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匀加速观测者参考系

＊5．6 匀加速观测者参考系

实际上，费米—沃克尔移动为我们提供了建立非匀速运动观测者坐标系的方法。对于观测者而言，其标架场沿着观测者的世界线做费米－沃克尔移动。因此，对他而言，可以自然地选择固有时作为其时间坐标，而把另外三个与切矢量正交的方向分别定义为三个空间方向。选定了固有时的原点以及三个空间方向，在之后的每一个固有时时刻，他的标架都是通过费米－沃克尔移动确定的。由此，在每一个固有时时刻，这些类空的标架基矢张成了类空超曲面。这样我们就建立了观测者的坐标网格。对某个事件点 $P$ ，它必然在某个类空超曲面上，其相对于观测者的坐标就确定了。需要注意的是，观测者的坐标系一般而言无法覆盖整个时空流形，有一定的适用范围。

我们重新考虑平直时空中的匀加速运动。我们的关注点在于做匀加速运动的飞船中的观测者，他们看到的时空不再能够简单地用闵氏度规来描述．在一个静止坐标系中，一个沿 $+x$ 方向以地球引力加速度 $g$ 做匀加速运动的观测者，其世界线是

$$
x=g^{-1} \cosh (g \tau), \quad t=g^{-1} \sinh (g \tau) .
$$

我们设其固有时的原点在 $x(0)=g^{-1}, t(0)=0$ 处。对于这个观测者，坐标时间即是他携带的钟（原子钟）读出的固有时

$$
T=\tau .
$$

如图5．12所示，$P_0$ 点的类空超曲面正好经过事件点 $P$ ．相对于 $P_0$ 点的正交标架基 $\widehat{\Sigma}$ ，事件点 $P$ 的位置矢量为

$$
\widehat{X}=(0, X, Y, Z),
$$

也就是说，相对于 $P_0$ 点的参考系 $P$ 的空间坐标为 $(X, Y, Z)$ ，而时间坐标为零，这是因为 $P$ 与 $P_0$ 同时．下面我们建立 $P_0$ 点坐标系与原来的静止参考系间的联系．首先，$P_0$点相对于原来坐标系的坐标原点由矢量 $\widehat{x}_0$ 来描述，

$$
x_0=g^{-1} \cosh (g \tau), \quad t_0=g^{-1} \sinh (g \tau), \quad y_0=z_0=0,
$$

而点 $P$ 由矢量 $\widehat{x}$ 描述，我们有

$$
\widehat{x}=\widehat{x}_0+\widehat{X} .
$$

![图片](/uploads/2025-11/f2851d.jpg)
 
 其次，我们需要确定不同坐标基矢间的变换．在 $P_0$ 点的共动参考系中的基矢与原来静止坐标系间的基矢通过洛伦兹变换相联系：

$$
\begin{aligned}
\widehat{e}_M & =\widehat{e}_\mu \frac{\partial x^\mu}{\partial X^M} \\
& =\left(\widehat{e}_t, \widehat{e}_x, \widehat{e}_y, \widehat{e}_z\right)\left(\begin{array}{cccc}
\cosh \theta_0 & \sinh \theta_0 & 0 & 0 \\
\sinh \theta_0 & \cosh \theta_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\theta_0$ 是粒子在 $P_0$ 点相对于静止参考系的快度，

$$
\tanh \theta_0=\frac{v_0}{c}=\frac{1}{c} \frac{\mathrm{~d} x_0}{\mathrm{~d} t_0}=\tanh (g T / c) .
$$

所以，我们发现

$$
\begin{aligned}
\widehat{e}_T & =\widehat{e}_t \cosh (g T / c)+\widehat{e}_x \sinh (g T / c) \\
\widehat{e}_X & =\widehat{e}_t \sinh (g T / c)+\widehat{e}_x \cosh (g T / c) \\
\widehat{e}_Y & =\widehat{e}_y \\
\widehat{e}_Z & =\widehat{e}_z
\end{aligned}
$$

由（5．218）式，我们发现（令 $c=1$ ）正比于 $\widehat{e}_t$ 的项

$$
t \widehat{e}_t=t_0 \widehat{e}_t+X \sinh (g T) \widehat{e}_t,
$$

即

$$
t=\left(g^{-1}+X\right) \sinh (g T) .
$$

同理，我们得到

$$
x=\left(g^{-1}+X\right) \cosh (g T), \quad y=Y, \quad z=Z .
$$

易见

$$
\frac{t}{x}=\tanh (g T) .
$$

注意到对于 $P_0$ 点，我们也有 $\frac{t_0}{x_0}=\tanh (g T)$ ，这意味着，相对于匀加速粒子的所有等时类空超曲面上的事件点都在经过粒子事件点和坐标原点的直线上．而由

$$
x^2-t^2=\left(g^{-1}+X\right)^2,
$$

每一个常数 $X$ 给出一条双曲线．这些双曲线的渐近线为

$$
x \pm t=0 .
$$

每一条双曲线对应着一个做匀加速直线运动粒子的世界线，它们的固有加速度为

$$
a=\frac{1}{g^{-1}+X}
$$

而在匀加速观测者看来，这些粒子的世界线对应着 $X=$ 常数．另一方面，$T=$ 常数是这些粒子的等时面，对应着穿过原来静止坐标系原点的直线．

利用坐标变换，我们可以得到匀加速观测者坐标系下的时空度规为

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2 & =-\mathrm{d} t^2+\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2 \\
& =-(1+g X)^2 \mathrm{~d} T^2+\mathrm{d} X^2+\mathrm{d} Y^2+\mathrm{d} Z^2
\end{aligned}
$$

