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转动参考系

＊5．7 转动参考系
上一节中我们讨论了匀加速运动观测者的参考系，已经发现了一些有趣的物理效应．本节讨论一下平直时空中转动观测者的物理效应．考虑在 $x-y$ 平面中的转动，利用这个平面中的极坐标 $(r, \theta)$ ，平直时空的度规可以写作

$$
\mathrm{d} s^2=-c^2 \mathrm{~d} t^2+\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2+\mathrm{d} z^2 .
$$

考虑一个角速度为 $\omega$ 的匀速转动圆盘，我们可以定义共动坐标

$$
T=t, \quad R=r, \quad \phi=\theta-\omega t, \quad Z=z,
$$

得到相对于转动观测者的度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R^2 \omega^2}{c^2}\right) c^2 \mathrm{~d} T^2+\mathrm{d} R^2+2 R^2 \omega \mathrm{~d} T \mathrm{~d} \phi+R^2 \mathrm{~d} \phi^2+\mathrm{d} Z^2
$$

其中

$$
g_{T T}=-\gamma^{-2}, \quad \gamma=\left(1-\frac{R^2 \omega^2}{c^2}\right)^{-1 / 2} .
$$
由坐标变换，我们可以得到在转动坐标系下的基矢

$$
\widehat{e}_T=\widehat{e}_t+\omega \widehat{e}_\theta, \quad \widehat{e}_R=\widehat{e}_r, \quad \widehat{e}_\phi=\widehat{e}_\theta, \quad \widehat{e}_Z=\widehat{e}_z .
$$

易见，由于转动的存在，即使 $T=t$ ，也有基矢 $\widehat{e}_T \neq \widehat{e}_t$ ．在转动坐标系中，我们可以得到正交基矢场

$$
\widehat{e}_0=\gamma \widehat{e}_T, \quad \widehat{e}_1=\widehat{e}_R, \quad \widehat{e}_2=\gamma^{-1} R^{-1} \widehat{e}_\phi+\gamma R \omega \widehat{e}_T, \quad \widehat{e}_3=\widehat{e}_Z .
$$

考虑在此参考系中，两个等时点间的距离，此时的空间线元变成

$$
\mathrm{d} l^2=\mathrm{d} R^2+\gamma^2 R^2 \mathrm{~d} \phi^2+\mathrm{d} Z^2 .
$$

这个线元可以这样得到：当 $T=$ 常数时，正交的空间标架场为

$$
\widehat{e}_1=\widehat{e}_R, \quad \widehat{e}_2=\gamma^{-1} R^{-1} \widehat{e}_\phi, \quad \widehat{e}_3=\widehat{e}_Z,
$$

它们给出局部的三维平直空间，然而它们对应的几何度规应该是（5．259）式，否则这些标架场无法保持正交归一．对于在（5．259）式几何中相同半径上的两点，其沿圆的弧长线元为

$$
\mathrm{d} l_\phi=\gamma R \mathrm{~d} \phi .
$$

由此我们得到了半径为 $R$ 的圆的周长

$$
C=2 \pi \gamma R,
$$

而沿径向的线元为

$$
\mathrm{d} l_R=\mathrm{d} R .
$$

所以，半径就是 $R$ ．然而如果我们考虑

$$
\frac{\text { 周长 }}{\text { 半径 }}=\frac{C}{R}=2 \pi \gamma>2 \pi \text {, }
$$

这意味着对于转动观测者，空间是弯曲的．需要注意的是，时空流形本身仍然是平直的。

进一步地，我们可以考虑转动观测者固有时的变化．考虑一个固定 $R, \phi, Z$ 的观测者，其固有时为

$$
\mathrm{d} \tau^2=-g_{T T} \mathrm{~d} T^2,
$$

即

$$
\mathrm{d} \tau=\gamma^{-1} \mathrm{~d} T<\mathrm{d} T .
$$

也就是说，一个转动观测者的时间要走得慢些．一个在转动圆盘边缘的时钟比一个在圆盘中心的时钟走得慢．更一般地，位置越在外的时钟走得越慢．

转动参考系中不同径向位置的固有时可以从不同的角度进行理解。固有时

$$
\tau=\sqrt{1-\frac{R^2 \omega^2}{c^2}} \tau_0,
$$

其中 $\tau_0$ 是在转动轴所在位置的固有时，也就是相对于静止参考系而言．从静止参考系的观测者角度，上面的固有时关系可以理解为狭义相对论中的时间延长效应，因为 $R \omega$正好是线速度．另一方面，从转动参考系的角度，

$$
\mathrm{d} \tau=\sqrt{1-\frac{R^2 \omega^2}{c^2}} \mathrm{~d} T
$$

来自时空本身度规的变化．可见，同一物理效应的解释依赖于参考系的选择．在转动参考系中，观测者感觉到离心力场．由等效原理，离心加速度可以等效为一个引力加速度，相应的引力势为

$$
\Phi=-\int_0^R R^{\prime} \omega^2 \mathrm{~d} R^{\prime}=-\frac{1}{2} R^2 \omega^2,
$$

