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张量的李导数

5．4．2 张量的李导数
利用微分同胚可以比较流形上不同点的张量场，从而定义李导数．给定一个微分同胚 $\phi: M \rightarrow M$ ，及一个张量场 $T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(x)$ ，我们可以比较在某点 $p$ 处的张量场 
与 $\phi(p)$ 点处的拉回张量场 $\phi_*\left[T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(\phi(p))\right]$ ．然而为了定义导数运算，我们需要一个单参数族的微分同胚 $\phi_t$ ，定义为

$$
\phi_t: R \times M \rightarrow M, \quad \text { 且有 } \quad \phi_s \circ \phi_t=\phi_{s+t} \text {, }
$$

而令 $\phi_0$ 为恒等映射。给定点 $p \in M, \phi_t: p \rightarrow R$ 定义了流形 $M$ 上的一条曲线。单参数族的微分同胚可以看作来自矢量场，反之由微分同胚定义的曲线有切矢量场。 $\phi_t(p)$ 定义了一条曲线，同样的操作对流形上的所有点都适用，由此定义的曲线充满了整个流形．当然如果微分同胚有固定点，则可能有简并．我们可以定义矢量场 $V^\mu(x)$ 为这些曲线的切矢量集合，而取值于 $t=0$ 处．

例 $5.6 S^2$ 上的一个微分同胚 $\phi_t(\theta, \phi)=(\theta, \phi+t)$ 如图 5.9 所示．
 ![图片](/uploads/2025-11/1369ce.jpg)
 
 给定一个矢量场 $V^\mu(x)$ ，我们可以定义相应的积分曲线 $x^\mu(t)$ ：

$$
\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} t}=V^\mu .
$$

这样一条曲线称为 $V^\mu$ 的轨道．由微分方程理论，上述方程解的存在性和唯一性至少在某区域上是得到保证的，因此如果不是碰到流形的边界，上述方程是有解的。比如说，在物理上磁铁的磁力线由磁场矢量 $\boldsymbol{B}$ 的积分曲线给出．这个积分曲线实际上给出了一个单参数微分同胚，即 $\phi_t$ 在坐标片上的表示由 $x^\mu$ 给出．给定一个点 $p$ 及在此点的矢量场 $\widehat{V}$ ，我们要求

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \phi}{\partial t} & =V_{\phi(p, t)} \\
\phi(p, 0) & =p
\end{aligned}
$$

则 $\phi(p, t)$ 给出了一条从 $p$ 点出发的积分曲线

$$
\phi(p, t)=\phi_t(p)
$$

且这条曲线在 $p$ 点的切矢量就是 $\widehat{V}(p)$ 。因此，映射 $\phi_t(p)$ 对每一个 $p$ 把点沿着矢量场 $\widehat{V}$ 移动，局部地看它是由矢量场 $\widehat{V}$ 产生的流．对于无穷小 $t$ ，我们有直线

$$
x^{\prime \mu} \approx x^\mu+t V^\mu .
$$

形式上，我们可以得到上面微分方程的解

$$
x^{\prime \mu}=\exp _p(t \widehat{V}) x^\mu
$$

可以证明上面由矢量场 $\widehat{V}$ 产生的微分同胚构成了一个单参数群．在 $t=0$ 时刻，我们有 $\phi_0(p)=p$ ，而矢量场导致 $\phi_t(p)=q$ 。我们从 $q$ 点出发继续考虑矢量场 $\widehat{V}$ 的流，有 $\phi_s(q)=r$ ．因此我们得到
$$
\phi_s\left(\phi_t(p)\right)=\left(\phi_s \circ \phi_t\right)(p)=\phi_{s+t}(p)=\left(\phi_t \circ \phi_s\right)(p)=\phi_t\left(\phi_s(p)\right) .
$$

一个沿着积分曲线运动的张量场变化又如何呢？如图 5.10 所示，对每一个 $t$ ，张量场的变化为

$$
\Delta_t T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(p)=\phi_{t *}\left[T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}\left(\phi_t(p)\right)\right]-T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}(p),
$$

注意右边的每一项都是在 $p$ 处的张量．定义张量场沿矢量场 $\widehat{V}$ 的李导数为

$$
£_{\widehat{V}} T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}=\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta_t T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}}{t}\right) .
$$

![图片](/uploads/2025-11/ed404e.jpg)
 
  下面是李导数的一些性质：
（1）$£_{\widehat{V}}$ 不改变张量的类型：$(k, l)$ 型张量 $\rightarrow(k, l)$ 型张量； 
（2）与坐标无关；
（3）线性：

$$
£_{\widehat{V}}(a \widehat{T}+b \widehat{S})=a £_{\widehat{V}} \widehat{T}+b £_{\widehat{V}} \widehat{S}
$$

以及

$$
£_{a \widehat{V}+b \hat{W}} \hat{T}=a £_{\hat{V}} \hat{T}+b £_{\hat{W}} \hat{T},
$$

其中 $a$ 和 $b$ 是常数；

（4）满足莱布尼茨法则

$$
£_{\widehat{V}}(\widehat{T} \otimes \widehat{S})=\left(£_{\widehat{V}} \widehat{T}\right) \otimes \widehat{S}+\widehat{T} \otimes\left(£_{\widehat{V}} \widehat{S}\right),
$$