此时看起来时空是弯曲的，但实际上并非如此，后面我们将看到时空仍然是平直的，但是对于匀加速观测者而言，世界已经不同．此时，这个观测者看到的固有时为

$$
\mathrm{d} \tau=\left(1+\frac{g X}{c^2}\right) \mathrm{d} T=\left(1+\frac{g X}{c^2}\right) \mathrm{d} \tau_0
$$

其中 $\tau_0$ 是 $X=0$ 时的固有时．我们在后面的学习中将看到，在牛顿近似下，可以把上述度规看作在平直度规上加扰动，其中度规扰动的（ 00 ）分量与牛顿引力势有关，即

$$
\mathrm{e}^{2 \Phi}=\left(1+\frac{g X}{c^2}\right)^2
$$

所以，牛顿引力势为 $\Phi=\ln (1+g X)$ ，而牛顿引力加速度为 $g=|\nabla \Phi|=1 /\left(g^{-1}+X\right)$ ．因此得到的加速度确实是牛顿引力加速度。由此可见，在一个匀加速观测者的参考系中，观测者无法区分在做匀加速运动还是处于引力场中．

实际上，我们不仅可以讨论一个匀加速观测者的坐标系，甚至可以利用前面建立的坐标变换来定义任德勒（Rindler）时空。如前所述，对于匀加速观测者而言，存在视界，这意味着我们无法看到视界之后发生的一切．更准确地，我们只关注两条渐近线之间的区域，即

$$
0<x<\infty, \quad-x<t<x,
$$

这只覆盖了四分之一的平直时空．我们引进所谓的任德勒坐标，

$$
T=g^{-1} \operatorname{arctanh}(t / x), \quad X=\sqrt{x^2-t^2}, \quad Y=y, \quad Z=z .
$$
这些世界线上的观测者在 $t=0$ 时刻相对于静止参考系而言速度都是零，但具有不同的固有加速度 $a=c^2 / X$ 。相应地，我们有

$$
t=X \sinh (g T), \quad x=X \cosh (g T) .
$$

与（5．223），（5．224）式相比，我们只是对 $X$ 做了一个常数移动，而时空度规变为

$$
\mathrm{d} s^2=-(g X)^2 \mathrm{~d} T^2+\mathrm{d} X^2+\mathrm{d} Y^2+\mathrm{d} Z^2,
$$

其中的 $g$ 只是一个参数，我们可以通过对坐标重新定义把它设为 1 ．对于任德勒观测者，我们可以取定正交标架场

$$
\widehat{e}_0=\frac{1}{X} \partial_T, \quad \widehat{e}_i=\partial_i, \quad i=1,2,3 .
$$

对于类时矢量场 $\widehat{e}_0$ ，我们可以积分得到一族类时曲线，它们对应具有不同固有加速度的观测者的世界线。我们可以研究这些类时曲线汇的变化情况 ${ }^{(4)}$ ，将发现这些曲线形成的三维截面既不会膨胀也不会扭曲．用数学的语言，线汇的膨胀因子（expansion）和涡

旋度（vorticity）都为零．这意味着这些匀加速观测者相互之间的距离不变．然而，如果我们计算固有加速度矢量，有

$$
\nabla_{\widehat{e}_0} \widehat{e}_0=\frac{1}{X} \widehat{e}_1,
$$

即每一个观测者都在沿 $x$ 方向做匀加速运动．此外，涡旋度为零意味着这些类时积分曲线必然是超曲面正交的．这里，正交的类空超曲面就是等时面 $T=T_0$ ．

上面的讨论我们可以形象地用一个有一定长度的飞船来诠释。如图 5.13 所示，黑色加粗的线段代表着飞船．在 $t=0$ 时刻，飞船的瞬时速度为零，但由于存在一定的长度，飞船的前端（线段的右端）与后端（线段的左端）的加速度是不同的，后端的加速度

![图片](/uploads/2025-11/9a2d61.jpg)
 
 更大．这是由于存在洛伦兹收缩，飞船的后端必须加速得更多才能使飞船做刚性运动．当然，在图5．13中这一点很清楚，后端对应的 $X$ 值更小，所以加速度更大。有趣的是，飞船之后的运动在时空流形上的轨迹总是沿着某一个常数 $T$ 的线。我们可以计算

