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牛顿引力的相对性原理

迄今为止，人类在自然界中已经发现了四种基本相互作用：电磁、强、弱相互作用和引力相互作用．引力看起来最简单，但却是最神秘的．让我们先回顾一下已知的关于引力的基础知识．首先，引力是普适的，它在任何形式的能量之间发生相互作用，因此也常被称为万有引力．其次，引力是不受屏蔽的，总是吸引的．换句话说，不存在负引力荷的物体，因为能量总是正的．再次，引力是一种长程力，它与电磁力类似，是一种与距离平方成反比的力．物体携带的电荷可正可负，同种电荷间电磁力是排斥的，异种电荷间电磁力是吸引的，而物体的引力荷（能量或者质量）总是正的，因此引力总是吸引的。从现代量子场论的观点看，传播引力的粒子是一个无质量的自旋为 2 的粒子，即引力子．然而，与其他三种相互作用可以通过量子规范场论来统一描述不同，引力无法通过量子规范场论来描述，引力的量子化仍然是一个困扰着物理学家的超级难题 ${ }^{(1)}$ ．最后，与自然界的其他三种相互作用力比，引力是最弱的．比如说，考虑质子－质子系统，引力与电磁力相比小了 36 个数量级：

$$
\frac{F_{\mathrm{g}}}{F_{\mathrm{e}}}=\frac{G m_{\mathrm{p}}^2 / r^2}{e^2 /\left(4 \pi \epsilon_0 r^2\right)} \sim 10^{-36}
$$
引力尽管最微弱，但也许是宇宙中最重要的力：它支配着宇宙的演化、大尺度结构的形成、恒星的演化、行星的形成及其运动，等等．

在物理学的研究中，引力是最早被人们关注的相互作用．早在 16 世纪，意大利科学家伽利略就推翻了之前的错误观念，指出在地球引力作用下物体的运动状态与其质量无关．用现代的语言，就是说引力质量与惯性质量相等．另一方面，第谷经过长期天文观测积累了大量关于太阳系中星体运动的数据，而开普勒从这些数据中分析总结出行星运动的三大定律。但是人们并不清楚这些运动规律背后的物理。17世纪，伟大的英国物理学家牛顿提出了万有引力，指出主宰行星运动的相互作用与地球的引力实际上是同一种力，都来自质量之间的相互吸引。牛顿引力成功地对太阳系中行星的运动进行了物理解释，也对地月运动中的各种物理现象，如引潮力（tidal force）给出了令人满意的解释．牛顿的万有引力很好地嵌入他的力学体系中．经过拉普拉斯（Laplace）、泊松和哈密顿（Hamilton）等人的发展，这个力学体系严谨成熟了。特别是随着摄动理论的深人发展，在 19 世纪，牛顿引力对太阳系中行星运动的描述和预言都非常精确，
以至人们很难想象它可能还需要发展．直到 20 世纪初，随着爱因斯坦狭义相对论的提出，牛顿引力才面临了严峻的挑战。

在牛顿引力中，我们可以通过泊松方程来给出一个物质分布导致的引力势：

$$
\nabla^2 \Phi=4 \pi G \rho
$$

其中 $\Phi$ 是引力势，$G$ 是牛顿引力常数，而 $\rho$ 是质量密度分布。由此可见，一旦给定了系统的物质分布，这个系统的引力势就确定了。如果有一个质量为 $m$ 的物体通过万有引力与这个系统发生相互作用，由牛顿第二定律可知相互作用为 $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{g}$ ，其中 $\boldsymbol{g}$ 由引力势的梯度确定：

$$
\boldsymbol{g}=-\nabla \Phi,
$$

也就是说，引力加速度完全由原来系统的引力势确定，与物体本身的质量无关．
在牛顿引力中，引力来自物体的质量，看起来与几何没有任何关系．然而，相对论原理与牛顿引力是不相容的，这种不相容性的一个具体体现就是引力的红移效应．也就是说，光子在一个引力势中必须克服势能的影响，从而其波长会发生变化。引力红移的一个直接后果是时空几何不可能是平直的．因此，在相对论性引力中，弯曲时空是无法避免的。在本章中，我们首先回顾一下牛顿引力的基本要点，以及在牛顿引力中惯性质量等于引力质量这个重要的事实。我们将仔细讨论与等效原理相关的物理实验。然后，我们将通过理想实验讨论引力的红移效应，以及它在全球定位系统（GPS）中的应用．最后，利用引力红移，我们将看到时空几何必须是弯曲的．

