最后更新: 2025-11-12 07:40 查看: 56 次纠错评论(0) 课件开VIP

粒子数表象

由上面几节的讨论可知，在坐标表象中，对于 $N$ 个玻色子体系，其对称波函数由式（10．8）描述；对于 $N$ 个费米子体系，其反对称波函数由式（10．10）描述。对于二电子系统，讨论还比较简单。然而，对于具有 $N$ 个全同粒子的体系，此种表述全同粒子系统的方法是相当烦琐的．其原因是全同粒子不可分辨，对它们编号本来就没有意义．事实上，只要把处于每一个单粒子态上的粒子数讲清，全同粒子的量子态就完全确定了。

因此，在量子物理学中，通常引进粒子占有数表象（occupation particle number representation），简称粒子数表象：全同玻色子体系的量子态（波函数）表示为 $\left|n_1 n_2 \cdots n_N\right\rangle$ ，其中有 $n_i$ 个粒子处于态 $\psi_i$ 上；全同费米子体系的量子态受泡利原理限制，$n_i=1,0$ ，故表示为 $|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle$ ，此式中只标出被粒子占据的单粒子态。

1．全同玻色子体系在粒子数表象中的表述
在第4章（4．6节）中，根据一维线性谐振子的求解结果，提出了占有数表象，其中引入了产生算符 $a^{+}$、湮灭算符 $a$ 和粒子数算符 $\hat{N}=a^{+} a$（ $a^{+}$和 $a$ 算符上面的小箭头省略了，下同），它们满足对易关系

$$
\begin{gathered}
{\left[a, a^{+}\right]=1,} \\
{\left[a^{+}, a^{+}\right]=[a, a]=0}
\end{gathered}
$$

基态为 $|0\rangle$ ，也称真空态；$|n\rangle$ 代表有 $n$ 个声子的激发态，$n=1,2,3, \cdots$ ，每个声子的能量为 $\hbar \omega$ ．由式（4．64）得

$$
\begin{aligned}
& a^{+}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle \\
& a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle
\end{aligned}
$$

它们的共轭式为

$$
\begin{aligned}
& \langle n| a=\sqrt{n+1}\langle n+1| \\
& \langle n| a^{+}=\sqrt{n}\langle n-1|
\end{aligned}
$$

一维谐振子的归一化本征矢为

$$
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^{+}\right)^n|0\rangle, \quad n=0,1,2, \cdots
$$

能量本征值为 $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega$ ．
将其推广到 $N$ 维谐振子，对于第 $i$ 和第 $j$ 个独立谐振子，有对易关系：

$$
\begin{gathered}
{\left[a_i, a_j^{+}\right]=\delta_{i j}} \\
{\left[a_i, a_j\right]=\left[a_i^{+}, a_j^{+}\right]=0, \quad i, j=1,2,3, \cdots, N}
\end{gathered}
$$

$N$ 维谐振子的归一化能量本征态为
$$
\left|n_1 n_2 \cdots\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{n_{1}!n_{2}!\cdots}}\left(a_1^{+}\right)^{n_1}\left(a_2^{+}\right)^{n_2} \cdots|0\rangle
$$

能量本征值为

$$
E_{n_1 n_2 \ldots}=\sum_{i=1}^N\left(n_i+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_i
$$

类似地，全同玻色子多粒子体系在粒子数表象中的基矢为

$$
\left|n_1 n_2 \cdots\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{\prod_i n_{i}!}}\left(a_1^{+}\right)^{n_1}\left(a_2^{+}\right)^{n_2} \cdots|0\rangle
$$