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\tanh g T,
$$

它是一个与 $X$ 无关的量，即斜率给出速度。在图 5.13 中看起来好像随着 $T$ 增大，飞船的长度越来越长．实际上，我们可以计算某个 $T$ 时刻飞船的长度，即从 $P_0$ 到 $P$ 的距离，发现实际上飞船的长度一直是 $\Delta X$ ，即在 $t=T=0$ 时飞船的长度．尽管飞船中各点的加速度不同，他们互相之间的距离却是不变的．进一步地，我们可以利用飞船来模
拟一个地球上处于垂直状态的摩天大楼．前面的讨论告诉我们，飞船中各点的加速度 $g=c^2 / X$ 。如果我们把 $X$ 当作高度，则飞船中不同点对应着摩天大楼不同高度。

下面讨论一下匀加速参考系中粒子的运动。
（1）匀加速参考系中有质量粒子的自由运动。
考虑一个匀加速运动的飞船，加速度为 $g$ ．其中有一个粒子，在 $T=0, X=c^2 g^{-1}$时沿 $+x$ 方向运动，具有初速度 $\widehat{u}_0=\gamma(c, v, 0,0), \gamma=1 / \sqrt{1-v^2 / c^2}$ ．我们有

$$
K=\frac{1}{2} g_{\mu \nu} \dot{X}^\mu \dot{X}^\nu
$$

此外，我们有4－速度的归一化条件 $\widehat{u} \cdot \widehat{u}=-c^2$ ，它给出

$$
\dot{X}^2=(g X / c)^2 \dot{T}^2-c^2 .
$$

另一方面，由于 $K$ 并不明显依赖于 $T$ ，我们有运动常数

$$
p_T=c \frac{\partial K}{\partial \dot{T}}=-(g X / c)^2 c \dot{T}=u_0^0
$$

由此，我们得到

$$
\dot{X}=c \sqrt{\left(\frac{u_0^0 c}{g X}\right)^2-1} .
$$
这个粒子能够跑到的最大距离处 $\dot{X}=0$ ，所以，此时的 $X_{\max }=\frac{c u_0^0}{g}=\frac{c^2}{g} \gamma$ ．而粒子跑过的距离为 $\Delta X=\frac{c^2}{g}(\gamma-1)$ ．如果初速度 $v \ll c$ ，则有 $\Delta X=\frac{v^2}{2 g}$ ，即非相对论极限下一个粒子在引力场中垂直向上运动所能达到的相对高度．这再次验证了引力场可以通过匀加速运动来实现。

我们还可以进一步讨论在任德勒时空中自由下落粒子的运动．此时，粒子在 $X= c^2 g^{-1}$ 处自由下落，它的初4－速度为 $\widehat{u}_0=(c, 0,0,0)$ ．这样我们有

$$
\dot{X}=c \sqrt{\left(\frac{c^2}{g X}\right)^2-1} .
$$

粒子最终将落到视界 $X=0$ 处，因此，我们可以得到落到视界时所需要的粒子固有时

$$
\Delta \tau=\frac{c}{g}
$$

是有限的．另一方面，对于飞船上的观测者而言，它看到粒子落向视界所需要的时间由
任德勒时空的坐标时给出．由 $\mathrm{d} T=\dot{T} \mathrm{~d} \tau$ ，可以得到

$$
\Delta T=\frac{c}{g} \ln \frac{1+\sqrt{1-\left(g X / c^2\right)^2}}{g X / c^2},
$$

其中 $X$ 是粒子最终的位置．如果粒子落到视界，则 $X=0$ ，我们将发现飞船上观测者看到粒子需要花无穷长时间到达视界上，即 $\Delta T \rightarrow \infty$ ．
（2）匀加速参考系中光子的运动．
考虑一个光子在匀加速参考系中的运动．假设在初始时刻光子在 $T=0, X=g^{-1}$处向 $Y$ 方向发射．对于无质量粒子，我们可以定义作用量

$$
K=-\frac{1}{2}\left(\frac{g X}{c}\right)^2 \dot{T}^2+\frac{1}{2} \dot{X}^2+\frac{1}{2} \dot{Y}^2 .
$$

由零路径条件得

$$
\dot{X}^2=\left(\frac{g X}{c}\right)^2 \dot{T}^2-\dot{Y}^2 .
$$

而此时我们有两个守恒量，

$$
p_T=-\left(\frac{g X}{c^2}\right)^2 c \dot{T}=-c \dot{T}(0), \quad p_Y=\dot{Y},
$$

而初条件告诉我们
由此我们得到

$$
\dot{X}=c \frac{\sqrt{1-\left(g X / c^2\right)^2}}{g X / c^2} .
$$

进一步地，我们发现

$$
\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{~d} X}=\frac{\dot{Y}}{\dot{X}}=\frac{g X / c^2}{\sqrt{1-\left(g X / c^2\right)^2}}
$$

考虑到初始条件 $Y(0)=0, X(0)=g^{-1}$ ，我们得到了光子的轨迹

$$
X^2+Y^2=\frac{c^4}{g^2}
$$

这是一条在 $X-Y$ 平面上的圆轨道．考虑到对于飞船上的观测者，$X<0$ 的区域是在视界之后，光子轨迹是圆周轨道中 $X>0, Y>0$ 的部分．

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