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全同粒子体系波函数的构成

10.3 全同粒子体系波函数的构成

1．两个全同粒子波函数
由两个全同粒子构成的体系，粒子间无互作用，不显含时间的哈密顿量为

$$
\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_1^2-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_2^2+V\left(q_1\right)+V\left(q_2\right)=\hat{H}_0\left(q_1\right)+\hat{H}_0\left(q_2\right)
$$

式中的 $\hat{H}_0$ 是单粒子哈密顿量，单粒子波函数 $\psi_i$ 和 $\psi_j$ 是正交归一的，同样不显含时间，且满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
\hat{H}_0\left(q_1\right) \psi_i\left(q_1\right)=\varepsilon_i \psi_i\left(q_1\right) \\
\hat{H}_0\left(q_2\right) \psi_j\left(q_2\right)=\varepsilon_j \psi_j\left(q_2\right)
\end{array}\right.
$$

即粒子 1 处在 $i$ 态，粒子 2 处在 $j$ 态．容易验证：该体系的能量和波函数分别为

$$
\left\{\begin{array}{l}
E=\varepsilon_i+\varepsilon_j \\
\psi\left(q_1, q_2\right)=\psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right)
\end{array}\right.
$$

若粒子 2 在 $i$ 态，粒子 1 在 $j$ 态，容易验证：该体系的能量和波函数分别为

$$
\left\{\begin{array}{l}
E=\varepsilon_i+\varepsilon_j \\
\psi\left(q_2, q_1\right)=\psi_i\left(q_2\right) \psi_j\left(q_1\right)
\end{array}\right.
$$

显然，通过粒子互换，所得的两个态 $\psi\left(q_1, q_2\right)$ 与 $\psi\left(q_2, q_1\right)$ 的能量是简并的，故称为交换简并。

然而，全同粒子体系要满足交换对称性条件，而 $\psi\left(q_1, q_2\right)$ 与 $\psi\left(q_2, q_1\right)$ 仅当 $i= j$ ，即两态相同时，才是一个对称波函数；当 $i \neq j$ ，即两态不同时，$\psi\left(q_1, q_2\right)$ 与 $\psi\left(q_2, q_1\right)$ 既不是对称波函数，也不是反对称波函数．因此，它们不能用来描写全同粒子体系．
为了构造具有交换对称性的波函数，设

$$
\begin{aligned}
& \psi_{\mathrm{S}}\left(q_1, q_2\right)=C\left[\psi\left(q_1, q_2\right)+\psi\left(q_2, q_1\right)\right] \\
& \psi_{\mathrm{A}}\left(q_1, q_2\right)=C\left[\psi\left(q_1, q_2\right)-\psi\left(q_2, q_1\right)\right]
\end{aligned}
$$

式中，$C$ 为归一化常数．显然，对称波函数 $\psi_{\mathrm{S}}\left(q_1, q_2\right)$ 和反对称波函数 $\psi_{\mathrm{A}}\left(q_1, q_2\right)$ 均是 $\hat{H}$ 的本征函数，本征值均为 $E=\varepsilon_i+\varepsilon_j$ ．此外，若单粒子波函数 $\psi_i$ 正交归一，则 $\psi\left(q_1, q_2\right)$ 与 $\psi\left(q_2, q_1\right)$ 也正交归一。证明如下：

$$
\begin{aligned}
& \iint \psi^*\left(q_1, q_2\right) \psi\left(q_1, q_2\right) \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & \iint \psi_i^*\left(q_1\right) \psi_j^*\left(q_2\right) \psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right) \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & \int \psi_i^*\left(q_1\right) \psi_i\left(q_1\right) \mathrm{d} q_1 \int \psi_j^*\left(q_2\right) \psi_j\left(q_2\right) \mathrm{d} q_2=1
\end{aligned}
$$

同理

$$
\iint \psi^*\left(q_2, q_1\right) \psi\left(q_2, q_1\right) \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2=1
$$

而

$$
\begin{aligned}
& \iint \psi^*\left(q_2, q_1\right) \psi\left(q_1, q_2\right) \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & \iint \psi_i^*\left(q_2\right) \psi_j^*\left(q_1\right) \psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right) \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & \int \psi_j^*\left(q_1\right) \psi_i\left(q_1\right) \mathrm{d} q_1 \int \psi_i^*\left(q_2\right) \psi_j\left(q_2\right) \mathrm{d} q_2=0
\end{aligned}
$$

同理

$$
\iint \psi^*\left(q_1, q_2\right) \psi\left(q_2, q_1\right) \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2=0
$$

