比为

$$
\frac{U_B}{U_E} \approx \frac{e}{2 \mu c} m_l \hbar E /\left(e E a_0\right)=\frac{m_l}{2} \alpha \sim \alpha
$$

其中，精细结构常数 $\alpha=\frac{1}{137}$ ．所以，与光波中的电场相比，磁场的作用要小两个数量级，故可以略去，下面仅考虑电场对电子作用的贡献．

此外，设电场沿 $z$ 轴方向传播，角频率为 $\omega$ ，单色偏振光，其电场可表示为

$$
\left\{\begin{array}{l}
E_x=E_0 \cos \left(\frac{2 \pi}{\lambda} z-\omega t\right) \\
E_y=E_z=0
\end{array}\right.
$$

电场对电子的作用仅存在于原子内，故 $z$ 的变化范围约为原子尺度 $a_0 \sim 10^{-10} \mathrm{~m}$ ，而可见光的电场波长 $\lambda \approx 10^{-6} \mathrm{~m}$ ，相差 4 个数量级，所以在原子范围内，可以近似认为电场是均匀的，于是光波电场可改写为

$$
E_x=E_0 \cos \omega t
$$

（1）电子在上述电场中的微扰哈密顿量为

$$
\begin{aligned}
\hat{H}^{\prime} & =e x E_x=e x E_0 \cos \omega t \\
& =\frac{1}{2} e x E_0\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\right)=\hat{F}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\right)
\end{aligned}
$$

其中，$\hat{F}=\frac{1}{2} e x E_0$ ．
（2）求跃迁速率 $\omega_{k \rightarrow m}$ ．
利用式（9．18），对光的吸收情况，$\varepsilon_k<\varepsilon_m$ ．单位时间由 $\psi_k$ 态跃迁到 $\psi_m$ 态的跃迁速率公式为

$$
\begin{aligned}
\omega_{k \rightarrow m} & =\frac{2 \pi}{\hbar}\left|F_{m k}\right|^2 \delta\left(\varepsilon_m-\varepsilon_k-\hbar \omega\right) \\
& =\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\frac{1}{2} e E_0 x_{m k}\right|^2 \delta\left(\varepsilon_m-\varepsilon_k-\hbar \omega\right) \\
& =\frac{\pi e^2 E_0^2}{2 \hbar^2}\left|x_{m k}\right|^2 \delta\left(\omega_{m k}-\omega\right)
\end{aligned}
$$

此外，在一个周期 $T$ 内对 $E_x^2$ 求平均，得

$$
\overline{E_x^2}=\frac{1}{T} \int_0^T E_0^2 \cos ^2 \omega t \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} E_0^2
$$

又根据电动力学，人射电磁波的光强度为

$$
\begin{aligned}
I & =\frac{1}{2} \varepsilon_0 \overline{E^2}+\frac{1}{2 \mu_0} \overline{B^2} \\
& =\frac{1}{2} \varepsilon_0 \overline{E_x^2}+\frac{1}{2 \mu_0} \cdot \frac{1}{c^2} \overline{E_x^2} \\
& =\varepsilon_0 \overline{E_x^2}=\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2
\end{aligned}
$$

其中，真空中光速 $c=1 / \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ ．代人上述跃迁速率公式，得

$$
\begin{aligned}
\omega_{k \rightarrow m} & =\frac{\pi e^2 E_0^2}{2 \hbar^2}\left|x_{m k}\right|^2 \delta\left(\omega_{m k}-\omega\right) \\
& =\frac{\pi e^2}{\varepsilon_0 \hbar^2} I\left|x_{m k}\right|^2 \delta\left(\omega_{m k}-\omega\right)
\end{aligned}
$$
（3）自然光情况．
式（9．21）适用条件为单色偏振光，即一个频率，一个方向（ $x$ 向电场）。对于非单色、非偏振的自然光，需作如下两点改进。

首先考虑在某一频率范围连续分布的光，光强度是 $\omega$ 的函数 $I(\omega)$ ．在 $\omega \rightarrow \omega+ \mathrm{d} \omega$ 间隔内，光的能量为 $I(\omega) \mathrm{d} \omega$ ，所以

$$
\mathrm{d} \omega_{k \rightarrow m}=\frac{\pi e^2}{\varepsilon_0 \hbar^2} I(\omega)\left|x_{m k}\right|^2 \delta\left(\omega_{m k}-\omega\right) \mathrm{d} \omega
$$

所以需要在全频率范围内积分，得到跃迁速率为

$$
\omega_{k \rightarrow m}=\frac{\pi e^2}{\varepsilon_0 \hbar^2}\left|x_{m k}\right|^2 \int I(\omega) \delta\left(\omega_{m k}-\omega\right) \mathrm{d} \omega=\frac{\pi e^2}{\varepsilon_0 \hbar^2}\left|x_{m k}\right|^2 I\left(\omega_{m k}\right)
$$

此外，对各向同性非偏振光，原子体系在单位时间内由 $\psi_k \rightarrow \psi_m$ 态的跃迁概率应该是上式对所有偏振方向求平均，即

$$
\begin{aligned}
\omega_{k \rightarrow m} & =\frac{\pi e^2}{\varepsilon_0 \hbar^2} I\left(\omega_{m k}\right) \frac{1}{3}\left(\left|x_{m k}\right|^2+\left|y_{m k}\right|^2+\left|z_{m k}\right|^2\right) \\
& =\frac{\pi e^2}{3 \varepsilon_0 \hbar^2} I\left(\omega_{m k}\right)\left|\boldsymbol{r}_{m k}\right|^2=\frac{\pi}{3 \varepsilon_0 \hbar^2} I\left(\omega_{m k}\right)\left|\boldsymbol{D}_{m k}\right|^2
\end{aligned}
$$
其中， $\boldsymbol{D}_{m k}=-e \boldsymbol{r}_{m k}$ 是电偶极矩．因此，此类跃迁称为偶极矩跃迁．这是略去了光波中的磁场作用，并将电场近似用 $E_x=E_0 \cos \omega t$ 表示后得到的结果，称为偶极近似。式（9．22）是吸收情况，同理，据式（9．19）可得受激辐射概率，它们是相等的，即

$$
\omega_{m \rightarrow k}=\frac{\pi e^2}{3 \varepsilon_0 \hbar^2} I\left(\omega_{m k}\right)\left|\boldsymbol{r}_{k m}\right|^2
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：量子跃迁概率

下一篇：选择定则

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)