其中，$a_i^{+}, a_i$ 分别是单粒子态 $\psi_i$ 上的粒子数产生算符和湮灭算符，它们的对易关系即式（10．18）；总粒子数算符 $\hat{N}_{\text {total }}=\sum_{i=1}^N \hat{n}_i$ ，本征值 $N_{\text {total }}=\sum_{i=1}^N n_i$ 。由式（10．18）可知，式（10．19）对任意两个玻色子交换对称．此外，将产生算符和湮灭算符作用于波函数，利用式（4．64）得

$$
\begin{aligned}
& a_\alpha^{+}\left|n_1 n_2 \cdots n_\alpha \cdots\right\rangle=\sqrt{n_\alpha+1}\left|n_1 n_2 \cdots\left(n_\alpha+1\right) \cdots\right\rangle \\
& a_\alpha\left|n_1 n_2 \cdots n_\alpha \cdots\right\rangle=\sqrt{n_\alpha}\left|n_1 n_2 \cdots\left(n_\alpha-1\right) \cdots\right\rangle
\end{aligned}
$$

其共轭式为

$$
\begin{aligned}
& \left\langle\cdots n_\alpha \cdots n_2 n_1\right| a_\alpha=\sqrt{n_\alpha+1}\left\langle\cdots\left(n_\alpha+1\right) \cdots n_2 n_1\right| \\
& \left\langle\cdots n_\alpha \cdots n_2 n_1\right| a_\alpha^{+}=\sqrt{n_\alpha}\left\langle\cdots\left(n_\alpha-1\right) \cdots n_2 n_1\right|
\end{aligned}
$$

2．全同费米子体系在粒子数表象中的表述
全同费米子体系的波函数交换反对称，且服从泡利原理．利用产生算符的体系基矢：

$$
|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=a_\alpha^{+} a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle
$$

式中，$a_\alpha^{+}, a_\beta^{+}, \cdots$ 分别代表在单粒子态 $\psi_\alpha, \psi_\beta, \cdots$ 上的粒子产生算符．交换反对称要求波函数满足

$$
|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=-|\beta \alpha \gamma \cdots\rangle
$$

即

$$
\begin{gathered}
a_\alpha^{+} a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle=-a_\beta^{+} a_\alpha^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle \\
\left(a_\alpha^{+} a_\beta^{+}+a_\beta^{+} a_\alpha^{+}\right)|\gamma \cdots\rangle=0
\end{gathered}
$$

所以

$$
a_\alpha^{+} a_\beta^{+}+a_\beta^{+} a_\alpha^{+} \equiv\left[a_\alpha^{+}, a_\beta^{+}\right]_{+}=0
$$

式（10．23）为反对易式，它对 $\alpha=\beta$ 也适用，即对于任意 $\alpha$ ，有 $a_\alpha^{+} a_\alpha^{+}=0$ ，因为一个态上最多容纳一个费米子，产生两次一定为零．取式（10．22）的共轭式：

$$
\langle\cdots \gamma \beta \alpha|=\langle 0| \cdots a_\gamma a_\beta a_\alpha
$$

根据交换反对称性可得

$$
\left[a_\alpha, a_\beta\right]_{+}=0
$$

式（10．25）对 $\alpha=\beta$ 也适用，即对于任意 $\alpha$ ，有 $a_\alpha a_\alpha=0$ ，因为一个态上最多有一个费米子，湮灭两次一定为零。此外，对于单粒子态归一性，有

$$
\langle\alpha \mid \alpha\rangle=1 \quad \text { 或 } \quad\langle 0| a_\alpha a_\alpha^{+}|0\rangle=1
$$

此外，真空态 $|0\rangle$ 为

$$
\begin{gathered}
a_\alpha a_\alpha^{+}|0\rangle=a_\alpha|\alpha\rangle=|0\rangle \\
a_\alpha|0\rangle=0
\end{gathered}
$$

一般地

$$
a_\alpha|\beta \gamma \cdots\rangle=0, \quad \alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \cdots
$$

此外，作态

$$
\begin{aligned}
a_\beta a_\alpha^{+} a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle & =-a_\beta a_\beta^{+} a_\alpha^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle \\
& =-a_\alpha^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle \\
& =-a_\alpha^{+} a_\beta a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle
\end{aligned}
$$

