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费米－沃克尔移动

5.5 费米－沃克尔移动

我们已经看到有两种方式可以很好地定义张量场在弯曲时空中的移动．在本节中我们介绍另一种移动矢量的方法，这就是所谓的费米－沃克尔移动。它在建立观测者的局部实验室时将发挥重要的作用。
前面我们已经介绍了观测者局部实验室或者标架场（tetrad）的定义：

$$
\widehat{e}_a(\tau) \cdot \widehat{e}_b(\tau)=g_{\mu \nu} \widehat{e}_a^\mu(\tau) \widehat{e}_b^\nu(\tau)=\eta_{a b}, \quad \widehat{e}_0(\tau)=\widehat{u}(\tau)
$$

其中最重要的是时间方向由观测者世界线的切矢量来给出．在这个实验室中测量各种物理量就是把相关的 4 －矢量或者 4 －张量投影到这个正交标架上。

考虑一个沿某条世界线 $x^\mu(\lambda)$ 移动的观测者，这条世界线不必是测地线，也就是说观测者也许受到其他力的作用．假设他具有 4 －速度 $\widehat{u}$ 和 4 －加速度 $\widehat{a}=\frac{\mathrm{D} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \tau}$ ．我们希望知道标架基矢是如何沿世界线变化的．设

$$
\nabla_{\widehat{u}} \widehat{e}_a=-\Omega_a{ }^b(\tau) \widehat{e}_b
$$

由于 $\nabla_{\widehat{u}}\left(\widehat{e}_a \cdot \widehat{e}_b\right)=0$ ，有 $\Omega_{a b}=-\Omega_{b a}$ ，因此

$$
\nabla_{\widehat{u}} \widehat{e}_a=-\Omega_a{ }^b(\tau) \widehat{e}_b=-\left(\Omega^{b c} \widehat{e}_b \otimes \widehat{e}_c\right) \cdot \widehat{e}_a=-\widehat{\Omega} \cdot \widehat{e}_a,
$$

其中矢量内积是相对于 $\widehat{\Omega}$ 中的第一个矢量而言．所以，我们可以把 $(2,0)$ 张量 $\widehat{\Omega}$ 当作一种转动矩阵．由于 $\widehat{e}_0=\widehat{u}$ ，我们可以把 $\Omega^{a b}$ 展开为
$$
\Omega^{a b}=v^a u^b-u^a v^b+\omega^{a b},
$$

其中 $\omega^{a b}$ 是反对称的，且 $\omega^{a b} u_b=0, v^a u_a=0$ 。在观测者的共动参考系中，$\omega^{a b}$ 和 $v^a$ 都是只与空间相关的，分别只有三个分量．也就是说，我们分离出与时间相关的部分．由

$$
\nabla_{\widehat{u}} \widehat{e}_0=\nabla_{\widehat{u}} \widehat{u}=\widehat{a},
$$

我们有 $\widehat{\Omega} \cdot \widehat{u}=-\widehat{a}$ ，而因为 $\widehat{\Omega} \cdot \widehat{u}=\widehat{v}$ ，

$$
\widehat{v}=-\widehat{a},
$$

所以我们得到

$$
\widehat{\Omega}=-\widehat{a} \otimes \widehat{u}+\widehat{u} \otimes \widehat{a}+\widehat{\omega} .
$$

把这些代人前面的讨论，得到

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{e}_a}{\mathrm{~d} \tau}=-\left[\widehat{a}\left(\widehat{u} \cdot \widehat{e}_a\right)-\widehat{u}\left(\widehat{a} \cdot \widehat{e}_a\right)+\widehat{\omega} \cdot \widehat{e}_a\right],
$$

其中 $\omega$ 是纯空间部分的转动．如果我们假定标架场在沿观测者的世界线移动时空间部分保持不动，即

$$
\widehat{\omega}=0,
$$

则我们得到标架场的费米－沃克尔移动：

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{e}_a}{\mathrm{~d} \tau}=\left[\widehat{u}\left(\widehat{a} \cdot \widehat{e}_a\right)-\widehat{a}\left(\widehat{u} \cdot \widehat{e}_a\right)\right] .
$$

从物理上看，选择没有空间部分的额外转动是很自然的，因为我们希望在前后两个时刻测量尽量保持一致，不做人为的变化，唯一的变化来自 4－加速度．如果观测者有一个 4 －加速度 $\widehat{a}(\tau)=\frac{\mathrm{D} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \tau}$ ，但没有额外的转动，标架基矢是沿着观测者的世界线做费米－沃克尔移动．

一般地，一个矢量 $\widehat{v}$ 称为沿一条曲线做费米－沃克尔移动，如果它满足方程

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{v}}{\mathrm{~d} \tau}=[\widehat{u}(\widehat{a} \cdot \widehat{v})-\widehat{a}(\widehat{u} \cdot \widehat{v})] .
$$

写成分量的形式，

$$
\frac{\mathrm{D} v^\mu}{\mathrm{d} \tau}=u^\nu \nabla_\nu v^\mu=\left(u^\mu a^\nu-u^\nu a^\mu\right) v_\nu
$$

