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FRW 时空中的能动量守恒

5．3．2 FRW 时空中的能动量守恒
在平直时空中，能动量守恒意味着 $\partial_\mu T^{\mu \nu}=0$ 。而在弯曲时空，此条件的一个自然推广为 $\partial_\mu \rightarrow \nabla_\mu$ ，所以有

$$
\nabla_\mu T^{\mu \nu}=0 .
$$

对理想流体而言，$T^{\mu \nu}=(\rho+p) u^\mu u^\nu+p g^{\mu \nu}$ 。在流体的共动坐标系中，$u^\mu=(1,0,0,0)$ ，所以 $T^{\mu \nu}=\operatorname{diag}\left(\rho, a^{-2} p, a^{-2} p, a^{-2} p\right)$ ．能动量守恒方程意味着

$$
\nabla_\mu T^{\mu \nu}=\partial_\mu T^{\mu \nu}+\Gamma_{\mu \lambda}^\mu T^{\lambda \nu}+\Gamma_{\mu \lambda}^\nu T^{\mu \lambda}=0 .
$$

先考虑 $\nu=0$ 的情形。由于

$$
\begin{aligned}
\partial_\mu T^{\mu 0} & =\partial_0 T^{00}=\dot{\rho}, \\
\Gamma_{\mu \lambda}^\mu T^{\lambda 0} & =\Gamma_{\mu 0}^\mu T^{00}=3 \frac{a^{\prime}}{a} \rho, \\
\Gamma_{\mu \lambda}^0 T^{\mu \lambda} & =\Gamma_{00}^0 T^{00}+\Gamma_{11}^0 T^{11}+\Gamma_{22}^0 T^{22}+\Gamma_{33}^0 T^{33} \\
& =3 a a^{\prime}\left(a^{-2} p\right)=3 \frac{a^{\prime}}{a} p,
\end{aligned}
$$

我们得到

$$
\dot{\rho}=-3 \frac{a^{\prime}}{a}(\rho+p) .
$$

而 $\nu=1$ 时（ $\nu=2,3$ 类似），

$$
\begin{aligned}
\partial_\mu T^{\mu 1} & =\partial_1 T^{11}=a^{-2} \partial_x p \\
\Gamma_{\mu \lambda}^\mu T^{\lambda 1} & =\Gamma_{\mu 1}^\mu T^{11}=0 \\
\mathrm{~F}_{\mu \lambda}^1 T^{\mu \lambda} & =\Gamma_{00}^1 T^{00}+\Gamma_{11}^1 T^{11}+\Gamma_{22}^1 T^{22}+\Gamma_{33}^1 T^{33}=0
\end{aligned}
$$

有

$$
\partial_1 p=0 .
$$

因此，能动量守恒要求 $\partial_i p=0, i=1,2,3$ ．在闵氏时空中，$a=1, a^{\prime}=0$ ，能量密度和压强都守恒。而在 FRW 宇宙中，压强不随空间的曲率变化．对于一个随着流体一起运动的观测者，流体是不动的，压强在固定时刻所有空间位置保持不变．

然而，在 FRW 时空中，能量不再守恒，$\dot{\rho}=-3 \frac{a^{\prime}}{a}(\rho+p)$ 。由物态方程 $p=\omega \rho, \omega$ 是一个常数，

$$
\begin{aligned}
& \frac{\dot{\rho}}{\rho}=-3(1+\omega) \frac{a^{\prime}}{a} \\
\Rightarrow & \rho=a^{-3(1+\omega)} \\
\Rightarrow & \left\{\begin{array}{l}
\text { 物质主导: } \quad p=0, \quad \rho=a^{-3} ; \\
\text { 辐射主导: } \quad p=\frac{\rho}{3}, \quad \rho=a^{-4} ; \\
\text { 真空能: } \quad p=-\rho, \quad \rho=\text { 常数. }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
因此，能量密度随着标度因子而变化．在物质主导阶段，由于尘埃 $\rho=n m, n \approx a^{-3}$ ，所以能量密度随尺度因子的变化规律为 $\rho=a^{-3}$ 。对于辐射主导阶段，除了体积膨胀导致的体积变化以外还存在引力红移效应，$E \sim a^{-1}$ ，所以 $\rho=a^{-4}$ 。而真空能的能量密度是恒定的．从这里我们可以一窥宇宙物质组分的演化历史：物质和尘埃在早期宇宙中的组分可以很大，随着宇宙膨胀它们的组分比例相对变小，而真空能即使在宇宙早期非常小，但由于它保持不变，在宇宙演化后期也会越来越重要。

我们可以估算一下物质组分对应的能量．在 FRW 时空中，能量可以定义为 $E= \int \rho a^3 \mathrm{~d}^3 x$ 。我们选择的坐标中边界由 $a(t)$ 确定，因此 $a^3 \mathrm{~d}^3 x$ 是固有体积元。对于物质，能量是不变的，这是因为物质由尘埃粒子构成，能量是它们静止质量之和。而对于辐射，能量减小，这来自引力的红移效应。而对于真空能，能量是越来越多的，这是由于宇宙的膨胀．这里需要注意的是，在弯曲时空中能量并非守恒的．能量守恒与时间平移不变性密切相关．这要求背景时空具有很好的对称性．另一方面，在广义相对论中，能量的定义是很微妙的，一个整体定义的能量要求时空存在一个类时的基灵（Killing）矢量，而在 FRW 时空中，没有类时基灵矢量存在。

然而，我们仍然扎 $\Gamma_{11} T^{-1}=1$ 称头能动量守恒方程 它的意义是什么？首先。这个方程是一个局域的方程．对物质的能动张量而言，它是一个确定的定律，即使能量无法守恒。其次，在此方程中克里斯托弗符号的存在意味着在物质场和引力场之间存在能量的交换，因此，能动量守恒方程实际上包含物质与引力能量交换的信息。需要注意

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