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李导数

＊5．4 李 导 数

在协变导数的定义中，关键之处在于利用平行移动把不同点上的切矢量移到一个点上从而可以比较它们的差异．这个操作依赖于两点间的路径．实际上，我们也可以利用其他方式把不同点上的矢量或者张量移动到一起，比较它们的差异从而定义导数．这里我们先介绍李（Lie）导数．

5．4．1 拉回和推前
为了定义李导数，我们需要引入拉回（pullback）和推前（pushforward）的概念。考虑两个流形 $M$ 和 $N$ ，可以有不同的维数，分别具有坐标卡 $x^\mu$ 和 $y^\alpha$ 。假如我们有一个从 $M$ 到 $N$ 的映射 $\phi: M \rightarrow N$ 以及一个 $N$ 上的函数 $f: N \rightarrow R$ ，显然我们可以通过复合映射 $f \circ \phi: M \rightarrow R$ 构造一个 $M$ 上的函数．定义 $\phi$ 对函数 $f$ 的拉回

$$
\phi_* f=f \circ \phi .
$$

也就是说，$\phi_*$ 把函数 $f$ 从 $N$ 拉回到 $M$ 上，如图 5.6 所示．
 ![图片](/uploads/2025-11/b49308.jpg)
 
 注意我们可以定义函数的拉回，但无法定义函数的推前：如果我们有一个 $M$ 上的函数 $g: M \rightarrow R$ ，我们没有办法把 $g$ 与 $\phi$ 复合在一起构成 $N^F$ 上的函数．但是对于一个矢量而言，存在其推前．一个矢量可以看作方向导数算子，把光滑函数映射到实数上。如果 $\widehat{V}(p)$ 是 $M$ 上 $p$ 点处的一个矢量，我们可以在 $N$ 上 $\phi(p)$ 点定义推前矢量 $\phi^* \widehat{V}$ ：

$$
\left(\phi^* \widehat{V}\right)(f)=\widehat{V}\left(\phi_* f\right),
$$

其中 $f$ 是 $N$ 上的函数．我们可以通过把函数 $f$ 拉回到 $M$ 上来定义推前矢量，即 $\phi^* \widehat{V}$ 对 $N$ 上的函数的作用由 $\widehat{V}$ 作用在该函数在 $M$ 上的拉回得到。更具体地，我们利用坐标卡写出分量形式 $\widehat{V}=V^\mu \partial_\mu, \phi^* \widehat{V}=\left(\phi^* \widehat{V}\right)^\alpha \partial_\alpha$ ．对任意一个 $N$ 上的试探函数 $f \in \mathcal{F}(\mathcal{N})$ ，利用链式法则，有
$$
\begin{aligned}
\left(\phi^* \widehat{V}\right)^\alpha \partial_\alpha f & =V^\mu \partial_\mu\left(\phi_* f\right)=V^\mu \partial_\mu(f \circ \phi) \\
& =V^\mu \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu} \partial_\alpha f .
\end{aligned}
$$

因此，

$$
\left(\phi^* \widehat{V}\right)^\alpha=\left(\phi^*\right)^\alpha{ }_\mu V^\mu,
$$

其中 $\left(\phi^*\right)^\alpha{ }_\mu=\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu}$ 。这可以看作在坐标变换下矢量的变换规律的推广，但是要注意此时的坐标卡可以有不同的维数。如果我们考虑 $M$ 和 $N$ 是同一个流形的特别情形，前面的构造也适用。一般而言，矩阵 $\partial y^\alpha / \partial x^\mu$ 并非方阵，因此不可逆．注意，矢量只有推前，没有拉回。

对于 1 形式而言，可以定义拉回． 1 形式是从矢量到实数的线性映射．一个在 $N$上的 1 形式 $\widehat{\omega}$ 的拉回定义在 $M$

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