利用费米－沃克尔移动，我们可以定义导数运算．假设 $x^\mu(\tau)$ 是一个类时曲线，$\widehat{T}$是张量场，$\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}}}{\mathrm{d} \tau}: \widehat{T} \rightarrow \widehat{T}$ 称为在 $x^\mu(\tau)$ 上的费米－沃克尔导数运算，如果它是
（1）线性的，
（2）满足莱布尼茨法则，
（3）$\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} f}{\mathrm{~d} \tau}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} \tau}, \quad f \in \mathcal{F}(M)$,
（4）与收缩运算对易，
（5）对矢量 $\widehat{V}$ 而言，

$$
\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} V^\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{D} V^\mu}{\mathrm{d} \tau}+\left(a^\mu u^\nu-u^\mu a^\nu\right) V_\nu,
$$

其中 $\widehat{u}$ 是切矢量，$\widehat{a}$ 是固有4－加速度矢量，而 $\frac{\mathrm{D} V^\mu}{\mathrm{d} \tau}=u^\nu \nabla_\nu V^\mu$ ．
这个导数运算具有以下性质：
（1）如果 $x^\mu(\tau)$ 是测地线，则 $\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} V^\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{D} V^\mu}{\mathrm{d} \tau}$ ，即约化为通常的协变导数．
（2）对于曲线的切矢量，$\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} u^\mu}{\mathrm{d} \tau}=0$ ．
（3）如果 $W^\mu$ 是类空矢量，满足 $W^\mu \cdot u_\mu=0$ ，则

$$
\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} W^\mu}{\mathrm{d} \tau}=h_\nu^\mu \frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} W^\nu}{\mathrm{d} \tau},
$$

其中 $h_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}+u_\mu u_\nu$ ．这个关系告诉我们空间矢量的费米－沃克尔导数仍为空间矢量．
（4）如果度规场与费米－沃克尔导数相容，即 $\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} g_{\mu \nu}}{\mathrm{d} \tau}=0$ ，则有

$$
\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}}\left(g_{\mu \nu} V^\mu W^\nu\right)}{\mathrm{d} \tau}=g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} V^\mu}{\mathrm{d} \tau} W^\nu+g_{\mu \nu} V^\mu \frac{\mathrm{D}_{\mathrm{F}} W^\nu}{\mathrm{d} \tau} .
$$

这些性质显示，如果沿测地线，费米－沃克尔移动与平行移动是一样的，而且曲线的 4－速度场总是费米－沃克尔移动的．此外，如果两个矢量是费米－沃克尔移动的，则它们的内积在费米－沃克尔移动下不变。从费米－沃克尔移动方程可以看出，取定了 $p$点以及 $p$ 点处的矢量 $\widehat{V}$ ，则矢量 $\widehat{V}$ 沿着曲线做费米－沃克尔移动后得到的矢量被完全确定。

费米－沃克尔移动提供了一个观测者沿弯曲时空中任意一条世界线运动时最自然的坐标基．它保证了标架基矢的正交性，时间方向与 4－速度矢量一致．在任一条世界线上的局部惯性系选择有任意性，洛伦兹变换可以看作转动，因此基矢必然是转动的。费米－沃克尔移动保证了没有空间基矢的额外转动。对于一个无转动的自由下落观测者，标架场 $\widehat{e}_a(\tau)$ 定义了所谓的自由下落参考系．由于没有任何外力，其世界线是一条测地线，

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{e}_0}{\mathrm{~d} \tau}=0
$$

即 $\widehat{e}_0$ 沿着世界线平行移动．测地运动没有固有 4 －加速度，费米－沃克尔移动约化为平行移动，即

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{e}_i}{\mathrm{~d} \tau}=0
$$

所以，标架场沿测地线构成了局部惯性系．在任何坐标系中 $\widehat{e}_a(\tau)=\left(\widehat{e}_a\right)^\mu(\tau) \partial_\mu$ 的演化如下：

$$
\frac{\mathrm{D}\left(\widehat{e}_a\right)^\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{d}\left(\widehat{e}_a\right)^\mu}{\mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu\left(\widehat{e}_a\right)^\nu u^\sigma=0
$$

这个方程在确定自由下落观测者在某一时空事件点上的观测时是极其有用的．一旦确定了初始时的标架场，其后在测地线上任意时刻的标架场也得到确定。

而相对于局部惯性系 $S$ 的加速观测者 $O$ 有

$$
\begin{cases}\widehat{u}(\tau), & \tau \text { 为固有时, } \\ \widehat{a}(\tau)=\frac{\mathrm{d} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \tau}, & \text { 满足 } \widehat{a} \cdot \widehat{u}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \tau}\left(\frac{1}{2} \widehat{u} \cdot \widehat{u}\right)=0 .\end{cases}
$$

对于观测者 $O$ 而言，没有一个局部惯性系使他保持静止，但是存在着瞬时静止系 $S^{\prime}$ ，在其中 $O$ 是暂时静止的．在 $S^{\prime}$ 中，类时基矢 $\widehat{e}_0^{\prime}$ 必须与 4－速度 $\widehat{u}$ 平行，而剩余的空间

基矢 $\hat{e}_i^{\prime}$ 与 $\hat{e}_0^{\prime}$ 正交且互相正交。因此，观测者 $O$ 在 $P$ 处的观测是在瞬时静止系 $S^{\prime}$ 中的观测。局域实验室可以理想化为：一个观测者携带正交单位 4－矢量 $\hat{e}_a^{\prime}(\tau)$（或者标架场），这些标架场随世界线变化，但满足 $\widehat{e}_a^{\prime} \cdot \widehat{e}_b^{\prime}=\eta_{a b}$ 和 $\widehat{e}_0^{\prime}(\tau)=\widehat{u}(\tau)$ 。而在 $P$ 处由观测者 $O$ 得到的测量结果是物理量在这些标架基矢上的投影。

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