另外，要求 $\psi_{\mathrm{S}}$ 和 $\psi_{\mathrm{A}}$ 也是归一化的，例如

$$
\begin{aligned}
& \iint \psi_{\mathrm{S}}^* \psi_{\mathrm{S}} \mathrm{~d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & C^2 \iint\left[\psi^*\left(q_1, q_2\right)+\psi^*\left(q_2, q_1\right)\right]\left[\psi\left(q_1, q_2\right)+\psi\left(q_2, q_1\right)\right] \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & C^2 \iint\left[\psi^*\left(q_1, q_2\right) \psi\left(q_1, q_2\right)+\psi^*\left(q_2, q_1\right) \psi\left(q_1, q_2\right)\right. \\
& \left.+\psi^*\left(q_1, q_2\right) \psi\left(q_2, q_1\right)+\psi^*\left(q_2, q_1\right) \psi\left(q_2, q_1\right)\right] \mathrm{d} q_1 \mathrm{~d} q_2 \\
= & C^2(1+0+0+1) \\
= & 2 C^2=1
\end{aligned}
$$

于是得归一化常数 $C=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ．归一化的 $\psi_{\mathrm{S}}$ 和 $\psi_{\mathrm{A}}$ 如下：

$$
\begin{aligned}
& \psi_{\mathrm{S}}\left(q_1, q_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi\left(q_1, q_2\right)+\psi\left(q_2, q_1\right)\right] \\
& \psi_{\mathrm{A}}\left(q_1, q_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi\left(q_1, q_2\right)-\psi\left(q_2, q_1\right)\right]
\end{aligned}
$$

上述讨论适用于两粒子间无相互作用的情况．当粒子间有互作用时，一般不能分离变量，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\psi\left(q_1, q_2\right) \neq \psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right) \\
\psi\left(q_2, q_1\right) \neq \psi_i\left(q_2\right) \psi_j\left(q_1\right)
\end{array}\right.
$$

但是下式仍然成立：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\hat{H}\left(q_1, q_2\right) \psi\left(q_1, q_2\right)=E \psi\left(q_1, q_2\right) \\
\hat{H}\left(q_1, q_2\right) \psi\left(q_2, q_1\right)=E \psi\left(q_2, q_1\right)
\end{array}\right.
$$

即 $\psi\left(q_1, q_2\right)$ 与 $\psi\left(q_2, q_1\right)$ 满足同样的方程，归一化的 $\psi_{\mathrm{S}}$ 和 $\psi_{\mathrm{A}}$ 仍然是

$$
\psi_{\mathrm{S}}\left(q_1, q_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi\left(q_1, q_2\right) \pm \psi\left(q_2, q_1\right)\right]
$$

2．$N$ 个全同粒子体系波函数
将由两个全同粒子组成的对称和反对称波函数推广至 $N$ 个全同粒子体系．
设粒子间无互作用，波函数可分离变量，单粒子 $\hat{H}_0$ 不显含时间，则体系

$$
\hat{H}=\hat{H}_0\left(q_1\right)+\hat{H}_0\left(q_2\right)+\cdots+\hat{H}_0\left(q_N\right)=\sum_{n=1}^N \hat{H}_0\left(q_n\right)
$$

单粒子本征方程分别为

$$
\begin{aligned}
\hat{H}_0\left(q_1\right) \psi_i\left(q_1\right) & =\varepsilon_i \psi_i\left(q_1\right) \\
\hat{H}_0\left(q_2\right) \psi_j\left(q_2\right) & =\varepsilon_j \psi_j\left(q_2\right) \\
\ldots \ldots & \\
\hat{H}_0\left(q_N\right) \psi_k\left(q_N\right) & =\varepsilon_k \psi_k\left(q_N\right)
\end{aligned}
$$

共有 $k$ 个态．体系的薛定谔方程为 $\hat{H} \psi=E \psi$ ，其解为

$$
\begin{aligned}
& E=\varepsilon_i+\varepsilon_j+\cdots+\varepsilon_k \\
& \psi\left(q_1, q_2, \cdots, q_N\right)=\psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right) \cdots \psi_k\left(q_N\right)
\end{aligned}
$$

如果能级有简并，则 $k<N$ ；如果能级没有简并，则 $k=N$ 。显然，上式既不是对称波函数，也不是反对称波函数，不符合全同粒子体系波函数的对称性要求．

1）玻色子体系和波函数对称化
对于两个玻色子体系，对称波函数 $\psi_{\mathrm{S}}$ 如式（10．5）所示．对于 $N$ 个玻色子体系，其对称波函数可类推为
$$
\psi_{\mathrm{S}}\left(q_1, q_2, \cdots, q_N\right)=C \sum_p p\left[\psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right) \cdots \psi_k\left(q_N\right)\right]
$$

