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费米－沃克尔移动

5.5 费米－沃克尔移动

我们已经看到有两种方式可以很好地定义张量场在弯曲时空中的移动．在本节中我们介绍另一种移动矢量的方法，这就是所谓的费米－沃克尔移动。它在建立观测者的局部实验室时将发挥重要的作用。
前面我们已经介绍了观测者局部实验室或者标架场（tetrad）的定义：

$$
\widehat{e}_a(\tau) \cdot \widehat{e}_b(\tau)=g_{\mu \nu} \widehat{e}_a^\mu(\tau) \widehat{e}_b^\nu(\tau)=\eta_{a b}, \quad \widehat{e}_0(\tau)=\widehat{u}(\tau)
$$

其中最重要的是时间方向由观测者世界线的切矢量来给出．在这个实验室中测量各种物理量就是把相关的 4 －矢量或者 4 －张量投影到这个正交标架上。

考虑一个沿某条世界线 $x^\mu(\lambda)$ 移动的观测者，这条世界线不必是测地线，也就是说观测者也许受到其他力的作用．假设他具有 4 －速度 $\widehat{u}$ 和 4 －加速度 $\widehat{a}=\frac{\mathrm{D} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \tau}$ ．我们希望知道标架基矢是如何沿世界线变化的．设

$$
\nabla_{\widehat{u}} \widehat{e}_a=-\Omega_a{ }^b(\tau) \widehat{e}_b
$$

由于 $\nabla_{\widehat{u}}\left(\widehat{e}_a \cdot \widehat{e}_b\right)=0$ ，有 $\Omega_{a b}=-\Omega_{b a}$ ，因此

$$
\nabla_{\widehat{u}} \widehat{e}_a=-\Omega_a{ }^b(\tau) \widehat{e}_b=-\left(\Omega^{b c} \widehat{e}_b \otimes \widehat{e}_c\right) \cdot \widehat{e}_a=-\widehat{\Omega} \cdot \widehat{e}_a,
$$

其中矢量内积是相对于 $\widehat{\Omega}$ 中的第一个矢量而言．所以，我们可以把 $(2,0)$ 张量 $\widehat{\Omega}$ 当作一种转动矩阵．由于 $\widehat{e}_0=\widehat{u}$ ，我们可以把 $\Omega^{a b}$ 展开为
$$
\Omega^{a b}=v^a u^b-u^a v^b+\omega^{a b},
$$

其中 $\omega^{a b}$ 是反对称的，且 $\omega^{a b} u_b=0, v^a u_a=0$ 。在观测者的共动参考系中，$\omega^{a b}$ 和 $v^a$ 都是只与空间相关的，分别只有三个分量．也就是说，我们分离出与时间相关的部分．由

$$
\nabla_{\widehat{u}} \widehat{e}_0=\nabla_{\widehat{u}} \widehat{u}=\widehat{a},
$$

我们有 $\widehat{\Omega} \cdot \widehat{u}=-\widehat{a}$ ，而因为 $\widehat{\Omega} \cdot \widehat{u}=\widehat{v}$ ，

$$
\widehat{v}=-\widehat{a},
$$

所以我们得到

$$
\widehat{\Omega}=-\widehat{a} \otimes \widehat{u}+\widehat{u} \otimes \widehat{a}+\widehat{\omega} .
$$

把这些代人前面的讨论，得到

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{e}_a}{\mathrm{~d} \tau}=-\left[\widehat{a}\left(\widehat{u} \cdot \widehat{e}_a

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