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李导数

＊5．4 李 导 数

在协变导数的定义中，关键之处在于利用平行移动把不同点上的切矢量移到一个点上从而可以比较它们的差异．这个操作依赖于两点间的路径．实际上，我们也可以利用其他方式把不同点上的矢量或者张量移动到一起，比较它们的差异从而定义导数．这里我们先介绍李（Lie）导数．

5．4．1 拉回和推前
为了定义李导数，我们需要引入拉回（pullback）和推前（pushforward）的概念。考虑两个流形 $M$ 和 $N$ ，可以有不同的维数，分别具有坐标卡 $x^\mu$ 和 $y^\alpha$ 。假如我们有一个从 $M$ 到 $N$ 的映射 $\phi: M \rightarrow N$ 以及一个 $N$ 上的函数 $f: N \rightarrow R$ ，显然我们可以通过复合映射 $f \circ \phi: M \rightarrow R$ 构造一个 $M$ 上的函数．定义 $\phi$ 对函数 $f$ 的拉回

$$
\phi_* f=f \circ \phi .
$$

也就是说，$\phi_*$ 把函数 $f$ 从 $N$ 拉回到 $M$ 上，如图 5.6 所示．
 ![图片](/uploads/2025-11/b49308.jpg)
 
 注意我们可以定义函数的拉回，但无法定义函数的推前：如果我们有一个 $M$ 上的函数 $g: M \rightarrow R$ ，我们没有办法把 $g$ 与 $\phi$ 复合在一起构成 $N^F$ 上的函数．但是对于一个矢量而言，存在其推前．一个矢量可以看作方向导数算子，把光滑函数映射到实数上。如果 $\widehat{V}(p)$ 是 $M$ 上 $p$ 点处的一个矢量，我们可以在 $N$ 上 $\phi(p)$ 点定义推前矢量 $\phi^* \widehat{V}$ ：

$$
\left(\phi^* \widehat{V}\right)(f)=\widehat{V}\left(\phi_* f\right),
$$

其中 $f$ 是 $N$ 上的函数．我们可以通过把函数 $f$ 拉回到 $M$ 上来定义推前矢量，即 $\phi^* \widehat{V}$ 对 $N$ 上的函数的作用由 $\widehat{V}$ 作用在该函数在 $M$ 上的拉回得到。更具体地，我们利用坐标卡写出分量形式 $\widehat{V}=V^\mu \partial_\mu, \phi^* \widehat{V}=\left(\phi^* \widehat{V}\right)^\alpha \partial_\alpha$ ．对任意一个 $N$ 上的试探函数 $f \in \mathcal{F}(\mathcal{N})$ ，利用链式法则，有
$$
\begin{aligned}
\left(\phi^* \widehat{V}\right)^\alpha \partial_\alpha f & =V^\mu \partial_\mu\left(\phi_* f\right)=V^\mu \partial_\mu(f \circ \phi) \\
& =V^\mu \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu} \partial_\alpha f .
\end{aligned}
$$

因此，

$$
\left(\phi^* \widehat{V}\right)^\alpha=\left(\phi^*\right)^\alpha{ }_\mu V^\mu,
$$

其中 $\left(\phi^*\right)^\alpha{ }_\mu=\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu}$ 。这可以看作在坐标变换下矢量的变换规律的推广，但是要注意此时的坐标卡可以有不同的维数。如果我们考虑 $M$ 和 $N$ 是同一个流形的特别情形，前面的构造也适用。一般而言，矩阵 $\partial y^\alpha / \partial x^\mu$ 并非方阵，因此不可逆．注意，矢量只有推前，没有拉回。

对于 1 形式而言，可以定义拉回． 1 形式是从矢量到实数的线性映射．一个在 $N$上的 1 形式 $\widehat{\omega}$ 的拉回定义在 $M$ 上的矢量 $\widehat{V}$ 上，其值等于 $\widehat{\omega}$ 作用在 $\widehat{V}$ 的推前上：

$$
\left(\phi_* \widehat{\omega}\right)(\widehat{V})=\widehat{\omega}\left(\phi^* \widehat{V}\right) .
$$

对于形式的拉回算子，有一个简单的矩阵表示：$\left(\phi_* \widehat{\omega}\right)_\mu=\left(\phi_*\right)_\mu{ }^\alpha \omega_\alpha$ ，其中
$$
\left(\phi_*\right)_\mu^\alpha=\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu}
$$

这与前面的推前矩阵相同，只不过指标的收缩是不一样的．
我们可以用图很清楚地表示推前和拉回。把 $M$ 上函数集记为 $\mathcal{F}(M), N$ 上的记为 $\mathcal{F}(N) . M$ 上 $p$ 点处的矢量 $\widehat{V}(p)$ 是从 $\mathcal{F}(M)$ 到 $R$ 的一个算子，而拉回定义了 $\mathcal{F}(N)$到 $\mathcal{F}(M)$ 的映射，因此我们可以通过复合映射定义推前 $\phi^*$ ，如图5．7（a）所示。同样，如果 $T_q N$ 是 $N$ 上 $q$ 点的切空间，则一个在 $q$ 点的1形式 $\hat{\omega}$ 可以看作从 $T_q N$ 到 $R$ 的算子，即余切空间 $T_q^* N$ 的一个元素。由于推前 $\phi^*$ 把 $T_p M$ 映射到 $T_{\phi(p)} N$ ，一个 1 形式的拉回可以当作如图 5．7（b）所示的复合映射。

![图片](/uploads/2025-11/5fe509.jpg)
 
