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实变函数论
第一章 集合与点集
康托尔三分集为什么是完备集
最后
更新:
2025-11-20 21:23
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康托尔三分集为什么是完备集
说得好!康托尔集是数学中一个非常反直觉的经典例子。它看起来是由一堆“离散的”、“稀疏的”点组成的,但它却是一个**完备集**。我们来一步步拆解,看它如何同时满足完备集的两个条件:**1. 是闭集** 和 **2. 没有孤立点**。 ### 第一步:快速回顾康托尔三分集的构造 康托尔集 $ C $ 是从闭区间 $ [0, 1] $ 开始,通过一个无限过程构造出来的: 1. **第一步**:去掉中间的开放区间 $ (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) $,剩下 $ [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1] $。 2. **第二步**:从剩下的两个闭区间里,各自再去掉中间的三分之一开区间,即去掉 $ (\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) $ 和 $ (\frac{7}{9}, \frac{8}{9}) $。剩下四个更短的闭区间。 3. 将这个步骤无限进行下去。**康托尔集 $ C $ 就是所有步骤结束后,永远不被去掉的点的集合。** --- ### 第二步:证明康托尔集是闭集 **证明思路:证明一个集合是闭集,一个简单的方法是证明它的补集是开集。** * 在构造的每一步(比如第n步),我们去掉的都是**开区间**。例如第一步去掉的是开区间 $ (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) $,第二步去掉的是两个开区间,等等。 * 所有这些被去掉的开区间的并集,我们记为 $ O $。因为无数个开区间的并集仍然是开集,所以 $ O $ 是一个开集。 * 康托尔集 $
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