最后更新: 2025-11-26 14:17 查看: 13 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

张量的李导数

5．4．2 张量的李导数
利用微分同胚可以比较流形上不同点的张量场，从而定义李导数．给定一个微分同胚 $\phi: M \rightarrow M$ ，及一个张量场 $T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(x)$ ，我们可以比较在某点 $p$ 处的张量场 
与 $\phi(p)$ 点处的拉回张量场 $\phi_*\left[T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(\phi(p))\right]$ ．然而为了定义导数运算，我们需要一个单参数族的微分同胚 $\phi_t$ ，定义为

$$
\phi_t: R \times M \rightarrow M, \quad \text { 且有 } \quad \phi_s \circ \phi_t=\phi_{s+t} \text {, }
$$

而令 $\phi_0$ 为恒等映射。给定点 $p \in M, \phi_t: p \rightarrow R$ 定义了流形 $M$ 上的一条曲线。单参数族的微分同胚可以看作来自矢量场，反之由微分同胚定义的曲线有切矢量场。 $\phi_t(p)$ 定义了一条曲线，同样的操作对流形上的所有点都适用，由此定义的曲线充满了整个流形．当然如果微分同胚有固定点，则可能有简并．我们可以定义矢量场 $V^\mu(x)$ 为这些曲线的切矢量集合，而取值于 $t=0$ 处．

例 $5.6 S^2$ 上的一个微分同胚 $\phi_t(\theta, \phi)=(\theta, \phi+t)$ 如图 5.9 所示．
 ![图片](/uploads/2025-11/1369ce.jpg)
 
 给定一个矢量场 $V^\mu(x)$ ，我们可以定义相应的积分曲线 $x^\mu(t)$ ：

$$
\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} t}=V^\mu .
$$

这样一条曲线称为 $V^\mu$ 的轨道．由微分方程理论，上述方程解的存在性和唯一性至少在某区域上是得到保证的，因此如果不是碰到流形的边界，上述方程是有解的。比如说，在物理上磁铁的磁力线由磁场矢量 $\boldsymbol{B}$ 的积分曲线给出．这个积分曲线实际上给出了一个单参数微分同胚，即 $\phi_t$ 在坐标片上的表示由 $x^\mu$ 给出．给定一个点 $p$ 及在此点的矢量场 $\widehat{V}$ ，我们要求

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \phi}{\partial t} & =V_{\phi(p, t)} \\
\phi(p, 0) & =p
\end{aligned}
$$

则 $\phi(p, t)$ 给出了一条从 $p$ 点出发的积分曲线

$$
\phi(p, t)=\phi_t(p)
$$

且这条曲线在 $p$ 点的切矢量就是 $\widehat{V}(p)$ 。因此，映射 $\phi_t(p)$ 对每一个 $p$ 把点沿着矢量场 $\widehat{V}$ 移动，局部地看它是由矢量场 $\widehat{V}$ 产生的流．对于无穷小 $t$ ，我们有直线

$$
x^{\prime \mu} \approx x^\mu+t V^\mu .
$$

形式上，我们可以得到上面微分方程的解

$$
x^{\prime \mu}=\exp _p(t \widehat{V}) x^\mu
$$

可以证明上面由矢量场 $\widehat{V}$ 产生的微分同胚构成了一个单参数群．在 $t=0$ 时刻，我们有 $\phi_0(p)=p$ ，而矢量场导致 $\phi_t(p)=q$ 。我们从 $q$ 点出发继续考虑矢量场 $\widehat{V}$ 的流，有 $\phi_s(q)=r$ ．因此我们得到
$$
\phi_s\left(\phi_t(p)\right)=\left(\phi_s \circ \phi_t\right)(p)=\phi_{s+t}(p)=\left(\phi_t \circ \phi_s\right)(p)=\phi_t\left(\phi_s(p)\right) .
$$

一个沿着积分曲线运动的张量场变化又如何呢？如图 5.10 所示，对每一个 $t$ ，张量场的变化为

$$
\Delta_t T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(p)=\phi_{t *}\left[T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}\left(\phi_t(p)\right)\right]-T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_

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