上式推导利用了式（10．26）．所以

$$
\left(a_\beta a_\alpha^{+}+a_\alpha^{+} a_\beta\right)|\beta \gamma \cdots\rangle=0
$$

若 $\beta$ 是真空态，即 $|\gamma \delta \cdots\rangle$ ，也有 $\left(a_\beta a_\alpha^{+}+a_\alpha^{+} a_\beta\right)|\gamma \delta \cdots\rangle=0$ 。所以

$$
\left[a_\alpha^{+}, a_\beta\right]_{+}=0, \quad \alpha \neq \beta
$$

利用式（10．22），有

$$
\begin{aligned}
& a_\alpha a_\alpha^{+}|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=a_\alpha a_\alpha^{+} a_\alpha^{+} a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle=0 \\
& a_\alpha^{+} a_\alpha|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=a_\alpha^{+} a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle=|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle
\end{aligned}
$$

所以

$$
\left(a_\alpha a_\alpha^{+}+a_\alpha^{+} a_\alpha\right)|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle
$$

若 $|\beta \gamma \cdots\rangle$ 是 $\alpha$ 真空态，则 $a_\alpha^{+} a_\alpha|\beta \gamma \cdots\rangle=0$ ，且 $a_\alpha a_\alpha^{+}|\beta \gamma \cdots\rangle=a_\alpha|\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=|\beta \gamma \cdots\rangle$ ，故上式也成立，即
$$
\left(a_\alpha a_\alpha^{+}+a_\alpha^{+} a_\alpha\right)|\beta \gamma \cdots\rangle=|\beta \gamma \cdots\rangle
$$

所以均有

$$
\left[a_\alpha, a_\alpha^{+}\right]_{+}=1
$$

总之，全同费米子体系的对易关系为

$$
\begin{aligned}
& |\alpha \beta \gamma \cdots\rangle=a_\alpha^{+} a_\beta^{+} a_\gamma^{+} \cdots|0\rangle \\
& {\left[a_\alpha, a_\beta^{+}\right]_{+}=\delta_{\alpha \beta}} \\
& {\left[a_\alpha, a_\beta\right]_{+}=\left[a_\alpha^{+}, a_\beta^{+}\right]_{+}=0}
\end{aligned}
$$

式（10．30）概括了费米子产生算符和湮灭算符的全部代数性质，与玻色子相应的对易关系式（10．18）相比，差别只是将对易式换成了反对易式，这是波函数交换对称和反对称的反映．

上述表象称为＂粒子数表象＂，也即所谓＂二次量子化＂，用于处理多粒子体系问题。

3．玻色子的单体和二体算符表示式
在量子物理学中，一般采用算符代替相应的力学量．在粒子数表象中，算符

表示比较简单．诸如角动量、动能、动量、粒子数、磁矩等算符，它们均为单体算符，可统一表述为

$$
\hat{F}=\sum_{\alpha=1}^N \hat{f}(\alpha)
$$

是 $N$ 个单粒子算符 $\hat{f}(\alpha) \quad(\alpha=1,2, \cdots, N)$ 之和。
在 $q$ 表象中，根据式（10．8），具有交换对称性的 $N$ 个玻色子波函数为

$$
\psi_{n_1 \cdots n_N}\left(q_1, q_2, \cdots, q_N\right)=\sqrt{\frac{\prod n_{k}!}{N!}} \sum_p p\left[\psi_1\left(q_1\right) \cdots \psi_k\left(q_k\right) \cdots\right]
$$

其中在态 $\psi_1\left(q_1\right)$ 上有 $n_1$ 个粒子，在态 $\psi_k\left(q_k\right)$ 上有 $n_k$ 个粒子，等等．
算符 $\hat{F}$ 矩阵元为

$$
\begin{aligned}
\left(\psi_{n_1^{\prime} n_2^{\prime} . .,} \hat{F} \psi_{n_1 n_2 \ldots}\right) & =\sum_\alpha\left(\psi_{n_1^{\prime} n_2^{\prime} \ldots}, \hat{f}(\alpha) \psi_{n_1 n_2 \ldots}\right) \\
& =N\left(\psi_{n_1^{\prime} n_2^{\prime} \ldots}, \hat{f}(1) \psi_{n_1 n_2 \ldots}\right)
\end{aligned}
$$

