最后更新: 2025-11-26 14:19 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

李导数举例

例 5.8 度规场的李导数．
对于度规场而言，其李导数为

$$
£_{\widehat{V}} g_{\mu \nu}=V^\sigma \nabla_\sigma g_{\mu \nu}+\left(\nabla_\mu V^\lambda\right) g_{\lambda \nu}+\left(\nabla_\nu V^\lambda\right) g_{\mu \lambda}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\nabla_\mu V_\nu+\nabla_\nu V_\mu \\
& =2 \nabla_{(\mu} V_{\nu)}
\end{aligned}
$$

其中 $\nabla_\mu$ 是由度规场构造的协变导数．这里我们已经用到了度规相容条件，加上前面的无挠条件，保证了最后一行出现的协变导数是相对于克里斯托弗符号而言。由（5．170）式，如果 $\nabla_{(\mu} V_{\nu)}=0$ ，则 $g_{\mu \nu}$ 沿 $\widehat{V}$ 的积分曲线不变．这样的 $\widehat{V}$ 称为基灵矢量．后面我们将仔细讨论基灵矢量的物理意义。

下面我们讨论李导数与外微分和微分形式之间的一个关系。首先，对于一个 1 形式 $\widehat{\omega}$ 和一个矢量场 $\widehat{V}$ ，有

$$
\mathrm{d}(\hat{\omega}(\hat{V}))=\mathrm{d}\left(\omega_\mu V^\mu\right)=\left(V^\mu \partial_\nu \omega_\mu+\omega_\mu \partial_\nu V^\mu\right) \mathrm{d} x^\nu .
$$

此外，也有

$$
(\mathrm{d} \hat{\omega})(\hat{V})=V^\mu\left(\partial_\mu \omega_\nu-\partial_\nu \omega_\mu\right) \mathrm{d} x^\nu .
$$

再联系前面得到的关于 1 形式的李导数，我们得到

$$
£_{\hat{V}} \hat{\omega}=\mathrm{d}(\hat{\omega}(\hat{V}))+(\mathrm{d} \hat{\omega})(\hat{V}) .
$$

实际上，我们可以证明这个关系对任意的 $p$ 形式都成立，即有

$$
\mathscr{L}_{\hat{V}}=\mathrm{d} \circ i_{\hat{V}}+i_{\hat{V}} \circ \mathrm{~d},
$$

其中 $i_{\widehat{V}}$ 是一个内积或者收缩运算，它代表矢量场与形式之间的内积．（5．174）式称为嘉当（Cartan）公式．利用外导数的幂零性 $\mathrm{d}^2=0$ ，我们发现

$$
£_{\hat{V}} \circ \mathrm{~d}=\mathrm{d} \circ £_{\hat{V}} .
$$

例 5.9 列维一齐维塔张量的李导数。
我们前面看到，列维一齐维塔张量实际上给出了流形的体积元，在局部坐标系下，

$$
\widehat{\varepsilon}=\sqrt{|g|} \mathrm{d} x^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x^n .
$$

命题 列维－齐维塔张量在李导数下满足

$$
£_{\hat{V}} \hat{\varepsilon}=(\nabla \cdot \hat{V}) \hat{\varepsilon} .
$$

证明 利用嘉当公式并且考虑到列维－齐维塔张量已经是流形上可能拥有的最大形式，即 $\mathrm{d} \hat{\varepsilon}=0$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{\hat{V}} \hat{\varepsilon} & =\mathrm{d}\left(i_{\hat{V}} \hat{\varepsilon}\right)=\mathrm{d} \sum_\mu(-1)^{\mu-1} \sqrt{|g|} \mathrm{d} x^1 \wedge \cdots \wedge i_{\hat{V}}\left(\mathrm{~d} x^\mu\right) \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^n \\
& =\mathrm{d} \sum_\mu(-1)^{\mu-1}\left(\sqrt{|g|} V^\mu\right) \mathrm{d} x^1 \wedge \cdots \wedge \widehat{\mathrm{~d} x^\mu} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^n
\end{aligned}
$$

其中 $\widehat{\mathrm{d} x^\mu}$ 表示在外积中 $\mathrm{d} x^\mu$ 不出现，因为它已经与矢量 $\hat{V}$ 做内积了．上式右边的求和再做一次外微分，唯一非零的项来自产生 $\mathrm{d} x^\mu$ 的外导数，即

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{\hat{V}} \hat{\varepsilon} & =\sum_\mu(-1)^{\mu-1}\left(\partial_\mu\left(\sqrt{|g|} V^\mu\right)\right) \mathrm{d} x^\mu \wedge \mathrm{d} x^1 \wedge \cdots \wedge \widehat{\mathrm{~d} x^\mu} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^n \\
& =\sum_\mu\left(\partial_\mu\left(\sqrt{|g|} V^\mu\right)\right) \mathrm{d} x^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x^\mu \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^n \\
& =(\nabla \cdot \hat{V}) \hat{\varepsilon}
\end{aligned}
$$

其中最后一步我们用到了矢量的散度公式

$$
\nabla \cdot \hat{V}=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(\sqrt{|g|} V^\mu\right)
$$
前面我们看到，通过协变导数可以定义一个平行移动，类似地李导数也可以帮助我们定义一个李移动（Lie transport）．一个张量场 $\widehat{T}$ 称为沿着某曲线 $\mathcal{C}$ 被李移动，如果其沿着曲线的李导数为零，即

$$
£_{\widehat{u}} \widehat{T}=0,
$$

其中 $\widehat{u}$ 是曲线的切矢量．从定义可知，如果坐标无穷小李移动，移动后的张量场与初始张量场的值必须一样．比如说我们选定坐标使曲线的切矢分量为 $u^\mu=\delta_0^\mu$ ，则有

$$
£_{\widehat{u}} T^{\mu \cdots}{ }_{\nu \cdots}=u^\alpha \partial_\alpha T^{\mu \cdots}{ }_{\nu \cdots}=\frac{\partial}{\partial x^0} T^{\mu \cdots},
$$

也就是说，张量 $T^{\mu \ldots}{ }_{\nu \ldots}$ 与坐标 $x^0$ 无关．注意对于曲线的切矢而言，总有

$$
£_{\widehat{u}} \widehat{u}=0 .
$$

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