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受激辐射系数

2）受激辐射系数
对于从 $\psi_m$ 态到 $\psi_k$ 态 $\left(\varepsilon_m>\varepsilon_k\right)$ 的受激辐射跃迁速率，爱因斯坦类似给出

$$
\omega_{m \rightarrow k}=B_{m k} I\left(\omega_{m k}\right)
$$

与相应的式（9．23）比较得受激辐射系数为

$$
B_{m k}=\frac{\pi e^2}{3 \varepsilon_0 \hbar^2}\left|\boldsymbol{r}_{k m}\right|^2
$$

即受激辐射系数等于吸收系数，它们与人射光的强度无关．
3）自发辐射系数
定义自发辐射系数 $A_{m k}$ ：在没有外界光照射时，单位时间内原子从 $\psi_m$ 态到 $\psi_k$态 $\left(\varepsilon_m>\varepsilon_k\right)$ 的跃迁概率．

在光波作用下，单位时间内，体系从 $\varepsilon_m$ 能级跃迁到 $\varepsilon_k$ 能级的概率是

$$
A_{m k}+B_{m k} I\left(\omega_{m k}\right)
$$

从 $\varepsilon_k$ 能级跃迁到 $\varepsilon_m$ 能级的概率是

$$
B_{k m} I\left(\omega_{m k}\right)
$$

当原子与电磁辐射在绝对温度 $T$ 下处于平衡时，必须满足

$$
N_m\left[A_{m k}+B_{m k} I\left(\omega_{m k}\right)\right]=N_k B_{k m} I\left(\omega_{m k}\right)
$$

其中，$N_m$ 和 $N_k$ 分别为处于 $\varepsilon_m$ 和 $\varepsilon_k$ 能级上的原子的数目。式（9．30）给出了三个系数 $A_{m k} 、 B_{m k}$ 和 $B_{k m}$ 之间的关系．由式（9．30）可得光强度表示式为

$$
I\left(\omega_{m k}\right)=\frac{N_m A_{m k}}{N_k B_{k m}-N_m B_{m k}}=\frac{A_{m k}}{B_{m k}\left(\frac{N_k}{N_m}-1\right)}
$$

根据麦克斯韦－玻尔兹曼分布规律，可求得原子数 $N_k$ 和 $N_m$ 分别为

$$
\left\{\begin{array}{l}
N_k=C(T) \mathrm{e}^{-\varepsilon_k /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)} \\
N_m=C(T) \mathrm{e}^{-\varepsilon_m /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}
\end{array}\right.
$$

即

$$
\frac{N_k}{N_m}=\mathrm{e}^{\left(\varepsilon_m-\varepsilon_k\right) /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}=\mathrm{e}^{\hbar \omega_{m k} /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}
$$

其中，$k_{\mathrm{B}}$ 为玻尔兹曼常量．所以得光强度表示式为

$$
I\left(\omega_{m k}\right)=\frac{A_{m k}}{B_{m k}}\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar \omega_{m k} /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}\right)
$$

于是，在角频率间隔 $\omega \rightarrow \omega+\mathrm{d} \omega$ 内辐射光的能量为

$$
I\left(\omega_{m k}\right) \mathrm{d} \omega_{m k}=\frac{A_{m k}}{B_{m k}}\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar \omega_{m k} /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}\right) \mathrm{d} \omega_{m k}
$$

另外，根据普朗克黑体辐射公式（1．5），辐射光在频率间隔 $v \rightarrow v+\mathrm{d} v$ 内的能量为

$$
u(v) \mathrm{d} v=\frac{8 \pi h v^3}{c^3} \frac{1}{\mathrm{e}^{h v /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1} \mathrm{~d} v
$$