这里我们令引力势 $\left.\Phi\right|_{R=0}=0$ ．因此

$$
\mathrm{d} \tau=\sqrt{1+\frac{2 \Phi}{c^2}} \mathrm{~d} \tau_0
$$

这正是在引力势中时间变慢的效应，也就是引力红移效应．
转动参考系中另一个有趣的现象是时钟的同时性问题．通常在相对论中两个事件点的时钟可以用以下方法同时化．如图 5.14 所示，我们可以利用光信号：首先从 $A$

![图片](/uploads/2025-11/9ab1db.jpg)
 
 到 $B$ ，然后从 $B$ 返回 $A$ ．如果在 $B$ 处的时间坐标为 $x^0$ ，从 $A$ 发射时的坐标时间是 $x^0+\mathrm{d} x^{0(2)}$ ，而接收时的坐标时间是 $x^0+\mathrm{d} x^{0(1)}$ ，则与 $B$ 世界线上坐标时 $x^0$ 同时的 $A$世界线的坐标时为

$$
x^0+\frac{\mathrm{d} x^{0(1)}+\mathrm{d} x^{0(2)}}{2} .
$$

对于一个一般的转动参考系，其时空线元为

$$
\mathrm{d} s^2=g_{00}\left(\mathrm{~d} x^0\right)^2+2 g_{0 i} \mathrm{~d} x^0 \mathrm{~d} x^i+g_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$

光子走零路径，因此由 $\mathrm{d} s^2=0$ ，可以解出两个解，其中一个 $\mathrm{d} x^{0(2)}<0$ ，另一个 $\mathrm{d} x^{0(1)}>$ 0 ．前面 $A$ 世界线中同时的点为

$$
x^0+\Delta x^0=x^0-\frac{g_{0 i} \mathrm{~d} x^i}{g_{00}}
$$

由于在转动参考系中 $g_{0 i} \neq 0$ ，所以 $\Delta x^0 \neq 0$ ．上面对同时性的处理适用于任何开线段，然而如果是一条闭合的曲线，钟的同时性一般是无法定义的．这是由于如果 $x^i$ 是闭合的，则发射和接收光子可能在同一点，这样

$$
\Delta x^0=-\oint \frac{g_{0 i}}{g_{00}} \mathrm{~d} x^i \neq 0
$$

也就是说，与 $B$ 世界线坐标时 $x^0$ 同时的 $A$ 世界线坐标时不是单值的．
一般而言，对于由（5．272）式描述的转动观测者看到的时空，我们可以讨论对于观测者而言的空间几何．此时，观测者的坐标系中，时间方向由观测者的 4－速度给出，

$$
\widehat{e}_0=\widehat{u},
$$

而类空的基矢 $\widehat{e}_i$ 不一定与 $\widehat{e}_0$ 正交，我们需要得到正交的部分，即要求

$$
\widehat{e}_{i \perp} \cdot \widehat{e}_0=0 .
$$

空间部分的度规为

$$
\gamma_{i j}=\widehat{e}_{i \perp} \cdot \widehat{e}_{j \perp}, \quad \gamma_{i 0}=0, \quad \gamma_{00}=0 .
$$

由于

$$
\widehat{e}_{i \perp}=\widehat{e}_i-\widehat{e}_{i \|},
$$

其中
$$
\widehat{e}_{i \|}=\frac{\widehat{e}_i \cdot \widehat{e}_0}{\widehat{e}_0 \cdot \widehat{e}_0} \widehat{e}_0=\frac{g_{i 0}}{g_{00}} \widehat{e}_0
$$

我们得到

$$
\gamma_{i j}=g_{i j}-\frac{g_{i 0} g_{j 0}}{g_{00}},
$$

而空间部分的线元为

$$
\mathrm{d} l^2=\gamma_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j .
$$

转动参考系中同时性无法定义这一事实通过萨尼亚克（Sagnac）实验得到验证．考虑在一个匀速转动圆盘上的实验装置．在某 $(R, \phi, Z)$ 处有一个光子发射器，既向与转动方向相同的 $+\phi$ 方向发射光子，也向 $-\phi$ 方向发射光子．两种光子沿半径为 $R$ 的圆周轨道运动一周后回到发射器并发生干涉．干涉条纹依赖于圆周半径以及圆盘转动角速度，两种光子回到发射器时的时间差为

$$
\Delta T=\frac{4 \pi \gamma^2 R^2 \omega}{c^2} .
$$

这个时间差我们可以利用两种方法来得到：
（1）首先我们从静止参考系的观点来看。在光子运动时，发射器也在运动，走了 $R \omega T$ 的距离，因此不同光子回到发射器的时间是不同的（假设转速较慢）：

$$
\begin{aligned}
& 2 \pi R+R \omega T_1=c T_1, \\
& 2 \pi R-R \omega T_2=c T_2,
\end{aligned}
$$

