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纠缠态贝尔基

10.5 纠缠态 贝尔基

当一个量子系统有多个自由度时，其量子态往往是各自由度波函数或态矢的乘积，或称直积，用＂$\otimes$＂表示。一般而言，矩阵直积的定义如下：

设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{p \times q}$ ，则它们的直积是一个 $m p \times n q$ 的矩阵：

$$
A \otimes B=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} B & a_{12} B & \cdots & a_{1 n} B \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} B & a_{m 2} B & \cdots & a_{m n} B
\end{array}\right)=\cdots \cdots
$$

例如，氢原子中的电子在三维空间中运动，其轨道波函数为

$$
\psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=R_{n l}(r) \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)
$$

此外，电子还有内禀自由度自旋，完整量子态是轨道和自旋态的直积，称为可分离态．例如，电子的 1 s 态 $(n=1, l=0, m=0)$ ，自旋向上，其完整量子态为

$$
|1 \mathrm{~s} \uparrow\rangle=\left|\psi_{1 \mathrm{~s}}(\boldsymbol{r})\right\rangle \otimes|\uparrow\rangle=\binom{\psi_{1 \mathrm{~s}}(\boldsymbol{r})}{0}=\binom{R_{10}(r) \mathrm{Y}_{00}(\theta, \varphi)}{0}
$$

对于氦原子，有两个电子，它们的轨道量子态均为 1 s 态，只有唯一组合方式，即直积

$$
\left|\psi_{1 \mathrm{~s}}\left(\boldsymbol{r}_1\right)\right\rangle \otimes\left|\psi_{1 \mathrm{~s}}\left(\boldsymbol{r}_2\right)\right\rangle=|1 \mathrm{~s}(1) 1 \mathrm{~s}(2)\rangle
$$

上式是交换对称的．两个电子是全同费米子，波函数必须反对称．利用式（10．11）和式（10．13），符合反对称要求的自旋波函数为

$$
\chi_{\mathrm{A}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow \downarrow\rangle_{12}-|\downarrow \uparrow\rangle_{12}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2-|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2\right)
$$

显然，在式（10．15）中交换 1 和 2 自旋后波函数要变号，这是氦原子基态正确的自旋态矢，即占据同一轨道量子态的两个电子，自旋必须相反．

值得注意的是：式（10．15）是两个直积态的相干叠加，而不能表述为两个因子的直积．这种不能写成量子系统中各子系统或各自由度态矢直积的状态（可分离态），是一种量子关联，称为纠缠态（entangled state）。

在微观多粒子系统中，均可发生粒子之间的量子关联现象，即量子纠缠，所形成的态即为纠缠态。一个量子态是否纠缠态，与所选用的表象无关！有关量子纠缠和纠缠态，有许多奇异物理特性和现象，如超距作用等；还有许多诱人的应用前景，如量子计算、量子通信等，将在第 $11 、 12$ 章中介绍．

多粒子体系的量子态，需要用一组彼此对易的力学量（可观测量）的共同本征态来完全确定．考虑自旋二体算符构成的共同本征态，可以证明

$$
\begin{aligned}
& \left(\sigma_{1 x} \sigma_{2 x}\right)\left(\sigma_{1 y} \sigma_{2 y}\right)\left(\sigma_{1 z} \sigma_{2 z}\right)=-1 \\
& \left(\sigma_{1 x} \sigma_{2 y}\right)\left(\sigma_{1 y} \sigma_{2 z}\right)\left(\sigma_{1 z} \sigma_{2 x}\right)=-1 \\
& \left(\sigma_{1 x} \sigma_{2 z}\right)\left(\sigma_{1 z} \sigma_{2 y}\right)\left(\sigma_{1 y} \sigma_{2 x}\right)=-1
\end{aligned}
$$

例如，利用公式 $\sigma_\alpha \sigma_\beta=\mathrm{i} \sum_\gamma \varepsilon_{\alpha \beta \gamma} \sigma_\gamma+\delta_{\alpha \beta}$ ，式（10．16）第一式为

$$
\begin{aligned}
\left(\sigma_{1 x} \sigma_{2 x}\right)\left(\sigma_{1 y} \sigma_{2 y}\right)\left(\sigma_{1 z} \sigma_{2 z}\right) & =\sigma_{1 x} \sigma_{1 y} \sigma_{2 x} \sigma_{2 y}\left(\sigma_{1 z} \sigma_{2 z}\right) \\
& =\mathrm{i} \sigma_{1 z} \mathrm{i} \sigma_{2 z} \sigma_{1 z} \sigma_{2 z}=-\left(\sigma_{1 z}\right)^2\left(\sigma_{2 z}\right)^2 \\
& =-1
\end{aligned}
$$

上述证明利用了不同粒子的算符相互对易的属性．其余类似可证．
此外，还可以证明：式（10．16）中任何一式左侧 3 个二体自旋算符中的任何两个均构成两电子体系的一组彼此对易的力学量完备集，采用 $\left(\sigma_{1 z}, \sigma_{2 z}\right)$ 表象，它们共同的本征函数为

$$
\begin{aligned}
& \left|\psi^{ \pm}\right\rangle_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow \downarrow\rangle_{12} \pm|\downarrow \uparrow\rangle_{12}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \pm|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2\right) \\
& \left|\varphi^{ \pm}\right\rangle_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow \uparrow\rangle_{12} \pm|\downarrow \downarrow\rangle_{12}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \pm|\downarrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2\right)
\end{aligned}
$$

式（10．17）就是著名的贝尔（Bell）基，它们彼此正交归一，且两粒子交换对称或反对称；每一式给出的态均为两个直积态的相干叠加，是纠缠态．四个贝尔基均为二体自旋算符 $\sigma_{1 x} \sigma_{2 x}$ 和 $\sigma_{1 y} \sigma_{2 y}$ 的共同本征态；因为采用了 $\sigma_{1 z} \sigma_{2 z}$ 表象，故贝尔基也是 $\sigma_{1 z} \sigma_{2 z}$ 的本征态，各算符的本征值如表 10.2 所示．

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