式中，因为 $\hat{F}$ 对于任何粒子交换完全对称，各粒子的地位完全相同，即可用任意粒子 $[$ 如 $\hat{f}(1)]$ 计算矩阵元，然后乘以粒子数 $N$ ．

算符 $\hat{F}$ 的平均值计算如下：

$$
\bar{F}=\left(\psi_{n_1 n_2 \ldots}, \hat{F} \psi_{n_1 n_2 \ldots}\right)=N\left(\psi_{n_1 n_2 \ldots}, \hat{f}(1) \psi_{n_1 n_2 \ldots}\right)
$$

设＂粒子 1 ＂处于任意态 $\psi_k, f(1)$ 的平均值为

$$
f_{k k}=\left(\psi_k\left(q_1\right), \hat{f}(1) \psi_k\left(q_1\right)\right)=\left(\psi_k, \hat{f} \psi_k\right)
$$

此时，其余 $(N-1)$ 个粒子分布为 $\left(n_1, n_2, \cdots, n_{k-1}, \cdots\right), f(1)$ 与其余粒子的坐标无关，各单粒子波函数正交归一，积分后的贡献项数为

$$
\frac{(N-1)!}{n_{1}!n_{2}!\cdots\left(n_k-1\right)!\cdots}
$$

因为假设＂粒子 1 ＂处于任意态 $\psi_k$ ，故还需对 $k$ 求和，所以得

$$
\bar{F}=N \frac{\prod n_{i}!}{N!} \sum_k \frac{(N-1)!}{n_{1}!n_{2}!\cdots\left(n_k-1\right)!\cdots} f_{k k}=\sum_k n_k f_{k k}
$$

算符 $\hat{F}$ 的非对角矩阵元计算如下：
在式（10．32）中，由于体系初态和末态只能差一个单粒子态，故有

$$
\begin{aligned}
(\hat{F})_{i k} & =\left(\psi_{\cdots\left(n_i+1\right) \cdots\left(n_k-1\right) \cdots}, \hat{F} \psi_{\cdots n_i \cdots n_k \cdots}\right) \\
& =N\left(\psi_{\cdots\left(n_i+1\right) \cdots\left(n_k-1\right) \cdots}, \hat{f}(1) \psi_{\cdots n_i \cdots n_k \cdots}\right)
\end{aligned}
$$
式中，只有当＂粒子 1 ＂初态处于 $\psi_k$ ，末态处于 $\psi_i$ 时，才对矩阵元有贡献，此贡献共有项数

$$
\frac{(N-1)!}{\cdots n_{!}!\cdots\left(n_k-1\right)!\cdots}
$$

所以，上式矩阵元为

$$
\begin{aligned}
(\hat{F})_{i k} & =N \frac{\cdots n_{i}!\cdots\left(n_k-1\right)!\cdots}{N!} \sqrt{\left(n_i+1\right) n_k} \frac{(N-1)!}{\cdots n_{i}!\cdots\left(n_k-1\right)!\cdots} f_{i k} \\
& =\sqrt{\left(n_i+1\right) n_k} f_{i k}
\end{aligned}
$$

其中，$f_{i k}$ 是单粒子算符 $\hat{f}(1)$ 的矩阵元，$f_{i k}=\left(\psi_i, \hat{f}(1) \psi_k\right)$ ．
在粒子数表象中，玻色子体系的基矢为

$$
\left|n_1 n_2 \cdots\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{\prod_i n_{i}!}}\left(a_1^{+}\right)^{n_1}\left(a_2^{+}\right)^{n_2} \cdots|0\rangle
$$