其中 $\widehat{S}$ 和 $\widehat{T}$ 是张量；
（5）不要求指定某个联络；
（6）当作用在函数上时，约化为普通方向导数：

$$
\mathscr{L}_{\widehat{V}} f=\widehat{V}(f)=V^\mu \partial_\mu f .
$$

下面我们来看如何给上面定义的李导数一个分量表达式．我们总可以选择一个坐标系使穿过 $p$ 的曲线局域地只由 $x^1$ 给出，所以 $V^\mu \sim \delta_1^\mu=(1,0, \cdots)$ ，从而 $\widehat{V}=$ 。 $V^\mu \partial_\mu \sim \partial_1$ ．换句话说，$x^1$ 就是积分曲线．在这个特别的坐标系下，李导数变成普通导数．这个坐标系的一个神奇之处在于微分同胚即是一个坐标变换，把 $x^\mu$ 变到 $y^\mu= \left(x^1+t, x^2, \cdots, x^n\right)$ ，为沿 $x^1$ 的一个平移。拉回矩阵为 $\left(\phi_{t *}\right)_\mu{ }^\nu=\delta_\mu^\nu$ 。而从 $\phi_t(p)$ 点拉回到 $p$ 点的张量场分量为

$$
\phi_{t *}\left[T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}\left(\phi_t(p)\right)\right]=T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}\left(x^1+t, x^2, \cdots, x^n\right) .
$$

在此坐标系下，张量的李导数为

$$
£_{\widehat{V}} T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}=\frac{\partial}{\partial x^1} T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}
$$

对于 $(1,0)$ 型矢量 $\widehat{U}=U^\mu \partial_\mu$ ，

$$
£_{\widehat{V}} U^\mu=\frac{\partial U^\mu}{\partial x^1}
$$

明显不是协变的．而两个矢量的对易子

$$
[\widehat{V}, \widehat{U}]^\mu=V^\nu \partial_\nu U^\mu-U^\nu \partial_\nu V^\mu=\frac{\partial U^\mu}{\partial x^1}
$$

在此坐标系下，其值与李导数相同．矢量的李导数和两个矢量的对易子都是好的矢量，它们的值在此坐标系下相等，意味着在所有坐标系下都应该相等，即

$$
£_{\widehat{V}} \widehat{U}=[\widehat{V}, \widehat{U}] .
$$

因此两个矢量的对易子有时也称为李括号．对于矢量的李导数，有如下两个关系：

$$
\begin{aligned}
£_{f \widehat{X}} \widehat{Y} & =f[\widehat{X}, \widehat{Y}]-\widehat{Y}(f) \widehat{X} \\
£_{\widehat{X}}(f \widehat{Y}) & =f[\widehat{X}, \widehat{Y}]+\widehat{X}(f) \widehat{Y}
\end{aligned}
$$

对于 1 形式 $\hat{\omega}$ 的李导数，我们先考虑对于任意一个矢量场 $U^\mu$ ，它与 1 形式间的泛函给出标量函数 $\omega_\mu U^\mu$ ．该标量函数对于某个矢量场 $\widehat{V}$ 的李导数为

$$
\begin{aligned}
£_{\widehat{V}}\left(\omega_\mu U^\mu\right) & =\widehat{V}\left(\omega_\mu U^\mu\right) \\
& =V^\nu \partial_\nu\left(\omega_\mu U^\mu\right) \\
& =V^\nu\left(\partial_\nu \omega_\mu\right) U^\mu+V^\nu \omega_\mu\left(\partial_\nu U^\mu\right)
\end{aligned}
$$

另一方面，利用莱布尼茨法则，有

$$
\begin{aligned}
\mathfrak{L}_{\widehat{V}}\left(\omega_\mu U^\mu\right) & =\left(£_{\widehat{V}} \widehat{\omega}\right)_\mu U^\mu+\omega_\mu\left(£_{\widehat{V}} \widehat{U}\right)^\mu \\
& =\left(£_{\widehat{V}} \widehat{\omega}\right)_\mu U^\mu+\omega_\mu V^\nu \partial_\nu U^\mu-\omega_\mu U^\nu \partial_\nu V^\mu
\end{aligned}
$$

这样我们就得到了 1 形式的李导数

$$
\mathscr{L}_{\widehat{V}} \omega_\mu=V^\nu \partial_\nu \omega_\mu+\left(\partial_\mu V^\nu\right) \omega_\nu .
$$

这是一个张量，尽管看起来并不明显．
有了 0 形式、 1 形式和矢量场的李导数，我们可以用迭代的方法一步步构造一般张量的李导数．这里我们只给出结果：

$$
\begin{aligned}
\mathfrak{E}_{\widehat{V}} T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}= & V^\sigma \partial_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} \\
& -\left(\partial_\lambda V^{\mu_1}\right) T^{\lambda \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}-\left(\partial_\lambda V^{\mu_2}\right) T^{\mu_1 \lambda \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}-\cdots \\
& +\left(\partial_{\nu_1} V^\lambda\right) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\lambda \nu_2 \cdots \nu_l}+\left(\partial_{\nu_2} V^\lambda\right) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \lambda \cdots \nu_l}+\cdots
\end{aligned}
$$

这看起来并不像是一个张量．可以证明，上面的表达式等价于
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\mathscr{E}_{\widehat{V}} T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}= & V^\sigma \nabla_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} \\
& -\left(\nabla_\lambda V^{\mu_1}\right) T^{\lambda \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}-\left(\nabla_\lambda V^{\mu_2}\right) T^{\mu_1 \lambda \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}-\cdots \\
& +\left(\nabla_{\nu_1} V^\lambda\right) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\lambda \nu_2 \cdots \nu_l}+\left(\nabla_{\nu_2} V^\lambda\right) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \lambda \cdots \nu_l}+\cdots,
\end{aligned}\\
&\text { 其中 } \nabla_\mu \text { 代表任意无挠的协变导数．这样，协变性就很明显了．}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-11/881840.jpg)

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