 上面的讨论可以推广到其他张量．$(0, l)$ 型张量是一个从 $l$ 个矢量的张量积到 $R$的线性映射，其拉回可定义为

$$
\left(\phi_* \widehat{T}\right)\left(\widehat{V}^{(1)}, \widehat{V}^{(2)}, \cdots, \widehat{V}^{(l)}\right)=\widehat{T}\left(\phi^* \widehat{V}^{(1)}, \phi^* \widehat{V}^{(2)}, \cdots, \phi^* \widehat{V}^{(l)}\right)
$$

其中 $T_{\alpha_1 \cdots \alpha_l}$ 是 $N$ 上的 $(0, l)$ 型张量．写成分量的形式可得

$$
\left(\phi_* \widehat{T}\right)_{\mu_1 \cdots \mu_l}=\frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}} \cdots \frac{\partial y^{\alpha_l}}{\partial x^{\mu_l}} T_{\alpha_1 \cdots \alpha_l}
$$

类似地，我们可以定义一个 $(k, 0)$ 型张量 $S^{\mu_1 \cdots \mu_k}$ 的推前

$$
\left(\phi^* \widehat{S}\right)\left(\widehat{\omega}^{(1)}, \widehat{\omega}^{(2)}, \cdots, \widehat{\omega}^{(k)}\right)=\widehat{S}\left(\phi_* \widehat{\omega}^{(1)}, \phi_* \widehat{\omega}^{(2)}, \cdots, \phi_* \widehat{\omega}^{(k)}\right)
$$

分量形式为

$$
\left(\phi^* \widehat{S}\right)^{\alpha_1 \cdots \alpha_k}=\frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}} \cdots \frac{\partial y^{\alpha_k}}{\partial x^{\mu_k}} S^{\mu_1 \cdots \mu_k}
$$

例 5.5 度规张量的拉回．
考虑 $M$ 是 $N$ 的子流形这种情况。在 $M$ 和 $N$ 间有一个明显的映射，把 $M$ 中的一个元素映射到 $N$ 上的同一元素，比如说把二维球面嵌入三维欧氏空间 $R^3$ 中。如果我们在 $M=S^2$ 上取球坐标 $x^\mu=(\theta, \phi), N=R^3$ 上取坐标 $y^\alpha=(x, y, z)$ ，则映射 $\phi: M \rightarrow N$ 为

$$
y^\alpha(\theta, \phi)=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta) .
$$

在 $R^3$ 上，度规为 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2$ ，而在 $S^2$ 上的诱导度规为 $\mathrm{d} \theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2$ ，此时的偏导数矩阵为

$$
-\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\
-\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0
\end{array}\right)
$$

$S^2$ 上的度规是简单地通过把 $R^3$ 上的度规拉回得到的：

$$
\begin{aligned}
\left(\phi_* g\right)_{\mu \nu} & =\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial y^\beta}{\partial x^\nu} g_{\alpha \beta} \\
& =\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \sin ^2 \theta
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

值得注意的是，如果一个张量既有上指标也有下指标，或者换句话说是一个 $(k, l)$型张量且 $k \neq 0, l \neq 0$ ，则这个张量不能被拉回或者推前．这是由于此时的 $\phi$ 很可能并非可逆的。如果 $M$ 和 $N$ 是同一个流形，$\phi$ 是可逆的，实际上此时的 $\phi$ 称为微分同胚，它的一个好处在于可以利用 $\phi$ 和 $\phi^{-1}$ 把张量从 $M$ 映射到 $N$ 。由此，我们可以定义任意张量的拉回和推前．特别地，对 $M$ 上的 $(k, l)$ 型张量场 $T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \mu_l}$ ，我们定义推前

$$
\begin{aligned}
& \left(\phi^* T\right)\left(\omega^{(1)}, \cdots, \omega^{(k)}, V^{(1)}, \cdots, V^{(l)}\right) \\
& \quad=T\left(\phi_* \omega^{(1)}, \cdots, \phi_* \omega^{(k)},\left[\phi^{-1}\right]^* V^{(1)}, \cdots,\left[\phi^{-1}\right]^* V^{(l)}\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\omega^{(i)}$ 是 $N$ 上的 1 形式，而 $V^{(i)}$ 是 $N$ 上的矢量．写作分量的形式，为

$$
\left(\phi^* T\right)^{\alpha_1 \cdots \alpha_k}{ }_{\beta_1 \cdots \beta_l}=\frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}} \cdots \frac{\partial y^{\alpha_k}}{\partial x^{\mu_k}} \frac{\partial x^{\nu_1}}{\partial y^{\beta_1}} \cdots \frac{\partial x^{\nu_l}}{\partial y^{\beta_l}} T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} .
$$

这看起来就是坐标卡间的坐标变换．实际上，我们有两种等价的方式来定义坐标变换：微分同胚是＂主动＂坐标变换，而传统的坐标变换是＂被动的＂．考虑一个 $n$ 维流形 $M$ ，具有坐标函数 $x^\mu: M \rightarrow R^n$ 。为了变换坐标，我们要么简单地引进另一个坐标函数 $y^\mu: ~ M \rightarrow R^n$ ，即保持流形不变而改变坐标映射，要么引进一个微分同胚 $\phi: M \rightarrow M$ ，则原来的坐标被拉回，$\left(\phi_* x\right)^\mu: M \rightarrow R^n$ ，从而定义新坐标，也就是说在流形上移动点，而考虑新点的坐标，如图 5.8 所示．

![图片](/uploads/2025-11/01482d.jpg)

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