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费米－沃克尔移动举例

例 5.10 在事件点 $P$ 处粒子 $Q$ 的世界线和观测者 $O$ 的世界线相交。定义 $\widehat{p}$ 为粒子 $Q$ 的 4－动量，则其被观测者 $O$ 测到的能量 $E^{\prime}$ 为

$$
\frac{E^{\prime}}{c}=-\widehat{p} \cdot \widehat{e}_0^{\prime}(\tau) \quad \Rightarrow \quad E^{\prime}=-\widehat{p} \cdot \widehat{u}(\tau),
$$

而测到的动量为 $p_i{ }^{\prime}=\widehat{p} \cdot \widehat{e}_i^{\prime}(\tau)$ ．
下面讨论两个效应。
（1）宇宙学红移。
一个膨胀的宇宙具有度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{d} t^2+a^2(t)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right),
$$

其中 $a(t)$ 是标度因子．考虑一个共动观测者，即在一个固定空间坐标的观测者，其 4－速度为 $u^\mu=(1,0,0,0)$ ．他看到的光子能量是多少呢？注意 $u^\mu$ 的类时分量不必是 1 ，它是由 $g_{\mu \nu} u^\mu u^\nu=-1$ 确定的．对光子而言，其 4 －动量为 $p^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ ，而在这个时空中的零测地线为 $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\omega_0}{a}$ ，所以观测者看到的光子能量为

$$
E=-p_\mu u^\mu=-g_{00} \frac{\mathrm{~d} x^0}{\mathrm{~d} \lambda} u^0=\frac{\omega_0}{a} \text { (自然单位). }
$$

当 $a=1$ 时，时空是平直的，我们回到闵氏时空中，发射的光子具有其内禀频率 $\omega_0$ ．如果一个光子在 $a_1$ 发射能量为 $E_1$ ，而在 $a_2$ 被观测到具有能量 $E_2$ ，则有

$$
\frac{E_2}{E_1}=\frac{a_1}{a_2} .
$$

注意此时即使是发射器发射的光子频率与光子的内禀频率也不同．由于 $E \propto \frac{1}{\lambda}$ ，我们有 $\lambda_i \propto a_i$ ．这样通过比较同一元素光谱线中波长的变化，我们就知道了远处星系和我们之间的标度因子的变化．而由于宇宙膨胀，$a(t)$ 越大，$t$ 越大，所以大的红移意味着远的距离，

$$
z=\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_2}=\frac{a_2}{a_1}-1 .
$$

注意宇宙学红移并非通常意义下的多普勒红移．远处星系发出的光相对于邻近光源发出的光被红移了．但这些远距离星系相对于我们的速度并不能很好定义，这是因

为速度是一个局域的概念．如果没有速度的概念，就谈不上多普勒效应，因为多普勒效应来自相对运动．即使如此，星系移动的＂速度＂仍然是一个方便的概念．

为了看清宇宙学红移与多普勒频移间的差别，考虑一个平直时空，两个星系在惯性系中，从星系 $A$ 发射光子，在光子运行期间，把 $A$ 和 $B$ 间的距离扩大一倍，当光子到达 $B$ 时，没有多普勒效应．同样，星系在固定的共动坐标上，但尺度因子变大， $a\left(t_0\right) \rightarrow 2 a\left(t_0\right)$ ，此时没有相对运动，没有多普勒效应，但存在着尺度因子变化造成的宇宙学红移．

（2）托马斯（Thomas）进动．
在电动力学中，电子绕原子核转动时其自旋矢量会有一个额外的进动，即托马斯进动．这个现象的根源是运动学的，来自电子做转动时不同参考系之间的变换．这里我们利用费米－沃克尔移动重新讨论这个问题．我们可以把电子的自旋矢量做一个经典的处理，把它类比于陀螺仪的自旋矢量．这个自旋矢量是内禀的，可以提升为一个4－矢量 $\widehat{S}$ ．假定电子绕原子核在 $x-y$ 平面上做圆周运动，角速度为 $\omega$ ．首先，自旋 4－矢量的移动应该遵从费米－沃克尔移动．也就是说，应该有

$$
\frac{\mathrm{D} S^\mu}{\mathrm{d} \tau}=u^\nu \nabla_\nu S^\mu=\left(u^\mu a^\nu-u^\nu a^\mu\right) S_\nu .
$$

其次，自旋 4－矢量满足关系

$$
\widehat{S} \cdot \widehat{u}=0, \quad \widehat{S} \cdot \widehat{S}=\frac{3}{4} \hbar^2 .
$$

（5．209）式第一式说明自旋矢量与速度4－矢量正交，第二式说明这是一个自旋为 $1 / 2$ 的粒子的自旋 4－矢量．在实验室参考系中，$t=0$ 时刻，我们有 $x=r, y=0, z=0$ ，而自旋 4－矢量的分量为
$$
S^0=0, \quad S^x=\frac{1}{\sqrt{2}} \hbar, \quad S^y=0, \quad S^z=\frac{1}{2} \hbar
$$

由上面的费米－沃克尔移动方程可以求出自旋 4－矢量随时间的变化：

$$
\begin{aligned}
& S^0=-\frac{1}{\sqrt{2}} \hbar v \gamma \sin \omega \gamma t, \\
& S^x=\frac{1}{\sqrt{2}} \hbar(\cos \omega t \cos \omega \gamma t+\gamma \sin \omega t \sin \omega \gamma t), \\
& S^y=\frac{1}{\sqrt{2}} \hbar(\sin \omega t \cos \omega \gamma t-\gamma \cos \omega t \sin \omega \gamma t), \\
& S^z=\frac{1}{2} \hbar,
\end{aligned}
$$

其中 $v=\omega r, \gamma=\left(1-v^2 / c^2\right)^{-1 / 2}$ ．由此我们得到

$$
S^x+\mathrm{i} S^y=\frac{1}{\sqrt{2}} \hbar\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\gamma-1) \omega t}-\mathrm{i}(\gamma-1) \sin \omega \gamma t \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}\right)
$$

其中右边第一项是转动项，具有角速度

$$
\omega_{\text {Thomas }}=(\gamma-1) \omega \approx \frac{v^2}{2 c^2} \omega,
$$

它导致自旋 4－矢量的进动，即托马斯进动．（5．212）式右边第二项在 $0<\omega \gamma t<\pi$ 时是右旋，在 $\pi<\omega \gamma t<2 \pi$ 时是左旋，整体对时间平均后为零，然而这一项的存在可以保证（5．209）式得以满足．

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