3.1 牛顿引力与相对论原理的不相容性

牛顿引力经过两百年的发展，在 19 世纪后半叶已经发展得非常成熟．利用摄动理论，太阳系中行星们的运动都可以被很好地描述．特别是有人利用牛顿引力理论预言了海王星的存在，使人们相信牛顿引力理论是一个终极理论，足以描述我们的宇宙．因此，尽管人们经过上百年的观测，发现水星近日点的进动与理论预言有微小的偏差 ${ }^{(2)}$ ，但仍然认为这个偏差也许来自未被发现的小行星或者其他天体的影响，而并没有觉得有必要对牛顿引力进行修正．确实，这个偏差只有大约 $10^{-7}$ ，是如此微小，很难引起人们的注意。

1687年，牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了万有引力定律．简而言之，这个定律可以表述为：一切物体之间都具有一种吸引力，这种力正比于物体的质量，反比于
物体间距离的平方．如果把两个物体近似看作质点，分别具有质量 $M$ 和 $m$ ，则它们之间的引力为

$$
\boldsymbol{F}=-\frac{G M m}{r^2} \boldsymbol{e}_r
$$

其中 $G$ 是牛顿引力常数，而 $e_r$ 表示连接这两个质点的单位矢量．利用牛顿力学第二定律 $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{g}$ ，我们可以引进一个引力势

$$
\Phi=-\frac{G M}{r}
$$

它是物体 $M$ 的引力势，其梯度给出引力加速度

$$
\boldsymbol{g}=-\nabla \Phi=-\frac{G M}{r^2} \boldsymbol{e}_r
$$

实际上，上面给出的 $\boldsymbol{F}, \Phi$ 的形式只有当物质分布是球对称时才是正确的．前面的讨论假定物体为质点，更一般地，我们可以考虑 $N$ 个点粒子的引力势，它是单个点粒子引力势的线性叠加：

$$
\Phi(\boldsymbol{x})=-G \sum_{i=1}^N \frac{m_i}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i\right|}
$$
如果是连续发布，我们可以把求和变成积分，从而得到

$$
\Phi(\boldsymbol{x})=-G \int \frac{\rho\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|} \mathrm{d}^3 x^{\prime}
$$

由此可得引力势满足的泊松方程

$$
\nabla^2 \Phi(\boldsymbol{x})=4 \pi G \rho(\boldsymbol{x}) .
$$

这个方程可以当作牛顿引力理论的核心，其中 $\Phi$ 是引力势，$G$ 是牛顿引力常数，而 $\rho$是刻画物质分布的质量密度。（3．6）式说明，一旦知道了物质的分布，这些物质造成的引力势就被确定了。简单地说，$\rho$ 是形成引力势的源。如果考虑一个质量为 $m$ 的粒子在引力势中，则这个粒子所受的力为

$$
\boldsymbol{f}=m \boldsymbol{g},
$$

其中的引力加速度完全由引力势的梯度确定：

$$
\boldsymbol{g}=-\nabla \Phi .
$$

实际上，这里的讨论用到了惯性质量等于引力质量的（弱）等效原理，因此所有在某个引力势中的物体，无论其材质或者质量如何，都有相同的引力加速度．

泊松方程是二阶线性微分方程，可以利用线性叠加原理来求解。它可以和麦克斯韦方程组中的静电势方程比较，唯一的不同是质量密度总是正的，而电荷密度可正可负．为了求解此方程，需要额外地加上对引力势的边界条件，通常我们要求引力势在无穷远处为零．由高斯定理，

$$
\int_S \boldsymbol{g} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{S}=-\int_V \nabla \cdot(\nabla \Phi)=-\int_V 4 \pi G \rho=-4 \pi G M
$$

