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全同粒子体系波函数的对称性质

10.2 全同粒子体系波函数的对称性质

1．哈密顿算符的交换对称性
在全同粒子体系中，交换任意两个粒子，其哈密顿量保持不变（当然，一般仍要求它是厄米算符）．设有 $N$ 个全同粒子组成的体系，其哈密顿量可表示为
$$
\hat{H}\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)=\sum_{i=1}^N\left[-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_i^2+U\left(q_i, t\right)\right]+\sum_{i<j}^N V\left(q_i, q_j\right)
$$

其中 $q_i \equiv\left\{\boldsymbol{r}_i, S_i\right\}$ ，为第 $i$ 个粒子的坐标和自旋．调换第 $i$ 和第 $j$ 粒子，体系哈密顿量不变，即

$$
\hat{H}\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right)=\hat{H}\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)
$$

上式表明，由 $N$ 个全同粒子组成体系的哈密顿量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标 $\left(q_i, q_j\right)$ 后保持不变．
2．对称和反对称波函数
考虑全同粒子体系的含时薛定谔方程

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right) \\
= & \hat{H}\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right) \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)
\end{aligned}
$$

将上述方程中的 $\left(q_i, q_j\right)$ 调换并利用式（10．2），得

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right) \\
= & \hat{H}\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right) \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right) \\
= & \hat{H}\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right) \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right)
\end{aligned}
$$

式（10．3）和式（10．4）表明：$\left(q_i, q_j\right)$ 调换前后的波函数都是薛定谔方程的解．根据全同性原理，波函数 $\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)$ 与 $\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right)$ 描写同一状态，二者最多相差一常数因子，即

$$
\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right)=\lambda \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)
$$

若再做一次 $\left(q_i, q_j\right)$ 调换，又回到原先状态，即
$$
\begin{aligned}
& \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right) \\
= & \lambda \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right) \\
= & \lambda^2 \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)
\end{aligned}
$$

所以，$\lambda^2=1$ ，即 $\lambda= \pm 1$ 。
当 $\lambda=1$ 时，两粒子互换后波函数不变，即

$$
\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)=\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right)
$$

称之为对称波函数．当 $\lambda=-1$ 时，两粒子互换后波函数变号，即

$$
\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N, t\right)=-\psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_j, \cdots, q_i, \cdots, q_N, t\right)
$$

称之为反对称波函数．
3．波函数的交换对称性不随时间变化
全同粒子体系波函数的交换对称性（对称或反对称）不随时间变化．引人粒子坐标交换算符 $\hat{P}_{i j}$

$$
\begin{aligned}
& \hat{P}_{i j} \psi(i, j)=\psi(j, i)=\lambda \psi(i, j) \\
& \hat{P}_{i j}^2 \psi(i, j)=\hat{P}_{i j} \hat{P}_{i j} \psi(i, j)=\lambda \hat{P}_{i j} \psi(i, j)=\lambda^2 \psi(i, j)
\end{aligned}
$$

所以，$\lambda= \pm 1$ ．其中，对称波函数是算符 $\hat{P}_{i j}$ 本征值 $\lambda=1$ 的本征态；反对称波函数是算符 $\hat{P}_{i j}$ 本征值 $\lambda=-1$ 的本征态。

因为全同粒子体系哈密顿量具有交换对称性，即 $\left[\hat{P}_{i j}, \hat{H}\right]=0$ ，所以 $\hat{P}_{i j}$ 是守恒量，即交换对称性不随时间而改变。

描写孤立的全同粒子体系状态，交换任意两粒子，其波函数只能是对称或反对称，其对称性不随时间改变．如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态，则它将永远处于对称（或反对称）态．

4．费米子（fermion）和玻色子（boson）
实验表明：对于每一种全同粒子，多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系．
（1）玻色子：凡自旋为 $\hbar$ 整数倍 $(s=0,1,2, \cdots)$ 的粒子，其多粒子波函数对于交换其中任意两个粒子总是对称的，遵从玻色（Bose）统计，故称为玻色子，如 $\gamma$ 光子 $(s=1), ~ \pi$ 介子 $(s=0)$ 等。
（2）费米子：凡自旋为 $\hbar$ 半奇数倍 $(s=1 / 2,3 / 2, \cdots)$ 的粒子，其多粒子波函数对于交换其中任意两个粒子总是反对称的，遵从费米（Fermi）统计，故称为费米子，如电子、质子、中子 $(s=1 / 2)$ 等。
（3）由＂基本粒子＂组成的复杂粒子：例如 $\alpha$ 粒子（氦核）或其他原子核，如果在所讨论的过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同粒子概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理．一般而言，偶数个费米子组成玻色子．如姚核 $\left({ }_1^2 \mathrm{H}_1\right)$ 中有一个质子和一个中子，$\alpha$ 粒子 $\left({ }_2^4 \mathrm{He}_2\right)$ 中有两个质子和两个中子，它们均是玻色子。而奇数个费米子组成费米子。如姚核 $\left({ }_1^3 \mathrm{H}_1\right)$ 中有一个质子和两个中子，氦三 $\left({ }_2^3 \mathrm{He}_1\right)$ 中有两个质子和一个中子，它们均是费米子。

因此，对于玻色子量子体系，其波函数应满足粒子交换对称性；对于费米子量子体系，其波函数应满足粒子交换反对称性．

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