其中 $T_1\left(T_2\right)$ 是与转动方向同向（反向）运动光子所需要的时间．这个时间差为

$$
\Delta T=T_1-T_2=\frac{4 \gamma^2 A \omega}{c^2}
$$

其中 $A=\pi R^2$ ．
（2）我们也可以从转动参考系的角度来考虑此问题．此时 $\mathrm{d} s=\mathrm{d} R=\mathrm{d} Z=0$ ，所以

$$
R^2 \mathrm{~d} \phi^2+2 R^2 \omega \mathrm{~d} T \mathrm{~d} \phi-\left(c^2-R^2 \omega^2\right) \mathrm{d} T^2=0 .
$$

由此得到

$$
v_{ \pm}=R \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} T}=-R \omega \pm c,
$$

由于光子回到发射器的时间差，就有了光程差．如果圆盘转动得较慢，可以认为 $\gamma \approx 1$ ，则有

$$
\begin{aligned}
& l+\Delta l=2 \pi R+\frac{2 A \omega}{c} \\
& l-\Delta l=2 \pi R-\frac{2 A \omega}{c}
\end{aligned}
$$

光程差为 $\frac{4 A \omega}{c}$ ，导致的干涉条纹的移动为

$$
\Delta N=\frac{4 A \omega}{c \lambda},
$$

其中 $\lambda$ 是光子的波长．在1931年萨尼亚克的实验中，$\omega=14 \mathrm{rad} \cdot \mathrm{s}^{-1}, A=0.0863 \mathrm{~m}^2$ ， $\lambda=0.436 \times 10^{-6} \mathrm{~m}, \Delta N=0.036$ ．实验上确实看到了干涉条纹的变化．

利用萨尼亚克效应，可以通过光学方法来测量角速度，这是在惯性导航领域应用广泛的光学陀螺仪的理论基础．

萨尼亚克效应说明，在狭义相对论中角速度有着绝对的意义．每一个非加速观测者可以认为参考系是相对静止的，即速度是相对的，我们可以在适当的参考系中让速度为零。但对于角速度，我们却没有办法做到这一点。也就是说角速度有局部的观测效应．这一点不仅可以通过光学手段来测量，也可以通过傅科（Foucault）摆利用力学方法测量到。

下面我们考虑相对于转动参考系，在度规（5．255）下粒子的运动，并与其在静止参考系下的运动做比较。首先，我们可以计算出度规（5．255）的克里斯托弗符号（见习题 9）．其次，我们可以考虑粒子速度空间部分的变化率，即空间加速度

$$
\ddot{\boldsymbol{r}}=\dot{\boldsymbol{v}}=\left(\dot{v}^i+\Gamma_{j k}^i v^j v^k\right) \boldsymbol{e}_i
$$

注意在极坐标下 $v^r=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}, v^\phi=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}$ ，而粒子的运动在静止参考系下为

$$
\ddot{r}_{\text {iner }}=\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2\right) \widehat{e}_1+(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}) \widehat{e}_2,
$$

其中 $\widehat{e}_1=\widehat{e}_r, \widehat{e}_2=\frac{1}{r} \widehat{e}_\theta$ 是正交归一的基矢。在转动参考系下，粒子的运动为

$$
\begin{aligned}
\ddot{r}_{\text {rot }} & =\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2-r \omega^2-2 r \omega \dot{\theta}\right) \widehat{e}_1+(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}+2 \dot{r} \omega) \widehat{e}_2 \\
& =\ddot{r}_{\text {iner }}-\left(r \omega^2+2 r \omega \dot{\theta}\right) \widehat{e}_1+2 \dot{r} \omega \widehat{e}_2
\end{aligned}
$$

考虑到
$$
\boldsymbol{\omega}=\omega \widehat{e}_z, \quad \boldsymbol{r}=r \widehat{e}_1, \quad \dot{\boldsymbol{r}}=\dot{r} \widehat{e}_1+r \dot{\theta} \widehat{e}_2,
$$

我们发现

$$
\ddot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{rot}}=\ddot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{iner}}+\omega \times(\omega \times r)+2 \omega \times \dot{\boldsymbol{r}},
$$

其中右边的第二项是离心加速度，而第三项是科里奥利（Coriolis）加速度．

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