对一个球对称分布的质量，

$$
\boldsymbol{g}=-\frac{G M}{r^2} \boldsymbol{e}_r
$$

如果物质分布并非球对称的，在距离较远时我们可以通过多极展开来处理．假定源所处的位置用 $\boldsymbol{x}^{\prime}$ 来表示，在（3．5）式中我们可以做展开

$$
\frac{1}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|}=\frac{1}{r}+\sum_i \frac{x^i x^{\prime i}}{r^3}+\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(3 x^i x^{\prime j}-r^2 \delta^{i j}\right) \frac{x^i x^j}{r^5}+\cdots
$$

而逐阶得到牛顿引力势
$$
\Phi(\boldsymbol{x})=-\frac{G M}{r}-\frac{G}{r^3} \sum_i x^i D^i-\frac{G}{2 r^5} \sum_{i, j} x^i x^j Q^{i j}+\cdots,
$$

其中

$$
\begin{aligned}
M & =\int \rho\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime} \\
D^i & =\int x^{\prime i} \rho\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime} \\
Q^{i j} & =\int\left(3 x^{i i} x^{\prime j}-r^2 \delta^{i j}\right) \rho\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime}
\end{aligned}
$$

分别是质量分布源的总质量（质量单极矩）、质量偶极矩和质量四极矩。如果我们选择坐标原点为质心，则质量偶极矩为零。所以，对平方反比律的一阶修正来自质量四极矩，这是一个 $1 / r^4$ 的修正。质量四极矩会导致通常的闭合椭圆轨道不封闭，从而出现进动．比如说地球的两极半径比赤道半径小千分之三，由此产生的四极矩会使卫星轨道产生进动．实际上，利用卫星轨道的进动可以探测地球的质量分布．太阳近乎是一个理想球体，两极半径与赤道半径只差十万分之几，四极矩非常小，但也对水星的轨道产生了影响。准确地说，在牛顿引力中除了太阳本身的质量四极矩以外，对水星轨道影响
更大的是其他行星的扰动．这些扰动导致水星近日点每百年进动约 $500^{\prime \prime}$ ，而太阳四极矩的影响是每百年几个弧秒。考虑了这两个效应以后，观测到的水星近日点进动仍然残余有每百年约 $43^{\prime \prime}$ 无法解释，这个微小的偏差最终成为对广义相对论的重要检验。

由于泊松方程是线性方程，所以在牛顿引力中引力势可以线性叠加．另一方面，从现代的观点看，引力是通过引力子来传播的，而引力场本身携带能量，利用相对论质能关系 $E=m c^2$ ，质量与能量是不可分的，所以引力场也有＂质量＂，将产生下一级的引力场。由此可见，引力场本身并不能简单地用线性方程来描述，而必须用非线性方程来描述，泊松方程显然不符合此要求。

牛顿引力与狭义相对论的不相容性有多方面的反映．首先，在牛顿引力中，引力的传播是瞬时的。譬如，太阳的质量发生变化，由此产生的引力场变化地球瞬间就可以感觉到，这与相对论中信息的传播不能超过光速相矛盾。相应地，这也破坏了因果性．其次，牛顿引力方程不是相对论协变的。前述的泊松方程的左边只包含空间导数，与时间无关，而泊松方程的右边只有能量密度 $\rho$ ，它并不是一个张量，只是能动张量的一个分量，所以泊松方程本身不是相对论协变的．对泊松方程的一个简单的推广并不能使引力场方程相对论化．

对很多人来说，牛顿引力与狭义相对论的不相容性也许并不是一个问题．特别对于牛顿引力，它已经经过了大量观测实验的检验，没有很强的实验迹象要求我们对它进行修改。但对爱因斯坦来说，这是一个巨大的危机，因为他相信我们的世界应该是简单、优美、和谐统一的．正是这种对美和简洁性的追求驱使爱因斯坦寻找与相对论相容的引力理论． 1907 年，爱因斯坦着手为《放射学和电子学年鉴》撰写一篇介绍狭义相对论的综述文章。在写作过程中，他意识到牛顿引力与狭义相对论的不相容性。在随后的八年时光中，爱因斯坦经过艰苦曲折的努力，终于在 1915 年底建立了引力的相对论性理论——广义相对论．爱因斯坦不仅建立了广义相对论，也在方法论上发展了物理学研究的新思路．在现代理论物理研究中，要求一个理论体系具有自洽性成为了研究中的一条基本原则．

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