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弱等效原理

3.2 弱等效原理（WEP）

在牛顿引力中，弱等效原理起着重要的作用．弱等效原理（weak equivalence prin－ ciple，简记为 WEP）可以表述如下。

弱等效原理 惯性质量和引力质量相等，即 $m_{\mathrm{i}}=m_{\mathrm{g}}$ 。
惯性质量指的是牛顿第二定律

$$
\boldsymbol{f}=m_{\mathrm{i}} \boldsymbol{a}
$$

中的质量 $m_{\mathrm{i}}$ ，它刻画了在任何外力下物体表现出的惯性，质量越大，惯性越大．而引力质量特指在引力相互作用中，两个物体互相吸引时的质量。前面我们导出的引力加速度只与引力势的梯度有关，实际上用到了弱等效原理，因为

$$
m_{\mathrm{i}} \ddot{r}=-m_{\mathrm{g}} \nabla \Phi
$$

方程的左边是牛顿第二定律，右边是引力，只有当惯性质量等于引力质量时，才有

$$
\boldsymbol{g}=-\nabla \Phi .
$$

（3．15）式有着重要的物理意义，它告诉我们所有物质对引力的反应都是一样的：它们在某一引力场中都以相同的加速度下落．比如说在地球的引力场中，无论物体是何材质，只要初始条件一样，则它们下落的运动状态就是一样的．

实验上，对弱等效原理的检验有很长的历史，也达到了非常高的精度。传说中伽利略的比萨斜塔实验中用到了两个质量不同的铁球，证明了它们的运动状态相同，推翻了亚里士多德（Aristotle）关于＂越重物体下落越快＂的论断 ${ }^{(3)}$ 。类似的实验可以选用不同材质的物体，屏蔽掉空气阻力的影响，也能得到相同的结论。当然，这类实验的精度较低．伽利略提出的精度更高的实验是利用单摆，通过选择不同物体作为摆锤，分析单摆的运动周期，从而可以较精确地检验弱等效原理，精度可以达到约 $10^{-3}$ 。在伽利略之后，牛顿、贝塞尔（Bessel）、波特（Potter）等人都利用单摆做过实验，进一步提高了精度．
19 世纪末，厄缶（Eötvös）天才地提出利用扭秤平衡来精巧地检验弱等效原理的方法，大大提高了实验精度，达到 $10^{-9}$ ．这种想法在 20 世纪60年代以后被进一步地发展。迪克（Dick）领导的实验组，以及布拉金斯基（Braginsky）等领导的小组先后对弱等效原理做了更精细的检验，精度达到了 $10^{-11}$ 。2017年底，MICROSCOPE 卫星实验把精度提高到 $10^{-14}$ ．而基于卫星试验的 STEP（Satellite Test of Equivalence Principle）计划将精度提高到 $10^{-17}$ ．图 3.1 给出了截至 21 世纪初对弱等效原理的实验检验．

可以说，弱等效原理通过了有史以来物理学中最精确的实验检验，甚至超过了电弱标准模型的实验检验精度。因此，弱等效原理的准确性被广为接受。下面我们简单介绍两个这方面的实验。
（1）地月激光测距。
如今，弱等效原理可以利用地球和月亮在太阳系中的运动来检验。此时，太阳的引力势是确定的，我们通过确定地月之间的精确位置就可以很好地检验弱等效原理，精
 ![图片](/uploads/2025-11/295f50.jpg)
 
 度可以达到 $10^{-13}$ ．而且，对于地球和月亮而言，它们都可能有较大的自引力能，从而对惯性质量和引力质量的等价性提出挑战。问题的关键是测定地月间的相对精确位置。为此，我们需要所谓的地月激光测距（lunar laser ranging，简记为 LLP）技术，它可以精确地测量地月间的距离，精度达到 $10^{-10}$ ．这个实验的想法很简单：我们通过飞船在月球上放置大量的立体角面镜（corner－cube），这些角面镜可以作为反射器，打到镜面上的光线将被反射回来。从1969年开始，先后有得克萨斯洛克山上的研究小组和法国的一个研究小组利用角面镜测定地月距离，方法是从地面向月球发射激光脉冲．比如说脉冲的周期为 200 ps ，每一次有 $10^{18}$ 个光子，每一秒发射 10 组脉冲，由于空气的衍射和折射，这些光子到达月球上时形成了半径为 7 km 的圆盘，光子中只有十亿分之一可以打到角面镜上并被反射回地球．反射回地球的光子会分散到半径为 20 km 的区域中，因此一个口径为 1 m 的望远镜只能捕捉到十亿分之一的反射光子．这使得望远镜每几秒钟才能收集到一个反射光子。
（2）厄缶的扭秤平衡实验．
检验弱等效原理最有名的实验是厄缶在 1890 年设计的扭秤平衡实验．这个实验是如此的精巧，使厄缶获得了哥廷根大学原准备给予理论竞赛的奖金。我们简要介绍一下这个实验的主要思想．考虑地球上有个扭秤，扭秤的两端有质量可以不同的球，达到平衡．在地球上，除了引力以外，还存在着由于地球转动导致的离心力．离心力的一
部分可以分解到与引力相反的方向上，另一部分分解到水平方向上：

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_z+\boldsymbol{a}_x .
$$

两个秤砣质量可以不一样，但处于平衡位置，这就要求在不同方向上的扭矩达到平衡．如图 3.2 所示，在绕 $z$ 轴的方向上，可能的转动为

$$
\tau=m_{A, \mathrm{i}} a_x l-m_{B, \mathrm{i}} a_x l^{\prime},
$$

而在绕 $x$ 轴的方向上，平衡条件要求

$$
\left(m_{A, \mathrm{~g}} g-m_{A, \mathrm{i}} a_z\right) l=\left(m_{B, \mathrm{~g}} g-m_{B, \mathrm{i}} a_z\right) l^{\prime}
$$

![图片](/uploads/2025-11/08b13b.jpg)
 
 关系（3．18）导致

$$
l^{\prime}=\frac{m_{A, \mathrm{~g}} g-m_{A, \mathrm{i}} a_z}{m_{B, \mathrm{~g}} g-m_{B, \mathrm{i}} a_z} .
$$

因此，可能的转动可以表达为

$$
\tau=m_{A, \mathrm{i}} g l\left(\frac{\frac{m_{B, \mathrm{~g}}}{m_{B, \mathrm{i}}}-\frac{m_{A, \mathrm{~g}}}{m_{A, \mathrm{i}}}}{\frac{m_{B, \mathrm{~g}}}{m_{B, \mathrm{i}}} g-a_z}\right) .
$$

所以，不存在额外转动的充要条件是

$$
\frac{m_{B, \mathrm{~g}}}{m_{B, \mathrm{i}}}=\frac{m_{A, \mathrm{~g}}}{m_{A, \mathrm{i}}} .
$$

也就是说，只有当弱等效原理对两个秤砣都成立时，我们才观测不到扭转．
从上面的介绍中可以看到，厄缶实验的设计很简单，但想法却很出色，以当时的实验条件就可以把检验的精度提高到 $10^{-9}$ ．基于这种想法的现代实验可以更加精细，主要的改进有：把两个秤砣换成四个质量块、尽量避免地球引力势梯度的影响、屏蔽掉磁和热效应的影响、按周期转动吊臂等．实验的精度从而可以达到 $10^{-12}$ ．

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