因为 $u(v) \mathrm{d} v=I(\omega) \mathrm{d} \omega=2 \pi I(\omega) \mathrm{d} v$ ，或 $u(v)=2 \pi I(\omega)$ ，所以综合式（9．31）和式（9．32）得

$$
\frac{8 \pi h v_{m k}^3}{c^3} \frac{1}{\mathrm{e}^{h v_{m k} /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}=\frac{A_{m k}}{B_{m k}} \frac{2 \pi}{\mathrm{e}^{\hbar \omega_{m k} /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}=\frac{A_{m k}}{B_{m k}} \frac{2 \pi}{\mathrm{e}^{h v_{m k} /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)}-1}
$$

比较两边，得系数 $A_{m k}$ 和 $B_{m k}$ 之间的关系为

$$
A_{m k}=\frac{4 h v_{m k}^3}{c^3} B_{m k}=\frac{\hbar \omega_{m k}^3}{\pi^2 c^3} B_{m k}
$$

其中，$\omega_{m k}=2 \pi v_{m k}$ 。所以，利用式（9．28），自发辐射系数可表示为

$$
A_{m k}=\frac{e^2 \omega_{m k}^3}{3 \pi \varepsilon_0 \hbar c^3}\left|\boldsymbol{r}_{k m}\right|^2
$$

由式（9．33）可知，自发辐射系数 $A_{m k} \propto\left|\boldsymbol{r}_{m k}\right|^2$ ，所以自发辐射与受激辐射具有同样的选择定则。

4）自发跃迁辐射强度
已知 $A_{m k}$ 是单位时间内原子从 $\psi_m$ 自发地跃迁到 $\psi_k$ 的概率；与此同时，原子发射一个能量 $\omega_{m k}$ 的光子。此外，$N_m$ 代表处于 $\psi_m$ 的原子数。所以，$N_m A_{m k}$ 代表单位时间内发生自发跃迁原子数 $\left(\psi_m \rightarrow \psi_k\right)$ ，也是发射能量为 $\omega_{m k}$ 的光子数。因此，利用式（9．33），频率为 $\omega_{m k}$ 的自发跃迁总辐射强度为

$$
\begin{aligned}
J_{m k} & =N_m A_{m k} \hbar \omega_{m k} \\
& =N_m \frac{e^2 \omega_{m k}^3}{3 \pi \varepsilon_0 \hbar c^3}\left|\boldsymbol{r}_{k m}\right|^2 \hbar \omega_{m k}=N_m \frac{e^2 \omega_{m k}^4}{3 \pi \varepsilon_0 c^3}\left|\boldsymbol{r}_{k m}\right|^2
\end{aligned}
$$

5）原子处于激发态的寿命
处于激发态 $\psi_m$ 的 $N_m$ 个原子，在时间 $\mathrm{d} t$ 内自发跃迁到低能态 $\psi_k$ 的数目是

$$
\mathrm{d} N_m=-A_{m k} N_m \mathrm{~d} t
$$

式中的负号表示激发态原子数的减少．对上式积分得 $N_m$ 随时间变化的规律

$$
N_m=N_m^{(0)} \mathrm{e}^{-A_{m k} t}=N_m^{(0)} \mathrm{e}^{-t / \tau_{m k}}
$$

其中，$N_m^{(0)}$ 是 $t=0$ 时的 $N_m$ 值，$\tau_{m k}$ 为平均寿命，其定义为

$$
\tau_{m k} \equiv \frac{1}{N_m^{(0)}} \int_{N_m^{(0)}}^0 t\left(-\mathrm{d} N_m\right)=A_{m k} \int_0^{\infty} t \mathrm{e}^{-A_{m k} t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{A_{m k}}
$$

此外，如果在 $\psi_m$ 态以下存在许多低能态 $\psi_k(k=1,2, \cdots, i)$ ，则单位时间内从 $\psi_m$ 态自发跃迁的总概率为

$$
A_m=\sum_{k=1}^i A_{m k}
$$

原子处于 $\psi_m$ 态的平均寿命为

$$
\tau_m=\frac{1}{A_m}=\frac{1}{\sum_k A_{m k}}
$$

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