对易关系为

$$
\begin{gathered}
{\left[a_i, a_j^{+}\right]=\delta_{i j}} \\
{\left[a_i, a_j\right]=\left[a_i^{+}, a_j^{+}\right]=0, \quad i, j=1,2,3, \cdots, N}
\end{gathered}
$$

在粒子数表象中，单体算符式（10．31）可表示成

$$
\hat{F}=\sum_{\alpha \beta} f_{\alpha \beta} a_\alpha^{+} a_\beta
$$

其中，$f_{\alpha \beta}=\left(\psi_\alpha, \hat{f}(1) \psi_\beta\right)$ 是单粒子算符 $\hat{f}(1)$ 在单粒子态 $\psi_\alpha$ 和 $\psi_\beta$ 之间的矩阵元．
算符 $\hat{F}$ 的平均值：

$$
\begin{aligned}
\bar{F} & =\left\langle\cdots n_k \cdots n_i \cdots\right| \hat{F}\left|\cdots n_i \cdots n_k \cdots\right\rangle=\sum_\alpha f_{\alpha \alpha}\left\langle\cdots n_k \cdots n_i \cdots\right| a_\alpha^{+} a_\alpha\left|\cdots n_i \cdots n_k \cdots\right\rangle \\
& =\sum_\alpha f_{\alpha \alpha}\left\langle\cdots n_k \cdots n_i \cdots\right| n_\alpha\left|\cdots n_i \cdots n_k \cdots\right\rangle \\
& =\sum_\alpha f_{\alpha \alpha} n_\alpha
\end{aligned}
$$

上式结果与式（10．32）一致。
算符 $\hat{F}$ 的矩阵元

$$
\begin{aligned}
(\hat{F})_{i k} & =\left\langle\cdots\left(n_k-1\right) \cdots\left(n_i+1\right) \cdots\right| \hat{F}\left|\cdots n_i \cdots n_k \cdots\right\rangle \\
& =\sum_{\alpha \beta} f_{\alpha \beta}\left\langle\cdots\left(n_k-1\right) \cdots\left(n_i+1\right) \cdots\right| a_\alpha^{+} a_\beta\left|\cdots n_i \cdots n_k \cdots\right\rangle \\
& =\sum_{\alpha \beta} f_{\alpha \beta} \sqrt{n_i+1} \delta_{\alpha i}\left\langle\cdots\left(n_k-1\right) \cdots\left(n_i+1\right) \cdots \mid \cdots\left(n_i+1\right) \cdots\left(n_k-1\right) \cdots\right\rangle \sqrt{n_k} \delta_{\beta k} \\
& =\sqrt{\left(n_i+1\right) n_k} f_{i k}
\end{aligned}
$$

上式推导中利用了式（10．20）．上述结果与式（10．33）一致．显然，在粒子数表中的上述推导要简单得多．

对于二体算符也比较常见，例如两电子之间的库仑势 $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0\left|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j\right|}$ 等．设

$$
\hat{G}=\sum_{a<b}^N \hat{g}(a, b)
$$

它是各二体算符 $\hat{g}(a, b)=\hat{g}(b, a)$ 之和．可以证明：在粒子数表象中，$\hat{G}$ 可表示为

$$
\hat{G}=\frac{1}{2} \sum_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime} \alpha \beta} g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}, \beta \alpha} a_{\alpha^{\prime}}^{+} a_{\beta^{\prime}}^{+} a_\beta a_\alpha
$$

其中，$g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}, \beta \alpha} \equiv\left(\psi_{\alpha^{\prime}}\left(q_1\right) \psi_{\beta^{\prime}}\left(q_2\right), \hat{g}(1,2) \psi_\beta\left(q_2\right) \psi_\alpha\left(q_1\right)\right)=\left\langle\alpha^{\prime} \beta^{\prime}\right| \hat{g}|\beta \alpha\rangle$ ．

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