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全同粒子和全同性原理

氢原子核中仅有一个质子，核外有一电子绕核运动．第5章求得了氢原子的能级和电子分布等。不过，这仅仅是一个特例，绝大多数元素的原子核外有数个或数十个电子，而且所有电子的属性均一样，它们以物质波的形式围绕原子核运动。这种所有物理属性均相同的微观粒子称为全同粒子。例如，氦原子核外就有两个全同粒子（电子）围绕原子核运动，其核中有两个质子和两个中子，它们分别也为全同粒子。在量子体系中，由全同粒子组成的多粒子体系具有诸多特点。首先，全同粒子不可分辨，这种不可分辨并不仅仅是它们＂很像＂而不可分辨，而是本征地不可分辨；其次，因为不可分辨，系统中任何两个全同粒子相互置换并不导致新的量子态．这就对全同粒子体系量子态给以很强的限制．
10.1 全同粒子和全同性原理

自然界存在不同种类的微观粒子：电子、质子、中子、光子、 $\pi$ 介子等。同一种微观粒子具有完全相同的内禀客观属性。例如，对于所有电子，它们的静止质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等客观属性均相等，因此称为＂全同粒子＂，它们是不可分辨的．
1．全同粒子不可分辨
在经典物理学中，固有性质完全相同的两个粒子，仍然可以区分。例如，刚从工厂里同一个模子压制的两个篮球 1 和 2 ，形状、颜色等均相同，在球场上传递。它们仍然是可以分辨的，因为篮球的运动有各自的轨道，任意时刻位置和速度均可确定，因此，只要我们聚焦其中一只篮球，就可以实时跟踪它。

然而在微观世界，全同粒子不可分辨的概念要深刻得多，是＂真＂的不可分辨。例如氦原子中有两个电子，它们是全同粒子，所有客观属性均相等。在旧量子论中，认为电子在原子中绕核转动是有轨道的，如图 10．1（a）所示，那么这两个电子还是可分辨的。但根据量子物理学的物质波假说，如图10．1（b）所示，两个电子是两片相互交叠的电子云，弥散在核的周围，它们没有运动轨道；我们只知道电子在空间某点出现的概率，即波函数模的平方 $|\psi|^2$ ，仅此而已。此时我们根本无法区分哪个是＂A电子＂，哪个是＂B 电子＂．所以，＂全同粒子不可分辨＂是＂物质波＂假说的必
然结果，它与经典物理中的因“很像”而不可区分是完全不同的.

![图片](/uploads/2025-11/7062d3.jpg)
 
 2．全同性原理
因为不可分辨，在全同粒子所组成的体系中，任何两个全同粒子互相交换不引起体系物理状态的改变，一切测量结果也不会因此而有任何改变。这就是全同性原理。它是＂物质波＂假说的必然结果，是量子物理学的基本原理之一。

全同性原理要求哈密顿量在交换任何两个粒子时保持不变。例如对氦原子，$Z =2$ ，其哈密顿量为

$$
\hat{H}=\frac{\hat{p}_1^2}{2 m_{\mathrm{e}}}+\frac{\hat{p}_2^2}{2 m_{\mathrm{e}}}-\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{2}{r_1}+\frac{2}{r_2}-\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\right|}\right)
$$

当两电子交换时，即将＂电子 1 ＂和＂电子 2 ＂互换，哈密顿量显然是不变的，即全同粒子具有交换对称性！

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