其中，上式方括弧中是由 $N$ 个粒子在 $i, j, \cdots, k$ 态中的一种排列，求和号是对各种可能排列 $p$ 求和，归一化系数 $C$ 等于排列数，即

$$
C=\sqrt{\frac{\prod_{k=1} n_{k}!}{N!}}
$$

$n_k$ 是单粒子态 $\psi_k$ 上的粒子数。显然，求和号中每一项均是单粒子波函数乘积形式，因而 $\psi_{\mathrm{S}}$ 是本征方程 $\hat{H} \psi_{\mathrm{S}}=E \psi_{\mathrm{S}}$ 的解．$N$ 个粒子的各种排列总数目为 $N!$ 。但对于 $N$ 个玻色子体系，有些态上可能有多个粒子，例如有 $n_k$ 个粒子处于态 $\psi_k$ 。根据全同粒子不可分辨原理，这 $n_k$ 个粒子是不可分辨的，它们在态 $\psi_k$ 上的不同排列也是没有意义的，因为不形成新的态。因此，应将这 $n_k$ 个粒子的排列数 $n_k$ ！扣除，这就是归一化系数 $C$ 中出现分子和分母项的原因。

式（10．8）中的求和是所有排列，如有 $\left[\ldots \psi_i\left(q_l\right) \ldots \psi_j\left(q_m\right) \ldots\right]$ 项，就必定有 $\left[\ldots \psi_i\left(q_m\right) \ldots \psi_j\left(q_l\right) \ldots\right]$ 项，因此式（10．8）的确具有任何两个粒子交换时的对称性。若N = 2，则简化为式(10.5). 
2）费米子体系和波函数反对称化
对于两个费米子体系，反对称波函数 $\psi_A$ 如式（10．5）表述，即

$$
\begin{aligned}
\psi_{\mathrm{A}}\left(q_1, q_2\right) & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_i\left(q_1\right) \psi_j\left(q_2\right)-\psi_i\left(q_2\right) \psi_j\left(q_1\right)\right] \\
& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{ll}
\psi_i\left(q_1\right) & \psi_i\left(q_2\right) \\
\psi_j\left(q_1\right) & \psi_j\left(q_2\right)
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

推广到 $N$ 个费米子体系，其反对称波函数为

$$
\psi_{\mathrm{A}}\left(q_1, q_2, \cdots, q_N\right)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left|\begin{array}{cccc}
\psi_i\left(q_1\right) & \psi_i\left(q_2\right) & \cdots & \psi_i\left(q_N\right) \\
\psi_j\left(q_1\right) & \psi_j\left(q_2\right) & \cdots & \psi_j\left(q_N\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\psi_k\left(q_1\right) & \psi_k\left(q_2\right) & \cdots & \psi_k\left(q_N\right)
\end{array}\right|
$$

对上述行列式展开后，每一项均是单粒子波函数的乘积形式，因而 $\psi_{\mathrm{A}}$ 是本征方程 $\hat{H} \psi_{\mathrm{A}}=E \psi_{\mathrm{A}}$ 的解。交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称波函数。此行列式称为 Slater 行列式．若 $N=2$ ，则式（10．10）便简化为式（10．5）。

3．泡利原理
对于由 $N$ 个费米子组成的体系，其反对称波函数由式（10．10）描述．如果 $N$ 个单粒子态 $\psi_i, \psi_j, \cdots, \psi_k$ 中有两个相同，则行列式中有两行相同，于是行列式为 0 ．这表明在 $N$ 个费米子体系中不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这一结论即为泡利不相容原理．波函数的反对称性保证了全同费米子体系的这一重要性质。

在无自旋－轨道相互作用的情况下，或该作用很弱，从而可忽略时，体系总波函数可分离变量，写成空间波函数与自旋波函数乘积形式，即

$$
\psi_{\text {total }}\left(\boldsymbol{r}_1, S_1 ; \boldsymbol{r}_2, S_2 ; \cdots ; \boldsymbol{r}_N, S_N\right)=\psi\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \cdots, \boldsymbol{r}_N\right) \chi\left(S_1, S_2, \cdots, S_N\right)
$$

若是费米子体系，则 $\psi_{\text {total }}$ 应是反对称的。可分别由乘积 $\psi \cdot \chi$ 的对称性保证，即若 $\psi$ 对称，则必有 $\chi$ 反对称；反之，若 $\psi$ 反对称，则必有 $\chi$ 对称．
10.4 两电子自旋波函数构成

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